Мажорирующий элемент — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Доказательство)
(Орфография)
Строка 40: Строка 40:
  
 
== Обобщение на случай поиска элемента, встречающегося N/K раз ==
 
== Обобщение на случай поиска элемента, встречающегося N/K раз ==
Будем пользоваться той же идеей, что и в предыдущем пункте. До этого мы садили людей парами, а теперь будем садить группами из <tex>K</tex> человек. В итоге, если искомые нами элементы есть, то они останутся стоять.
+
Будем пользоваться той же идеей, что и в предыдущем пункте. До этого мы сажали людей парами, а теперь будем сажать группами из <tex>K</tex> человек. В итоге, если искомые нами элементы есть, то они останутся стоять.
  
Будем идти по массиву и хранить элементы, которые еще не сели. При встрече элемента, который уже есть среди стоящих, увеличиваем счетчик данного элемента на <tex>1</tex>. В противном случае смотрим, можем ли мы посадить группу и, либо ее садим, либо добавляем текущий элемент к стоящим. В конце требуется сделать проверку, что оставшиеся стоять элементы встречаются <tex>N/K</tex> раз.
+
Будем идти по массиву и хранить элементы, которые еще не сели. При встрече элемента, который уже есть среди стоящих, увеличиваем счетчик данного элемента на <tex>1</tex>. В противном случае смотрим, можем ли мы посадить группу и, либо ее сажаем, либо добавляем текущий элемент к стоящим. В конце требуется сделать проверку, что оставшиеся стоять элементы встречаются <tex>N/K</tex> раз.
  
 
=== Псевдокод ===
 
=== Псевдокод ===
Строка 75: Строка 75:
  
 
=== Доказательство ===
 
=== Доказательство ===
На <tex>i</tex>''-ом'' шаге поддерживается следующий инвариант: если на подмассиве <tex>a[0..i]</tex> существуют элементы, которые встречаются больше, чем <tex>i / K</tex> раз, то все они содержатся в <tex>candidates</tex> и размер <tex>candidates</tex> не превышает <tex>K</tex>. Тогда на <tex>N</tex>''-ом'' шаге шаге <tex>candidates</tex> будет содержать все возможные элементы, встречающиеся более, чем <tex>N / K</tex> раз, остается только выполнить проверку. Покажем, что данный инвариант всегда выполняется:
+
На <tex>i</tex>''-ом'' шаге поддерживается следующий инвариант: если на подмассиве <tex>a[0..i]</tex> существуют элементы, которые встречаются больше, чем <tex>i / K</tex> раз, то все они содержатся в <tex>candidates</tex> и размер <tex>candidates</tex> не превышает <tex>K</tex>. Тогда на <tex>N</tex>''-ом'' шаге <tex>candidates</tex> будет содержать все возможные элементы, встречающиеся более, чем <tex>N / K</tex> раз, остается только выполнить проверку. Покажем, что данный инвариант всегда выполняется:
  
 
Пусть данный инвариант выполняется на <tex>k</tex>''-ом'' шаге. Тогда на <tex>(k+1)</tex>''-ом'' шаге возможны <tex>3</tex> варианта:
 
Пусть данный инвариант выполняется на <tex>k</tex>''-ом'' шаге. Тогда на <tex>(k+1)</tex>''-ом'' шаге возможны <tex>3</tex> варианта:
 
#<tex>a[k + 1] \in candidates</tex><p>Размер <tex>candidates</tex> не увеличен, текущий элемент останется стоять. Инвариант выполняется.</p>
 
#<tex>a[k + 1] \in candidates</tex><p>Размер <tex>candidates</tex> не увеличен, текущий элемент останется стоять. Инвариант выполняется.</p>
 
#<tex>a[k + 1] \notin candidates</tex> и <tex>candidates.size() < K - 1</tex><p>Размер <tex>candidates</tex> останется меньше <tex>K</tex>, текущей элемент останется стоять. Инвариант выполняется.</p>
 
#<tex>a[k + 1] \notin candidates</tex> и <tex>candidates.size() < K - 1</tex><p>Размер <tex>candidates</tex> останется меньше <tex>K</tex>, текущей элемент останется стоять. Инвариант выполняется.</p>
#<tex>a[k + 1] \notin candidates</tex> и <tex>candidates.size() = K - 1</tex><p>Размер <tex>candidates</tex> на данном шаге может только уменьшиться. Садим группу. Если какой-то элемент был удален на текущем шаге, то, значит, он встречался не более, чем <tex>(k + 1) / K</tex> раз, т.к. мы могли успеть посадить максимум <tex>(k + 1) / K</tex> групп. Тогда удаление данного элемента из candidates ни к чему плохому не приведет. Инвариант выполняется.</p>
+
#<tex>a[k + 1] \notin candidates</tex> и <tex>candidates.size() = K - 1</tex><p>Размер <tex>candidates</tex> на данном шаге может только уменьшиться. Сажаем группу. Если какой-то элемент был удален на текущем шаге, то, значит, он встречался не более, чем <tex>(k + 1) / K</tex> раз, т.к. мы могли успеть посадить максимум <tex>(k + 1) / K</tex> групп. Тогда удаление данного элемента из candidates ни к чему плохому не приведет. Инвариант выполняется.</p>
  
