Линейный клеточный автомат, эквивалентность МТ — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показано 28 промежуточных версий 5 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
==Определения==
 
==Определения==
{{Определение|definition=
+
{{Определение
'''Клеточным автоматом''' (КА) <tex>A</tex> размерности <tex>d</tex> называется четверка <tex> \langle {Z^d}, S, N, \delta \rangle</tex>, где
+
| id=cellularautomaton
 +
|definition=
 +
'''Клеточным автоматом''' (КА) (англ. ''cellular automaton'') <tex>A</tex> размерности <tex>d</tex> называется четверка <tex> \langle {Z^d}, S, N, \delta \rangle</tex>, где
 
* <tex>S</tex> {{---}} конечное множество, элементы которого являются состояниями <tex>A</tex>.
 
* <tex>S</tex> {{---}} конечное множество, элементы которого являются состояниями <tex>A</tex>.
* <tex>N</tex> {{---}} конечное упорядоченное подмножество <tex>Z^d</tex>, <tex>N=\{{n_j}|{n_j}=(x_{1_j}, \dots, x_{d_j}), j \in \{1 \dots n\}\}</tex>, называемое '''окрестностью''' (''neighborhood'') <tex>A</tex>.
+
* <tex>N</tex> {{---}} конечное упорядоченное подмножество <tex>Z^d</tex>, <tex>N=\{{n_j} \mid {n_j}=(x_{1_j}, \dots, x_{d_j}), j \in \{1 \dots n\}\}</tex>, называемое '''окрестностью''' (англ. ''neighborhood'') <tex>A</tex>. В данном определении полагается, что клетка всегда принадлежит своей окрестности.
* <tex>\delta : S^{n+1} \rightarrow S</tex> {{---}} функция перехода для <tex>A</tex>.
+
* <tex>\delta : S^{n} \rightarrow S</tex> {{---}} функция перехода для <tex>A</tex>.
 
}}
 
}}
 
{{Определение|definition=
 
{{Определение|definition=
'''Линейным клеточным автоматом''' (ЛКА) называется одномерный клеточный автомат, окрестность каждой клетки которого состоит из <tex>2 \cdot r + 1</tex> клеток,
+
'''Линейным клеточным автоматом''' (ЛКА) (англ. ''linear cellular automaton'') называется одномерный клеточный автомат, окрестность каждой клетки которого состоит из <tex>2 \cdot r + 1</tex> клеток,
 
находящихся на расстоянии не более <tex>r</tex> от данной.
 
находящихся на расстоянии не более <tex>r</tex> от данной.
 
}}
 
}}
 
{{Определение|definition=
 
{{Определение|definition=
'''Состоянием покоя''' (quiescent state) называется такое состояние клетки, что если клетка и все ее соседи находятся в состояниях покоя, то они в них останутся.
+
'''Состоянием покоя''' (англ. ''quiescent state'') называется такое состояние автомата клетки <tex>c</tex>, что если автоматы клетки <tex>c</tex> и всех ее соседей (клеток из ее окрестности) находятся в состояниях покоя, то автомат <tex>c</tex> на следующем шаге останется в текущем состоянии.
 
}}
 
}}
 
{{Определение|definition=
 
{{Определение|definition=
'''Спокойной клеткой''' (quiescent cell) назовем клетку, автомат в которой перешел в состояние покоя.
+
'''Спокойной клеткой''' (англ. ''quiescent cell'') назовем клетку, автомат в которой перешел в состояние покоя.
 
}}
 
}}
 
{{Определение|definition=
 
{{Определение|definition=
'''Конфигурацией''' (configuraton) <tex>c_i</tex> КА называется распределение состояний автоматов по клеточному пространству, где <tex>i</tex> {{---}} шаг, после которого была получена конфигурация.  
+
'''Конфигурацией''' (англ. ''configuraton'') <tex>c_i</tex> КА называется распределение состояний автоматов по клеточному пространству, где <tex>i</tex> {{---}} шаг, после которого была получена конфигурация.  
 
