Редактирование: Математическое ожидание времени поглощения

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
  
|statement=Математическое ожидание времени поглощения можно посчитать как сумму всех элементов вектора <tex> v </tex>, где <tex> v[j] </tex> {{---}} среднее количество раз, которое мы побываем в состоянии <tex> j </tex>.
+
|statement=Математическое ожидание времени поглощения можно посчитать как сумму всех элементов вектора <tex> v </tex>, где <tex> v[j] </tex> - среднее количество раз, которое мы побываем в состоянии <tex> j </tex>.
  
|proof=Пусть <tex> b_0 </tex> {{---}} вектор вероятностей начальных состояний, то есть <tex> b_0[j] </tex> {{---}} вероятность для цепи Маркова начать в состоянии <tex> j </tex>. Определим <tex> b_r[j] </tex> как вероятность находиться в состоянии <tex> j </tex> после первых <tex> r </tex> шагов.
+
|proof=Пусть <tex> b_0 </tex> - вектор вероятностей начальных состояний, то есть <tex> b_0[j] </tex> - вероятность для цепи Маркова начать в состоянии <tex> j </tex>. Определим <tex> b_r[j] </tex> как вероятность находиться в состоянии <tex> j </tex> после первых <tex> r </tex> шагов.
  
 
За значение случайной величины в формуле [[Математическое ожидание случайной величины|математического ожидания]] <tex> E\xi = \sum \xi(\omega)p(\omega) </tex> примем <tex> \xi = \left\{
 
За значение случайной величины в формуле [[Математическое ожидание случайной величины|математического ожидания]] <tex> E\xi = \sum \xi(\omega)p(\omega) </tex> примем <tex> \xi = \left\{
Строка 12: Строка 12:
 
\right.  \Rightarrow \xi\cdot b_i[j] = b_i[j] </tex>.  После <tex> r </tex> шагов <tex> b_r = b_0 Q^r </tex> (доказательство аналогично части [[теорема о поглощении|теоремы о поглощении]]).
 
\right.  \Rightarrow \xi\cdot b_i[j] = b_i[j] </tex>.  После <tex> r </tex> шагов <tex> b_r = b_0 Q^r </tex> (доказательство аналогично части [[теорема о поглощении|теоремы о поглощении]]).
  
Пусть <tex> p^r_j </tex> {{---}} количество раз, которое [[Марковская цепь|цепь Маркова]] находится в состоянии <tex> j </tex> за первые <tex> r </tex> шагов.  
+
Пусть <tex> p^r_j </tex> - количество раз, которое [[Марковская цепь|цепь Маркова]] находится в состоянии <tex> j </tex> за первые <tex> r </tex> шагов.  
 
Рассмотрим <tex> v[j] </tex>:
 
Рассмотрим <tex> v[j] </tex>:
  
 
<tex> v[j] = E(p^r_j) = E(p^{r-1}_j) + \xi\cdot b_{r}[j] = E(p^{r-2}_j) + b_{r-1}[j] + b_{r}[j] = (\sum\limits_{t = 0}^{r}b_{t})[j] = b_0(\sum\limits_{t = 0}^{r}Q^{t})[j] </tex>.
 
<tex> v[j] = E(p^r_j) = E(p^{r-1}_j) + \xi\cdot b_{r}[j] = E(p^{r-2}_j) + b_{r-1}[j] + b_{r}[j] = (\sum\limits_{t = 0}^{r}b_{t})[j] = b_0(\sum\limits_{t = 0}^{r}Q^{t})[j] </tex>.
  
Отсюда <tex> v = b_0  \sum\limits_{t = 0}^{r}Q^{t} = b_0 N</tex>, где <tex> N </tex> {{---}} [[фундаментальная матрица|фундаментальная матрица]].
+
Отсюда <tex> v = b_0  \sum\limits_{t = 0}^{r}Q^{t} = b_0 N</tex>, где <tex> N </tex> - [[фундаментальная матрица|фундаментальная матрица]].
 
}}
 
}}
  

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, используемые на этой странице: