Математическое ожидание времени поглощения — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(См. также)
Строка 1: Строка 1:
Пусть <tex> b_0 </tex> - вектор вероятностей начальных состояний, то есть <tex> b_0[j] </tex> - вероятность для цепи Маркова начать в состоянии j. Определим <tex> b_r[j]</tex> как вероятность находиться в состоянии <tex> j </tex> после первых <tex> r </tex> шагов.
+
Пусть <tex> b_0 </tex> - вектор вероятностей начальных состояний, то есть <tex> b_0[j] </tex> - вероятность для цепи Маркова начать в состоянии <tex> j </tex>. Определим <tex> b_r[j] </tex> как вероятность находиться в состоянии <tex> j </tex> после первых <tex> r </tex> шагов.
 
<tex> b_r = b_0 Q^r </tex> (доказательство аналогично части [[теорема о поглощении|теоремы о поглощении]]).
 
<tex> b_r = b_0 Q^r </tex> (доказательство аналогично части [[теорема о поглощении|теоремы о поглощении]]).
  
Пусть <tex> p^r_j </tex> - количество раз, которое цепь Маркова находится в состоянии <tex> j </tex> за первые <tex> r </tex> шагов. Рассмотрим <tex> v[j] </tex> - среднее количество раз, которое мы побываем в состоянии j (далее <tex> E(x) </tex> означает математическое ожидание величины <tex> x </tex>):
+
Пусть <tex> p^r_j </tex> - количество раз, которое цепь Маркова находится в состоянии <tex> j </tex> за первые <tex> r </tex> шагов. Рассмотрим <tex> v[j] </tex> - среднее количество раз, которое мы побываем в состоянии <tex> j </tex> (далее <tex> E(x) </tex> означает математическое ожидание величины <tex> x </tex>):
  
 
<tex> v[j] = E(p^r_j) = E(p^{r-1}_j) + b_{r}[j] = (\sum\limits_{t = 0}^{r}b_{t})[j] = b_0(\sum\limits_{t = 0}^{r}Q^{t})[j] </tex>.
 
<tex> v[j] = E(p^r_j) = E(p^{r-1}_j) + b_{r}[j] = (\sum\limits_{t = 0}^{r}b_{t})[j] = b_0(\sum\limits_{t = 0}^{r}Q^{t})[j] </tex>.
  
Отсюда <tex> v = b_0  \sum\limits_{t = 0}^{r}Q^{t} = b_0 N</tex>, где N - [[фундаментальная матрица|фундаментальная матрица]].
+
Отсюда <tex> v = b_0  \sum\limits_{t = 0}^{r}Q^{t} = b_0 N</tex>, где <tex> N </tex> - [[фундаментальная матрица|фундаментальная матрица]].
  
 
Математическое ожидание можно посчитать как сумму всех элементов вектора v.
 
Математическое ожидание можно посчитать как сумму всех элементов вектора v.

Версия 13:39, 2 апреля 2018

Пусть [math] b_0 [/math] - вектор вероятностей начальных состояний, то есть [math] b_0[j] [/math] - вероятность для цепи Маркова начать в состоянии [math] j [/math]. Определим [math] b_r[j] [/math] как вероятность находиться в состоянии [math] j [/math] после первых [math] r [/math] шагов. [math] b_r = b_0 Q^r [/math] (доказательство аналогично части теоремы о поглощении).

Пусть [math] p^r_j [/math] - количество раз, которое цепь Маркова находится в состоянии [math] j [/math] за первые [math] r [/math] шагов. Рассмотрим [math] v[j] [/math] - среднее количество раз, которое мы побываем в состоянии [math] j [/math] (далее [math] E(x) [/math] означает математическое ожидание величины [math] x [/math]):

[math] v[j] = E(p^r_j) = E(p^{r-1}_j) + b_{r}[j] = (\sum\limits_{t = 0}^{r}b_{t})[j] = b_0(\sum\limits_{t = 0}^{r}Q^{t})[j] [/math].

Отсюда [math] v = b_0 \sum\limits_{t = 0}^{r}Q^{t} = b_0 N[/math], где [math] N [/math] - фундаментальная матрица.

Математическое ожидание можно посчитать как сумму всех элементов вектора v.

См. также

Источники информации

  • Кемени Дж., Снелл Дж. Конечные цепи Маркова. — М. : Наука, 1970. — 272 c.