Линейные функционалы — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
Строка 4: Строка 4:
 
|id=linfunc
 
|id=linfunc
 
|definition=
 
|definition=
Пусть <tex>X</tex> ­— линейное множество. Отображение <tex> f : X \to \mathbb{R} </tex> {{---}} '''линейный функционал''', если  
+
Пусть <tex>X</tex> ­— линейное множество. Отображение <tex> f\colon X \to \mathbb{R} </tex> {{---}} '''линейный функционал''', если  
 
<tex>\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R} \  \forall x, y \in X : f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(x)</tex>.
 
<tex>\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R} \  \forall x, y \in X : f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(x)</tex>.
  

Версия 16:30, 3 января 2013

Эта статья находится в разработке!


Определение:
Пусть [math]X[/math] ­— линейное множество. Отображение [math] f\colon X \to \mathbb{R} [/math]линейный функционал, если

[math]\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R} \ \forall x, y \in X : f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(x)[/math].

Обозначим [math]X^*[/math] — совокупность линейных функционалов, определенных на множестве [math]X[/math].

[math] \mathrm{Ker}\, f = \{x | f(x) = 0 \} [/math]ядро функционала.


Заметим: [math] 0 \cdot \alpha = 0 \forall \alpha \in \mathbb{R}[/math]. По линейности [math]f(\alpha \cdot 0) = \alpha f(0)[/math], следовательно, [math]f(0) = 0[/math].