Математическое ожидание случайной величины — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(8-8)
(Математическое ожидание случайной величины: исправил умножения)
 
(не показано 40 промежуточных версий 7 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
==Математическое ожидание случайной величины==
 
==Математическое ожидание случайной величины==
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition='''Математическое ожидание''' (англ. ''mathematical expectation'') (<tex>E\xi</tex>) {{---}} мера среднего значения случайной величины, равна <tex>E\xi = \sum \xi(\omega)p(\omega)</tex>
+
|definition='''Математическое ожидание''' (англ. ''mean value'') <tex> \left( E\xi \right) </tex> {{---}} мера среднего значения случайной величины, равная <tex>E\xi = \sum \xi(\omega) \cdot p(\omega)</tex>
 
}}
 
}}
  
 
{{Теорема  
 
{{Теорема  
|statement= <tex>\sum\limits_{\omega\epsilon\Omega} \xi(\omega)p(\omega) = \sum\limits_a a p(\xi = a)</tex>
+
|statement= <tex>\sum\limits_{\omega\epsilon\Omega} \xi(\omega) \cdot p(\omega) = \sum\limits_a a \cdot p(\xi = a)</tex>
|proof= <tex>\sum\limits_a \sum\limits_{\omega|\xi(\omega) = a} \xi(\omega)p(\omega) = \sum\limits_a a \sum\limits_{\omega|\xi(\omega)=a}p(\omega) = \sum\limits_a a p(\xi = a)</tex>
+
|proof= <tex>\sum\limits_a \sum\limits_{\omega|\xi(\omega) = a} \xi(\omega) \cdot p(\omega) = \sum\limits_a a \cdot \sum\limits_{\omega|\xi(\omega)=a}p(\omega) = \sum\limits_a a \cdot p(\xi = a)</tex>
 
}}
 
}}
  
Строка 14: Строка 14:
 
<tex> \xi(i) = i </tex>
 
<tex> \xi(i) = i </tex>
  
<tex> E\xi = 1\cdot \genfrac{}{}{1pt}{0}{1}{6}+2\cdot \genfrac{}{}{1pt}{0}{1}{6} \dots +6\cdot \genfrac{}{}{1pt}{0}{1}{6} = 3.5</tex>
+
<tex> E\xi = 1\cdot \dfrac{1}{6}+2\cdot \dfrac{1}{6} \dots +6\cdot \dfrac{1}{6} = 3.5</tex>
  
 
==Свойства математического ожидания==
 
==Свойства математического ожидания==
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
|statement=Математическое ожидание числа есть само число.
+
|about=о матожидании константы
|proof=<tex>E(a) = a</tex>, где <tex>a \in R</tex> {{---}} константа.
+
|statement=<tex>E(a) = a</tex>, где <tex>a \in R</tex> {{---}} константа.
 
}}
 
}}
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
|statement=Математическое ожидание сохраняет неравенства.
+
|about=о матожидании неравенств
|proof=Если <tex>0 \leqslant a \leqslant b</tex>, и <tex>b</tex> {{---}} случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины <tex>a</tex> также конечно, и <tex>0 \leqslant E(a) \leqslant E(b)</tex>.
+
|statement=Если <tex>0 \leqslant \xi \leqslant \eta</tex>, и <tex>\eta</tex> {{---}} случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины <tex>\xi</tex> также конечно, и <tex>0 \leqslant E(\xi) \leqslant E(\eta)</tex>.
 
}}
 
}}
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
|statement=Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль.
+
|about=о матожидании случайной величины на событии вероятности нуль
|proof=Если <tex>a = b</tex>, то <tex>E(a) = E(b)</tex>.
+
|statement=Если <tex>\xi = \eta</tex>, то <tex>E(\xi) = E(\eta)</tex>.
 
