Линейные функционалы — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 14: Строка 14:
 
Заметим: <tex> \forall \alpha \in \mathbb{R} ~ 0 \cdot \alpha = 0</tex>. По линейности <tex>f(\alpha \cdot 0) = \alpha f(0)</tex>, следовательно, <tex>f(0) = 0</tex>.
 
Заметим: <tex> \forall \alpha \in \mathbb{R} ~ 0 \cdot \alpha = 0</tex>. По линейности <tex>f(\alpha \cdot 0) = \alpha f(0)</tex>, следовательно, <tex>f(0) = 0</tex>.
  
<tex> \mathrm{Ker}\, f </tex> — линейное подмножество <tex>X</tex> {{TODO: возможно, нужно доказательство}}
+
<tex> \mathrm{Ker}\, f </tex> — линейное подмножество <tex>X</tex> {{TODO | t = возможно, нужно доказательство}}
  
 
Выясним геометрическую структуру ядра.
 
Выясним геометрическую структуру ядра.
Строка 54: Строка 54:
 
|id=codimdef
 
|id=codimdef
 
|definition=
 
|definition=
<tex>\mathrm{Codim}\, Y \stackrel{\mathrm{def}}{=} \dim X /_Y </tex> — '''коразмерность''' <tex>Y</tex>.
+
<tex>\mathrm{Codim}\, Y \stackrel{\mathrm{def}}{=} \dim X /_Y </tex> — '''коразмерность''' <tex>Y</tex>.  
 +
 
 +
<tex> Y </tex> — '''гиперплоскость''' в <tex>X</tex>, если <tex>\mathrm{Codim}\, Y = 1</tex>.
 +
 
 +
}}
 +
 
 +
Что означает коразмерность на языке исходных линейных операций?
 +
 
 +
{{Утверждение
 +
|statement=
 +
 
 +
<tex>\mathrm{Codim}\, Y = n \iff \exists\, e_1, \ldots, e_n \in X </tex> такие, что <tex>\forall x \in X</tex> представляется единственным образом: <tex> x = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k + y, ~ y \in Y</tex>.
 +
 
 +
|proof=
 +
 
 +
'''Замечание''': для <tex>n = 1</tex>: если <tex>\mathrm{Codim}\, Y = 1 \iff \exists\, e \in X </tex> такое, что <tex>\forall x \in X</tex> представляется единственным образом: <tex> x = \alpha e + y, ~ y \in Y</tex>.
 +
 
 +
Доказательство <tex>\implies</tex>:
 +
 
 +
<tex>\mathrm{Codim}\, Y = n \implies \dim X /_Y = n \implies \exists \xi_1 \ldots \xi_n \in X /_Y </tex> — базис <tex> X /_Y </tex>.
 +
<tex> \forall \xi \in X /_Y </tex> единственным образом <tex>\xi = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k \xi_k </tex>.
 +
 
 +
Рассмотрим <tex> \forall x \in X </tex>, <tex> [x] \in X /_Y </tex> и его представление <tex> [x] = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k \xi_k </tex>.
 +
 
 +
Пусть <tex> \xi_k = [ e_k ] </tex>, то есть <tex> [ x ] = \left [ \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k \right ] </tex>. Следовательно, по определению <tex> [ x ] </tex>, <tex> x \sim \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k </tex>.
 +
 
 +
<tex> \implies x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k = y \in Y \implies x = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k + y </tex> ­— разложение <tex> x </tex>. Единственность следует из единственности разложения по базису <tex> [x] = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k \xi_k </tex>.
 +
 
 +
Доказательство <tex> \Longleftarrow </tex>:
 +
 
 +
{{TODO | t = упражнение}}
  
<tex>Y</tex> — '''гиперплоскость''' в <tex>X</tex>, если <tex>\mathrm{Codim}\, Y = 1</tex>.
 
 
}}
 
}}

Версия 17:26, 3 января 2013

Эта статья находится в разработке!