Начальная конфиграция {{---}} <tex>c_0</tex>.
 
Начальная конфиграция {{---}} <tex>c_0</tex>.
 
}}
 
}}
 
{{Определение|definition=
 
{{Определение|definition=
'''Поддержкой''' (support) конфигурации <tex>c</tex> называется множество неспокойных клеток в ней. Обозначается <tex>sup(c)</tex>.
+
'''Поддержкой''' (англ. ''support'') конфигурации <tex>c</tex> называется множество неспокойных клеток в ней. Обозначается <tex>sup(c)</tex>.
 
}}
 
}}
 +
 
==Другое определение линейного клеточного автомата==
 
==Другое определение линейного клеточного автомата==
 
{{Определение|definition=
 
{{Определение|definition=
Строка 30: Строка 33:
 
{{Лемма
 
{{Лемма
 
|statement=Для любого ЛКА можно построить эквивалентный ему ЛКА, во всех клетках которого будет записан один и тот же автомат.
 
|statement=Для любого ЛКА можно построить эквивалентный ему ЛКА, во всех клетках которого будет записан один и тот же автомат.
|proof=Так как окрестность каждой клетки конечна и размер автомата в клетке конечен, то всего существует конечное число автоматов. Обозначим их множество как <tex>D</tex>. Построим автомат <tex>B</tex> следующим образом: множеством вершин <tex>B</tex> будет объединение множеств вершин автоматов из <tex>D</tex>, переходы между вершинами <tex>u</tex> и <tex>v</tex> будет совпадать с переходами <tex>D_i</tex>, если <tex>u</tex> и <tex>v</tex> соответствуют вершинам из <tex>D_i</tex>, иначе переход отсутствует. Начальным состоянием автомата будет состояние,соответствующее начальному состоянию автомата <tex>D_k</tex>, который был записан в текущей клетке. Очевидно, что поведение такого автомата будет совпадать с поведением <tex>D_k</tex>.
+
|proof=Так как окрестность каждой клетки конечна и размер автомата в клетке конечен, то всего существует конечное число автоматов. Обозначим их множество как <tex>D</tex>. Построим автомат <tex>B</tex> следующим образом: множеством вершин <tex>B</tex> будет объединение множеств вершин автоматов из <tex>D</tex>, переходы между вершинами <tex>u</tex> и <tex>v</tex> будут совпадать с переходами <tex>D_i</tex>, если <tex>u</tex> и <tex>v</tex> соответствуют вершинам из <tex>D_i</tex>, иначе переход отсутствует. Начальным состоянием автомата будет состояние,соответствующее начальному состоянию автомата <tex>D_k</tex>, который был записан в текущей клетке. Очевидно, что поведение такого автомата будет совпадать с поведением <tex>D_k</tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 36: Строка 39:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Для произвольной (m, n) машины Тьюринга <tex>T</tex> существует двумерный КА с окрестностью из семи клеток и клеточным пространством <tex>Z_T</tex> с <tex>max(n + 1, m + 1)</tex> состояниями, симулирующий ее в реальном времени.
+
Для произвольной <tex>(m, n)</tex> машины Тьюринга <tex>T</tex> существует двумерный КА с окрестностью из семи клеток и клеточным пространством <tex>Z_T</tex> с <tex>max(n + 1, m + 1)</tex> состояниями, симулирующий ее в реальном времени.
 
