Математическая индукция — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
Строка 1: Строка 1:
{| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
 
|+
 
|-align="center"
 
|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|
 
24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
 
 
Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
 
 
Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
 
 
Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
 
 
''Антивоенный комитет России''
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
 
|}
 
 
 
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
 
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
 
== Определение ==
 
== Определение ==

Текущая версия на 19:30, 4 сентября 2022

Определение

Математическая индукция — способ рассуждения, применяемый, в частности, в математическом анализе, заключающийся в следующем:

Пусть имеется последовательность свойств [math] P_1, P_2 \dots P_n \dots [/math]

  1. [math] P_1 [/math] — истина
  2. [math] P_k \Rightarrow P_{k+1} [/math] — шаг индукции
  3. Тогда все [math] P_n [/math] — истинны

Примеры использования

Неравенство Бернулли

Утверждение (неравенство Бернулли):
[math] \forall n \in N; \forall x \gt -1 : {(1 + x)}^n \ge 1 + nx [/math]
[math]\triangleright[/math]


  1. [math] n = 1: 1 + x \ge 1 + x [/math] — верно
  2. [math] {(1 + x)}^{n + 1} = {(1 + x)}^n (1 + x) \ge (1 + nx) (1 + x) = [/math]
    [math] = 1 + x + nx + nx^2 = 1 + (n + 1)x + nx^2[/math], так как [math] nx^2 \ge 0 [/math], то [math] {(1 + x)}^{n + 1} \ge 1 + (n + 1)x [/math]
[math]\triangleleft[/math]

Конечный бином Ньютона

Для того, чтобы сформировать следующее утверждение, определим систему чисел, называемую биномиальными коэффициентами:

[math] 0! = 1 \\ n! = n(n-1)! = n (n-1) (n-2) \dots 1 [/math]
[math] m \le n: C_n^m = \frac {n!} {(n-m)!m!} \\ \\ C_{n+1}^m = C_n^m + C_n^{m-1} = \\ = C_n^m + C_n^{m-1} = \frac {n!} {(n-m)!m!} + \frac {n!} {(n-m+1)!(m-1)!} = \\ = \frac {n!((n - m + 1) + m)} {m!((n+1) - m)!} = \frac {n!(n+1)} {((n+1)-m)!m!} = C_{n+1}^m [/math]
Утверждение (конечный бином Ньютона):
[math]a, b \in R; n \in N : {(a + b)}^n = \sum_{k=0}^n C_n^k a^k b^{n - k} [/math]
[math]\triangleright[/math]


  1. Для n = 1 — очевидно
  2. [math] {(a + b)}^{n + 1} = a{(a + b)}^n + b{(a + b)}^n = [/math]
[math] = \sum\limits_{k = 0}^n C_n^k a^{k + 1} b^{n - k} + \sum\limits_{k = 0}^n C_n^k a^k b^{n - k + 1} = [/math]
[math] = \sum\limits_{j = 1}^{n + 1} C_n^{j - 1} a^j b^{n - j + 1} + \sum\limits_{i = 0}^n C_n^i a^i b^{n - i + 1} = [/math]
[math] = C_n^n a^{n + 1} b^0 + \sum\limits_{j = 1}^n C_n^{j - 1} a^j b^{n - j + 1} + C_n^0 a^0 b^{n+1} + \sum\limits_{i = 1}^n C_n^i a^i b^{n - i + 1} = [/math]
[math] = 1 (a^{n + 1} + b^{n + 1}) + \sum\limits_{j = 1}^n (C_n^{j - 1} + C_n^j) a^j b^{n - j + 1}[/math]
Так как [math]1 = C_{n + 1}^{n + 1} = C_{n + 1}^0 [/math] , то
[math] = C_{n + 1}^{n + 1} a^{n + 1} b^0 + C_{n + 1}^0 a^0 b^{n + 1} + \sum\limits_{j = 1}^n C_{n + 1}^j a^j b^{n - j + 1}[/math]
Занесем первые два слагаемых под знак суммы и получим:
[math] = \sum\limits_{j = 0}^{n + 1} C_{n + 1}^j a^j b^{n + 1 - j}[/math] , что есть разложение для [math] {(a + b)}^{n + 1} [/math]
[math]\triangleleft[/math]