Определение:
Пусть [math]X[/math] ­— линейное множество. Отображение [math] f\colon X \to \mathbb{R} [/math]линейный функционал, если

[math]\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R} \ \forall x, y \in X : f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(x)[/math].

Обозначим [math]X^*[/math] — совокупность линейных функционалов, определенных на множестве [math]X[/math].

[math] \mathrm{Ker}\, f = \{x \mid f(x) = 0 \} [/math]ядро функционала.


Заметим: [math] \forall \alpha \in \mathbb{R} ~ 0 \cdot \alpha = 0[/math]. По линейности [math]f(\alpha \cdot 0) = \alpha f(0)[/math], следовательно, [math]f(0) = 0[/math].

[math] \mathrm{Ker}\, f [/math] — линейное подмножество [math]X[/math] TODO: возможно, нужно доказательство

Выясним геометрическую структуру ядра.

Напомним свойства отношения эквивалентности:

1. Рефлексивность: [math]x \sim x[/math]

2. Симметричность: [math]x_1 \sim x_2 \implies x_2 \sim x_1[/math]

3. Транзитивность: [math]x_2 \sim x_2,~ x_2 \sim x_3 \implies x_1 \sim x_3[/math]


Определение:
[math]X[/math] ­— линейное множество, [math]Y[/math] линейное подмножество [math]X[/math].

Введем отношение эквивалентности на [math]X[/math]:

[math] x_1 \sim x_2 \stackrel{\mathrm{def}}{\iff} x_1 - x_2 \in Y [/math]

[math] [x] = \{ y \in X \mid y \sim x \} [/math]классы смежности по [math]Y[/math].

[math] X /_Y [/math] — совокупность всех классов смежности — фактор множество по [math]Y[/math].


Операции над классами смежности:

[math] [x] + [y] \stackrel{\mathrm{def}}{=} [x+y] [/math]

[math] \alpha [x] \stackrel{\mathrm{def}}{=} [\alpha x] [/math]

Эти операции не зависят от представителя класса.

Фактор множество — линейное, следовательно, можно говорить о его размерности:


Определение:
[math]\mathrm{Codim}\, Y \stackrel{\mathrm{def}}{=} \dim X /_Y [/math]коразмерность [math]Y[/math]. [math] Y [/math]гиперплоскость в [math]X[/math], если [math]\mathrm{Codim}\, Y = 1[/math].


Что означает коразмерность на языке исходных линейных операций?

Утверждение:
[math]\mathrm{Codim}\, Y = n \iff \exists\, e_1, \ldots, e_n \in X [/math] такие, что [math]\forall x \in X[/math] представляется единственным образом: [math] x = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k + y, ~ y \in Y[/math].
[math]\triangleright[/math]

Замечание: для [math]n = 1[/math]: если [math]\mathrm{Codim}\, Y = 1 \iff \exists\, e \in X [/math] такое, что [math]\forall x \in X[/math] представляется единственным образом: [math] x = \alpha e + y, ~ y \in Y[/math].

Доказательство [math]\implies[/math]:

[math]\mathrm{Codim}\, Y = n \implies \dim X /_Y = n \implies \exists \xi_1 \ldots \xi_n \in X /_Y [/math] — базис [math] X /_Y [/math]. [math] \forall \xi \in X /_Y [/math] единственным образом [math]\xi = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k \xi_k [/math].

Рассмотрим [math] \forall x \in X [/math], [math] [x] \in X /_Y [/math] и его представление [math] [x] = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k \xi_k [/math].

Пусть [math] \xi_k = [ e_k ] [/math], то есть [math] [ x ] = \left [ \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k \right ] [/math]. Следовательно, по определению [math] [ x ] [/math], [math] x \sim \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k [/math].

[math] \implies x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k = y \in Y \implies x = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k + y [/math] ­— разложение [math] x [/math]. Единственность следует из единственности разложения по базису [math] [x] = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k \xi_k [/math].

Доказательство [math] \Longleftarrow [/math]:


TODO: упражнение
[math]\triangleleft[/math]