 
Рассмотрим среднее количество обращений к словарю за одну итерацию. На каждой итерации происходит не более <tex>1</tex> увеличения счетчика. Тогда, за все время, происходит не более <tex>N</tex> увеличений. Так как количество уменьшений счетчика не может превышать количество увеличений, то всего происходит не более <tex>2N</tex> обращений к словарю. Следовательно, сложность одной итерации составляет <tex>O(1)</tex>.
 
Рассмотрим среднее количество обращений к словарю за одну итерацию. На каждой итерации происходит не более <tex>1</tex> увеличения счетчика. Тогда, за все время, происходит не более <tex>N</tex> увеличений. Так как количество уменьшений счетчика не может превышать количество увеличений, то всего происходит не более <tex>2N</tex> обращений к словарю. Следовательно, сложность одной итерации составляет <tex>O(1)</tex>.

Версия 23:12, 3 марта 2014

Формулировка задачи

Требуется в массиве длиной [math]N[/math] найти элемент, встречающийся более [math]N/2[/math] раз. Гарантируется, что такой элемент существует.

Решение за O(N)

Алгоритм можно представить следующим образом: пусть на вечеринке собрались [math]N[/math] людей, и каждому из них соответствует один элемент из массива. Когда встречаются двое с разными элементами, то они образуют пару и садятся. В конце концов останутся стоять только люди с одинаковыми элементами. Это и есть искомый элемент.

Будем идти по массиву и запоминать элемент, для которого еще не нашлось пары. При встрече такого же элемента увеличиваем счетчик "без пары", иначе - уменьшаем. Если все элементы уже имеют пару, то говорим, что у текущего элемента пары нет.

Псевдокод

 findMajorityElement(a, N)
   count = 0 // количество людей, оставшихся стоять
   candidate = [math]\varnothing[/math]
   
   for i = 0 to N - 1
     if count == 0 // никто не стоит
       candidate = a[i] // встанет текущий элемент
       count++ // увеличим количество стоящих
     else // кто-то стоит
       if a[i] == candidate // стоит такой же элемент
         count++ // увеличим количество стоящих
       else // стоит другой элемент => подобрали пару
         count-- // уменьшим количество стоящих
    
    return candidate

Доказательство

На [math]i-[/math]ом шаге выполняется следующий инвариант: если [math]count \gt 0[/math], то [math]candidate[/math] - мажорирующий элемент на подмассиве [math]a[0..i][/math], либо мажорирующего элемента на данном подмассиве не существует; если [math]count = 0[/math], то мажорирующего элемента на данном подмассиве не существует. Нам гарантируется существование мажорирующего элемента, значит на [math]N[/math]-ом шаге [math]count[/math] не равно [math]0[/math] и [math]candidate[/math] содержит мажорирующий элемент. Покажем, что данный инвариант всегда выполняется.

Пусть данный инвариант выполняется на [math]k-[/math]ом шаге. Тогда на [math](k+1)-[/math]ом шаге возможны 3 варианта:

  1. [math]count = 0[/math]

    Очевидно, что на подмассиве [math]a[0..k][/math] мажорирующего элемента не существует, так как все элементы разбились на пары. Тогда только [math]a[k+1][/math] может быть мажорирующим элементом.

  2. [math]count \gt 0[/math] и [math]a[k+1] = candidate[/math]

    Если на подмассиве [math]a[0..k][/math] существует мажорирующий элемент, то он находится в [math]candidate[/math]. Тогда, в силу равенства [math]a[k+1][/math] и [math]candidate[/math], если на подмассиве [math]a[0..(k+1)][/math] существует мажорирующий элемент, то он тоже будет равен [math]candidate[/math].

  3. [math]count \gt 0[/math] и [math]a[k+1] != candidate[/math]

    Если на подмассиве [math]a[0..k][/math] существует мажорирующий элемент, то он находится в [math]candidate[/math]. Тогда, в силу неравенства [math]a[k+1][/math] и [math]candidate[/math], образовалась новая пара. Если [math]count[/math] не станет равным нулю, то, опять же, мажорирующим элементом может быть только [math]candidate[/math], так как для всех остальных мы нашли пару, а, значит, встречаются они не более [math]N/2[/math] раз.


Всего происходит [math]N[/math] итераций, каждая из которых обрабатывается за [math]O(1)[/math]. Итоговая асимптотика [math]O(N)[/math].