|proof=
 
|proof=
[[Изображение:Neighbourhood.jpg|thumb|right|comment|Рис. 1. Окрестность клетки]] Каждая клетка <tex>Z_T</tex> обладает множеством <tex>Q</tex> из <tex>M = max(n + 1, m + 1)</tex> состояний. Без потери общности, будем считать, что <tex>Q = \{ 0, 1, \dots , M - 1\}</tex>, так что <tex>(i + 1)</tex> будет сопоставляться символу <tex>x_i</tex> машины Тьюринга при <tex>0 \le i \le m - 1</tex>, а состояние <tex>(j + 1)</tex> будет соответствовать состоянию <tex>q_j</tex> машины Тьюринга при <tex>0 \le j \le n - 1</tex>. Ноль является состоянием покоя <tex>Z_T</tex> и не будет соответствовать символам и состояниям машины Тьюринга. Окрестность построим таким образом, чтобы выделять клетку, состояние которой <tex>Q_1 \in A = \{ 1, 2, \dots, m\}</tex> будет соответствовать символу машины Тьюринга из клетки, состояние которой <tex>Q_2 \in B = \{ 1, 2, \dots, n\}</tex> соответствует состоянию машины Тьюринга (окрестность клетки в таком КА показана на Рис. 1).  
+
[[Изображение:Mpneighbour.jpg|thumb|right|comment|Рис. 1. Окрестность клетки]]  
 +
Каждому состоянию автомата клетки будет сопоставляться либо состояние автомата МТ, либо символ на ленте. Все клетки будут либо клетками ленты, расположенными в одном ряду, и в этом случае их состояние соответствует символу на ленте МТ, либо служебными клетками. Среди служебных клеток клетка <tex>h</tex> будет соответствовать головке MT и в каждый момент находиться над какой-то клеткой ленты, клетки <tex>a</tex> и <tex>b</tex> всегда будут указывать на клетки слева и справа от <tex>h</tex>. Остальные клетки будут находиться в состоянии покоя.  
 +
 
 +
Заметим, что это порождает следующую проблему: размер входных данных МТ конечен, следовательно поддержка начальной конфигурации конечна. Так как МТ в общем случае может не остановиться, то в какой-то момент может потребоваться расширить ленту. Поэтому необходимо ввести две дополнительных служебных клетки, при необходимости расширяющих ленту влево или вправо (то есть переводящих соседнюю слева/справа клетку в свое состояние, а сами переходящие в состояние, соответствующее пустой клетке ленты МТ).
 +
 
 +
Построим окрестность, необходимую для корректной работы такого КА. Рассмотрев поведение МТ и зависимости клеток КА, получим, что минимальная по размеру окрестность имеет вид, представленный на Рис. 1.
 +
 
 +
[[Изображение:Mptape.jpg|640px|thumb|center|Рис. 2. Эмуляция ленты МТ в КА]]
  
Таким образом, <tex>Z_T</tex> симулирует машину Тьюринга, используя конфигурацию, в которой оно <tex>"</tex>выглядит как<tex>"</tex> машина Тьюринга. Один ряд клеток в <tex>Z_T</tex> представляет из себя ленту машины Тьюринга {{---}} одна клетка <tex>Z_T</tex> для каждой клетки ленты, а одна клетка из соседнего ряда будет соответствовать головке МТ, и в каждый момент времени автомат будет выглядеть так, как показано на рисунке ниже. Клетки <tex>a</tex> и <tex>b</tex> всегда указывают на клетки слева и справа от головки <tex>h</tex> соответственно. Все остальные символы используются для хранения состояний: <tex>S_k \in A</tex> обозначает состояние клетки ленты на расстоянии <tex>|k|</tex> от головки по направлению знака индекса, <tex>P \in B</tex> обозначает состояние головки. Клетки справа и слева от головки обозначим <tex>C_R</tex> и <tex> C_L</tex>, которые будут определять правый или левый конец использованной ленты. Все клетки кроме <tex>h</tex> и клеток ленты будут находится в состоянии покоя ноль.  
+
Также определим в каждой клетке состояние <tex>w</tex>, соответствующее начальному состоянию МТ. Перед началом эмуляции клетки ленты переведем в состояния эквивалентные входным символам, клетку над самой левой непустой клеткой ленты переведем в состояние <tex>w</tex>, которая будет соответствовать начальному положению головки. Тогда клетки ленты будут менять свои состояние так же, как лента МТ.
 +
}}
  
