Линейный оператор — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Матрица линейного оператора)
Строка 1: Строка 1:
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition=Пусть <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> - линейные пространства над полем <tex>F</tex>. Отображение <tex>A:X \rightarrow Y</tex> называется линейным оператором, если <tex>\forall x_1,x_2 \in X</tex>, <tex>\forall \lambda \in F</tex>:
+
|definition=Пусть <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> - линейные пространства над полем <tex>F</tex>. Отображение <tex>\mapscal{A}:X \mapsto Y</tex> называется линейным оператором, если <tex>\forall x_1,x_2 \in X</tex>, <tex>\forall \lambda \in F</tex>:
* <tex>A(x_1+x_2)=A(x_1)+A(x_2)</tex>
+
* <tex>\mapscal{A}(x_1+x_2)=\mapscal{A}(x_1)+\mapscal{A}(x_2)</tex>
* <tex>A(\lambda \cdot x_1) = \lambda \cdot A(x_1)</tex>
+
* <tex>\mapscal{A}(\lambda \cdot x_1) = \lambda \cdot \mapscal{A}(x_1)</tex>
 
}}
 
}}
  
NB: Гомоморфизм
 
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition=Линейный оператор <tex>A:X \rightarrow X</tex> называется автоморфизмом.
+
|definition=Линейный оператор <tex>\mathcal{A}:X \mapsto X</tex> называется автоморфизмом (или гомоморфизмом).
 
}}
 
}}
NB: <tex>A(x) = Ax</tex>
+
NB: <tex>\mathcal{A}(x) = \mathcal{A}x</tex>
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition=<tex>A,B:X \rightarrow Y</tex>, <tex>A=B</tex>, если <tex>\forall x \in X:Ax = Bx</tex>
+
|definition=<tex>\mathcal{A},\mathcal{B}:X \mapsto Y</tex>, <tex>\mathcal{A}=\mathcal{B}</tex>, если <tex>\forall x \in X:\mathcal{A}x = \mathcal{B}x</tex>
 
}}
 
}}
 
{{Определение
 
{{Определение
Строка 18: Строка 17:
 
== Примеры ==
 
== Примеры ==
 
=== Тождественный оператор ===
 
=== Тождественный оператор ===
<tex>I:X \rightarrow X</tex>  по формуле <tex>Ix=x</tex>
+
<tex>I:X \mapsto X</tex>  по формуле <tex>Ix=x</tex>
 
=== Линейный оператор проектирования ===
 
=== Линейный оператор проектирования ===
 
<tex>X=L1 \dotplus L2</tex>
 
<tex>X=L1 \dotplus L2</tex>
  
<tex>P_{L_1}^{||L_2}:X \rightarrow L_1</tex>
+
<tex>P_{L_1}^{||L_2}:X \mapsto L_1</tex>
  
<tex>P_{L_2}^{||L1}:X \rightarrow L_2</tex>
+
<tex>P_{L_2}^{||L1}:X \mapsto L_2</tex>
  
NB: <tex>P_{L_{1,2}}^{||L_{2,1}}:X \rightarrow X</tex> (<tex>L_1</tex> и <tex>L_2</tex> - п.п. <tex>X</tex>)
+
NB: <tex>P_{L_{1,2}}^{||L_{2,1}}:X \mapsto X</tex> (<tex>L_1</tex> и <tex>L_2</tex> - п.п. <tex>X</tex>)
  
 
=== Оператор дифференцирования ===
 
=== Оператор дифференцирования ===

Версия 19:26, 12 июня 2013

Определение:
Пусть [math]X[/math] и [math]Y[/math] - линейные пространства над полем [math]F[/math]. Отображение [math]\mapscal{A}:X \mapsto Y[/math] называется линейным оператором, если [math]\forall x_1,x_2 \in X[/math], [math]\forall \lambda \in F[/math]:
  • [math]\mapscal{A}(x_1+x_2)=\mapscal{A}(x_1)+\mapscal{A}(x_2)[/math]
  • [math]\mapscal{A}(\lambda \cdot x_1) = \lambda \cdot \mapscal{A}(x_1)[/math]


Определение:
Линейный оператор [math]\mathcal{A}:X \mapsto X[/math] называется автоморфизмом (или гомоморфизмом).

NB: [math]\mathcal{A}(x) = \mathcal{A}x[/math]

Определение:
[math]\mathcal{A},\mathcal{B}:X \mapsto Y[/math], [math]\mathcal{A}=\mathcal{B}[/math], если [math]\forall x \in X:\mathcal{A}x = \mathcal{B}x[/math]


Определение:
[math]O[/math] называется нулевым оператором, если [math]\forall x \in X:Ox=Oy[/math]

Примеры

Тождественный оператор

[math]I:X \mapsto X[/math] по формуле [math]Ix=x[/math]

Линейный оператор проектирования

[math]X=L1 \dotplus L2[/math]

[math]P_{L_1}^{||L_2}:X \mapsto L_1[/math]

[math]P_{L_2}^{||L1}:X \mapsto L_2[/math]

NB: [math]P_{L_{1,2}}^{||L_{2,1}}:X \mapsto X[/math] ([math]L_1[/math] и [math]L_2[/math] - п.п. [math]X[/math])

Оператор дифференцирования

Пусть [math]X=P_n; D:P_n \rightarrow P_{n-1}[/math] по формуле [math](Dp)(t)={dp(t) \over dt} = p^{'}(t)[/math]

Интегральный оператор

Пусть [math]X = C(a,b); K(s,t); s \in (a,b); t \in (a,b)[/math]

[math](Bf)(s) = \int_a^b K(s,t) \cdot f(t) \cdot dt[/math]

[math]B : C(a,b) \rightarrow C(a,b)[/math]

Матрица линейного оператора

Пусть [math]\mathcal{A}:X \mapsto Y[/math]

Пусть п.п. [math]X \leftrightarrow \{e_k\}_{k=1}^n, \dim X=n[/math]

Пусть п.п. [math]Y \leftrightarrow \{h_i\}_{i=1}^m, \dim Y = m[/math]

[math]\mathcal{A}e_k=\displaystyle \sum_{i=1}^m \alpha_k^i \cdot h_i \ (k=1,...,n) \Rightarrow A=||\alpha_k^i||[/math], где [math](i=1..m; k=1..n)[/math]

[math] A= \begin{pmatrix} \alpha_1^1 & \cdots & \alpha_n^1 \\ \alpha_1^2 & \cdots & \alpha_n^2 \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \alpha_1^m & \cdots & \alpha_n^m \\ \end{pmatrix} [/math]

Примеры

Нулевой оператор

[math] O_{[m \times n]}= \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & \cdots & 0 \\ \end{pmatrix} [/math]

Оператор дифференцирования

[math]D:P_n \rightarrow P_{n-1}[/math]

[math]\{1,t,t^2,...,t^n\}[/math] - базис [math]P_n[/math]

[math] D= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 &\cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 &\cdots & n \\ \end{pmatrix} [/math]