Обобщение на случай поиска элемента, встречающегося N/K раз

Будем пользоваться той же идеей, что и в предыдущем пункте. До этого мы сажали людей парами, а теперь будем сажать группами из [math]K[/math] человек. В итоге, если искомые нами элементы есть, то они останутся стоять.

Будем идти по массиву и хранить элементы, которые еще не сели. При встрече элемента, который уже есть среди стоящих, увеличиваем счетчик данного элемента на [math]1[/math]. В противном случае смотрим, можем ли мы посадить группу и, либо ее сажаем, либо добавляем текущий элемент к стоящим. В конце требуется сделать проверку, что оставшиеся стоять элементы встречаются [math]N/K[/math] раз.

Псевдокод

 findMajorityElement(a, N, K)
   // candidates - словарь, где ключ - стоящий элемент,
   // значение - количество таких стоящих элементов
   for i = 0 to N - 1
     if candidates.containsKey(a[i]) // нашли стоящий элемент
       candidates[a[i]]++ // увеличим счетчик
     else
       if candidates.size() < K - 1 // полная группа не образована
         candidates[a[i]] = 1 // добавим элемент в группу
       else // образовалась полная группа
         for element in candidates // посадим группу
           candidates[element]--
           if candidates[element] == 0 // если никто с таким элементом не стоит
             candidates.remove(element) // удалим этот элемент
   
   for candidate in candidates // обнулим счетчик
     candidates[candidate] = 0
   
   for i = 0 to N - 1 // посчитаем, сколько раз встречаются элементы
     if candidates.containsKey(a[i])
       candidates[a[i]]++
   
   for candidate in candidates // проверим, встречается ли элемент N / K раз
     if candidates[candidate] > N / K
        elements.add(candidate)
     
   return elements

Доказательство

На [math]i[/math]-ом шаге поддерживается следующий инвариант: если на подмассиве [math]a[0..i][/math] существуют элементы, которые встречаются больше, чем [math]i / K[/math] раз, то все они содержатся в [math]candidates[/math] и размер [math]candidates[/math] не превышает [math]K[/math]. Тогда на [math]N[/math]-ом шаге [math]candidates[/math] будет содержать все возможные элементы, встречающиеся более, чем [math]N / K[/math] раз, остается только выполнить проверку. Покажем, что данный инвариант всегда выполняется:

Пусть данный инвариант выполняется на [math]k[/math]-ом шаге. Тогда на [math](k+1)[/math]-ом шаге возможны [math]3[/math] варианта:

  1. [math]a[k + 1] \in candidates[/math]

    Размер [math]candidates[/math] не увеличен, текущий элемент останется стоять. Инвариант выполняется.

  2. [math]a[k + 1] \notin candidates[/math] и [math]candidates.size() \lt K - 1[/math]

    Размер [math]candidates[/math] останется меньше [math]K[/math], текущей элемент останется стоять. Инвариант выполняется.

  3. [math]a[k + 1] \notin candidates[/math] и [math]candidates.size() = K - 1[/math]

    Размер [math]candidates[/math] на данном шаге может только уменьшиться. Сажаем группу. Если какой-то элемент был удален на текущем шаге, то, значит, он встречался не более, чем [math](k + 1) / K[/math] раз, т.к. мы могли успеть посадить максимум [math](k + 1) / K[/math] групп. Тогда удаление данного элемента из candidates ни к чему плохому не приведет. Инвариант выполняется.

Рассмотрим среднее количество обращений к словарю за одну итерацию. На каждой итерации происходит не более [math]1[/math] увеличения счетчика. Тогда, за все время, происходит не более [math]N[/math] увеличений. Так как количество уменьшений счетчика не может превышать количество увеличений, то всего происходит не более [math]2N[/math] обращений к словарю. Следовательно, сложность одной итерации составляет [math]O(1)[/math].

Получается, при реализации словаря на основе хэш-таблиц, каждая итерация в среднем выполняется за [math]O(1)[/math]. Итоговая сложность [math]O(N)[/math] с дополнительной памятью [math]O(K)[/math].

Альтернативное решение

Выберем случайный элемент в массиве и проверим, встречается ли он больше, чем [math]N / K[/math] раз. Будем делать так, пока не найдем подходящий элемент. Утверждается, что данный алгоритм в среднем работает за [math]O(N \cdot K)[/math]

Псевдокод

findMajorityElement(a, N, K)
  while true
    candidate = a[random(N)]
    count = 0
    for i = 0 to N - 1
      if a[i] == candidate
        count++
    if count > N / K
      return candidate

Доказательство

На каждом шаге мы берем случайный элемент. Проверка на мажорируемость выполняется за [math]O(N)[/math]. Вероятность, что мы выбрали элемент "удачно" составляет [math]1 / K[/math]. Тогда, в среднем, мы будем делать [math]K[/math] проверок. Итоговая сложность [math]O(N \cdot K)[/math].

Источники