Таким образом, при симуляции головка <tex>h</tex> будет двигаться, повторяя поведение головки соответствующей МТ, при этом менять состояние будут только клетки <tex>a, h, b, C_R, C_L</tex>, для которых необходимо определить функции перехода. Обозначим для них функцию перехода: если <tex>x_u, q_v</tex> {{---}} символ на ленте и состояние МТ, то переход будет иметь вид <tex>(x_u, q_v) = {x_p}X/q_q</tex>, где <tex>X</tex> {{---}} сдвиг влево <tex>L</tex> или вправо <tex>R</tex>. Состояния <tex>C_L</tex> и <tex>C_R</tex> необходимы для решения проблемы конца ленты: в общем случае машина Тьюринга работает с бесконечной лентой, в то время как поддержка начальной конфигурации построенного автомата конечна, и в некоторый момент пустые состояния закончатся. Чтобы этого не произошло, введены <tex>C_L</tex> и <tex>C_R</tex>, которые переводят спокойные клетки в состояния, соответствующие пустым символам ленты МТ.
+
{{Теорема
 +
|statement=Для произвольной <tex>(m, n)</tex> машины Тьюринга существует линейный КА с окрестность не более, чем из шести клеток, <tex>max(m + 1, n + 1)</tex> состояниями, эмулирующий эту МТ в реальном времени.
 +
|proof=Лента будет иметь следующий вид:
 +
[[Изображение:Mplintape.jpg|640px|thumb|center|Рис. 4. Эмуляция ленты МТ в ЛКА]]
 +
Доказательство и построение автомата аналогично предыдущей теореме.
 +
}}
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|statement=Для произвольного ЛКА можно построить эмулирующую его машину Тьюринга.
 +
|proof=Пусть эмулируется ЛКА с окрестностью радиуса <tex>d</tex> (из <tex>2d + 1</tex> клетки). Пусть в автомате клетки всего <tex>n</tex> состояний. Сопоставим каждому состоянию  алфавита МТ, так что состояние покоя будет отображаться в пустую клетку ленты. Дополнительно введем символы-терминалы, указывающие на то, что соответствующие клетке ленты автоматы еще находятся в состояниях покоя. С точки зрения ЛКА клетки с терминалами будут считаться пустыми. Автомат МТ будет иметь <tex>O(n^{2d+1})</tex> состояний {{---}} по состоянию для каждой возможной окрестности клетки, а также состояния, обеспечивающие правильную эмуляцию. Исходное состояние ленты МТ имеет следующий вид: отрезок, содержащий все клетки, эквивалентные неспокойным клеткам автомата, ограниченный с концов терминалами. Эмуляция каждой фазы ЛКА будет происходить следующим образом: головка будет сдвигаться до левого терминала, затем еще на <tex>d</tex> влево. Затем левый терминал будет переноситься на <tex>d</tex> клеток влево, а для каждой клетки правее нового положения левого терминала будет запоминаться ее окрестность, затем будет изменяться ее состояние соответственно поведению ЛКА. И так для всех клеток, пока не встретится правый терминал. В этом случае необходимо перенести его на <tex>d</tex> клеток вправо и продолжить менять клетки до его следующего вхождения. Затем перейти к следующей фазе. Такая МТ будет эмулировать заданный ЛКА.
 
}}
 
}}
  
[[Изображение:Tape.jpg|640px|thumb|center|Рис. 2. Эмуляция ленты МТ в КА]]
+
Из доказанных выше теорем следует, что линейный клеточный автомат и машина Тьюринга эквивалентны.
  
Функция перехода имеет следующий вид:
+
==См. также ==
 +
* [[Машина Тьюринга]]
 +
* [[Линейный ограниченный автомат]]
  
[[Изображение:Transit.jpg|640px|thumb|center|Рис. 3. Функция перехода]]
+
== Источники информации ==
 +
* ''A.R. Smith III'' {{---}} '''Simple Computation-Universal Cellular Spaces''', Journal of Association for Computing Machinery, Vol. 18, No. 3, July 1971.
 +
* ''M. Delorme'' {{---}} '''An Introduction to Cellular Automata''', July 1998.
  
Также определим в каждой клетке состояние <tex>w</tex>, соответствующее начальному состоянию МТ. Перед началом эмуляции клетки ленты переведем в состояния, эквивалентные входным символам, клетку над самой левой непустой клеткой ленты переведем в состояние <tex>w</tex>, которая будет соответствовать начальному положению головки. Тогда клетки ленты будут менять свои состояние так же, как лента МТ.
+
[[Категория: Теория вычислимости]]
 +
[[Категория: Вычислительные формализмы]]

Текущая версия на 19:51, 10 марта 2019

Определения[править]

Определение:
Клеточным автоматом (КА) (англ. cellular automaton) [math]A[/math] размерности [math]d[/math] называется четверка [math] \langle {Z^d}, S, N, \delta \rangle[/math], где
  • [math]S[/math] — конечное множество, элементы которого являются состояниями [math]A[/math].
  • [math]N[/math] — конечное упорядоченное подмножество [math]Z^d[/math], [math]N=\{{n_j} \mid {n_j}=(x_{1_j}, \dots, x_{d_j}), j \in \{1 \dots n\}\}[/math], называемое окрестностью (англ. neighborhood) [math]A[/math]. В данном определении полагается, что клетка всегда принадлежит своей окрестности.
  • [math]\delta : S^{n} \rightarrow S[/math] — функция перехода для [math]A[/math].


Определение:
Линейным клеточным автоматом (ЛКА) (англ. linear cellular automaton) называется одномерный клеточный автомат, окрестность каждой клетки которого состоит из [math]2 \cdot r + 1[/math] клеток, находящихся на расстоянии не более [math]r[/math] от данной.


Определение:
Состоянием покоя (англ. quiescent state) называется такое состояние автомата клетки [math]c[/math], что если автоматы клетки [math]c[/math] и всех ее соседей (клеток из ее окрестности) находятся в состояниях покоя, то автомат [math]c[/math] на следующем шаге останется в текущем состоянии.


Определение:
Спокойной клеткой (англ. quiescent cell) назовем клетку, автомат в которой перешел в состояние покоя.


Определение:
Конфигурацией (англ. configuraton) [math]c_i[/math] КА называется распределение состояний автоматов по клеточному пространству, где [math]i[/math] — шаг, после которого была получена конфигурация. Начальная конфиграция — [math]c_0[/math].


Определение:
Поддержкой (англ. support) конфигурации [math]c[/math] называется множество неспокойных клеток в ней. Обозначается [math]sup(c)[/math].


Другое определение линейного клеточного автомата[править]

Определение:
Линейным клеточным автоматом [math]A[/math] назовем бесконечную ленту, в каждой клетке которой записан некоторый автомат. На вход автомату в клетке [math]i[/math] подается вектор из состояний автоматов в клетках с [math]i - r[/math] по [math]i + r[/math] включительно.
Лемма:
Для любого ЛКА можно построить эквивалентный ему ЛКА, во всех клетках которого будет записан один и тот же автомат.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Так как окрестность каждой клетки конечна и размер автомата в клетке конечен, то всего существует конечное число автоматов. Обозначим их множество как [math]D[/math]. Построим автомат [math]B[/math] следующим образом: множеством вершин [math]B[/math] будет объединение множеств вершин автоматов из [math]D[/math], переходы между вершинами [math]u[/math] и [math]v[/math] будут совпадать с переходами [math]D_i[/math], если [math]u[/math] и [math]v[/math] соответствуют вершинам из [math]D_i[/math], иначе переход отсутствует. Начальным состоянием автомата будет состояние,соответствующее начальному состоянию автомата [math]D_k[/math], который был записан в текущей клетке. Очевидно, что поведение такого автомата будет совпадать с поведением [math]D_k[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Эквивалентность линейного клеточного автомата машине Тьюринга[править]

Теорема:
Для произвольной [math](m, n)[/math] машины Тьюринга [math]T[/math] существует двумерный КА с окрестностью из семи клеток и клеточным пространством [math]Z_T[/math] с [math]max(n + 1, m + 1)[/math] состояниями, симулирующий ее в реальном времени.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Рис. 1. Окрестность клетки

Каждому состоянию автомата клетки будет сопоставляться либо состояние автомата МТ, либо символ на ленте. Все клетки будут либо клетками ленты, расположенными в одном ряду, и в этом случае их состояние соответствует символу на ленте МТ, либо служебными клетками. Среди служебных клеток клетка [math]h[/math] будет соответствовать головке MT и в каждый момент находиться над какой-то клеткой ленты, клетки [math]a[/math] и [math]b[/math] всегда будут указывать на клетки слева и справа от [math]h[/math]. Остальные клетки будут находиться в состоянии покоя.

Заметим, что это порождает следующую проблему: размер входных данных МТ конечен, следовательно поддержка начальной конфигурации конечна. Так как МТ в общем случае может не остановиться, то в какой-то момент может потребоваться расширить ленту. Поэтому необходимо ввести две дополнительных служебных клетки, при необходимости расширяющих ленту влево или вправо (то есть переводящих соседнюю слева/справа клетку в свое состояние, а сами переходящие в состояние, соответствующее пустой клетке ленты МТ).

Построим окрестность, необходимую для корректной работы такого КА. Рассмотрев поведение МТ и зависимости клеток КА, получим, что минимальная по размеру окрестность имеет вид, представленный на Рис. 1.

Рис. 2. Эмуляция ленты МТ в КА
Также определим в каждой клетке состояние [math]w[/math], соответствующее начальному состоянию МТ. Перед началом эмуляции клетки ленты переведем в состояния эквивалентные входным символам, клетку над самой левой непустой клеткой ленты переведем в состояние [math]w[/math], которая будет соответствовать начальному положению головки. Тогда клетки ленты будут менять свои состояние так же, как лента МТ.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Для произвольной [math](m, n)[/math] машины Тьюринга существует линейный КА с окрестность не более, чем из шести клеток, [math]max(m + 1, n + 1)[/math] состояниями, эмулирующий эту МТ в реальном времени.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Лента будет иметь следующий вид:

Рис. 4. Эмуляция ленты МТ в ЛКА
Доказательство и построение автомата аналогично предыдущей теореме.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Для произвольного ЛКА можно построить эмулирующую его машину Тьюринга.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Пусть эмулируется ЛКА с окрестностью радиуса [math]d[/math] (из [math]2d + 1[/math] клетки). Пусть в автомате клетки всего [math]n[/math] состояний. Сопоставим каждому состоянию алфавита МТ, так что состояние покоя будет отображаться в пустую клетку ленты. Дополнительно введем символы-терминалы, указывающие на то, что соответствующие клетке ленты автоматы еще находятся в состояниях покоя. С точки зрения ЛКА клетки с терминалами будут считаться пустыми. Автомат МТ будет иметь [math]O(n^{2d+1})[/math] состояний — по состоянию для каждой возможной окрестности клетки, а также состояния, обеспечивающие правильную эмуляцию. Исходное состояние ленты МТ имеет следующий вид: отрезок, содержащий все клетки, эквивалентные неспокойным клеткам автомата, ограниченный с концов терминалами. Эмуляция каждой фазы ЛКА будет происходить следующим образом: головка будет сдвигаться до левого терминала, затем еще на [math]d[/math] влево. Затем левый терминал будет переноситься на [math]d[/math] клеток влево, а для каждой клетки правее нового положения левого терминала будет запоминаться ее окрестность, затем будет изменяться ее состояние соответственно поведению ЛКА. И так для всех клеток, пока не встретится правый терминал. В этом случае необходимо перенести его на [math]d[/math] клеток вправо и продолжить менять клетки до его следующего вхождения. Затем перейти к следующей фазе. Такая МТ будет эмулировать заданный ЛКА.
[math]\triangleleft[/math]

Из доказанных выше теорем следует, что линейный клеточный автомат и машина Тьюринга эквивалентны.

См. также[править]

Источники информации[править]

  • A.R. Smith IIISimple Computation-Universal Cellular Spaces, Journal of Association for Computing Machinery, Vol. 18, No. 3, July 1971.
  • M. DelormeAn Introduction to Cellular Automata, July 1998.