}}
 
}}
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
|statement=Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин <tex>a</tex> и <tex>b</tex> равно произведению их математических ожиданий.
+
|about=о матожидании двух независимых случайных величин
|proof=<tex>E(a \cdot b) = E(a) \cdot E(b)</tex>
+
|statement=Если <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> {{---}} две независимые случайные величины, то <tex>E(\xi \cdot \eta) = E(\xi) \cdot E(\eta)</tex>
 +
|proof=
 +
Согласно определению математического ожидания, <tex>E(\xi \cdot \eta) = \sum\limits_{\omega} \xi(\omega)\cdot\eta(\omega)\cdot p(\omega)</tex>.
 +
 
 +
По теореме, <tex>\sum\limits_{\omega} \xi(\omega) \cdot p(\omega) = \sum\limits_a a \cdot p(\xi = a)</tex>. Поэтому <tex>\sum\limits_{\omega} \xi(\omega)\cdot\eta(\omega)\cdot p(\omega)=\sum\limits_a a \cdot \sum\limits_b b \cdot p(\xi = a,\eta = b)</tex>.
 +
 
 +
Поскольку <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> {{---}} независимые величины, <tex>p(\xi = a,\eta = b) = p(\xi = a)\cdot p(\eta = b)</tex>.
 +
 
 +
Тогда получаем, что <tex>\sum\limits_a a \cdot \sum\limits_b b \cdot p(\xi = a,\eta = b) = \sum\limits_a a \cdot \sum\limits_b b \cdot p(\xi = a)\cdot p(\eta = b)=\sum\limits_a a\cdot p(\xi=a) \cdot \sum\limits_b b \cdot p(\eta = b)=E(\xi) \cdot E(\eta)</tex>.
 
}}
 
}}
 +
 
==Линейность математического ожидания==  
 
==Линейность математического ожидания==  
  
Строка 42: Строка 51:
 
Математическое ожидание <tex>E</tex> линейно.  
 
Математическое ожидание <tex>E</tex> линейно.  
 
|proof=
 
|proof=
# <tex>E(\xi + \eta) = {\sum_w \limits}(\xi(w) + \eta(w))p(w) = {\sum_w \limits}\xi(w)p(w) + {\sum_w \limits}\eta(w)p(w) = E(\xi) + E(\eta) </tex>
+
# <tex>E(\xi + \eta) = {\sum_w \limits}(\xi(w) + \eta(w)) \cdot p(w) = \sum\limits_w \xi(w) \cdot p(w) + {\sum_w \limits}\eta(w) \cdot p(w) = E(\xi) + E(\eta) </tex>
# <tex>E(\alpha\xi) = {\sum_w \limits}\alpha\xi(w) = \alpha{\sum_w \limits}\xi(w) = \alpha E(\xi)</tex>, где <tex>\alpha</tex> {{---}} действительное число
+
# <tex>E(\alpha\xi) = {\sum_w \limits}\alpha\xi(w) = \alpha{\sum_w \limits}\xi(w) = \alpha E(\xi)</tex>, где <tex>\alpha</tex> {{---}} действительное число.
  
 
}}
 
}}
  
 
==Использование линейности==
 
==Использование линейности==
Рассмотрим три примера
+
Рассмотрим три задачи.
  
 
===Пример 1===
 
===Пример 1===
Строка 57: Строка 66:
 
Посчитаем <tex>E(\xi)</tex>.
 
Посчитаем <tex>E(\xi)</tex>.
  
<tex>E(\xi)={\sum_{i=0}^6 \limits}i \cdot p(\xi=i)={\sum_{i=0}^6 \limits}i \cdot \genfrac{}{}{1pt}{0}{1}{7}=3</tex>
+
<tex>E(\xi)={\sum_{i=0}^6 \limits}i \cdot p(\xi=i)={\sum_{i=0}^6 \limits}i \cdot \dfrac{1}{7}=3</tex>
  
 
Получаем ответ
 
Получаем ответ
Строка 67: Строка 76:
 
Рассмотрим случайные величины <tex>\xi^i</tex> {{---}} совпал ли у строк  <tex> i </tex>-тый символ.  
 
Рассмотрим случайные величины <tex>\xi^i</tex> {{---}} совпал ли у строк  <tex> i </tex>-тый символ.  
 
Найдем математическое ожидание этой величины
 
Найдем математическое ожидание этой величины
<tex>E(\xi^i)=0 \cdot p(\xi^i=0)+1 \cdot p(\xi^i=1)=p(s[i]=t[i])</tex> где <tex>s[i],t[i]</tex> {{---}} <tex>i</tex>-тые символы соответствующих строк.
+
<tex>E(\xi^i)=0 \cdot p(\xi^i=0)+1 \cdot p(\xi^i=1)=p(s[i]=t[i]) \ </tex> где <tex>s[i],t[i]</tex> {{---}} <tex>i</tex>-тые символы соответствующих строк.
Так как появление каждого символа равновероятно, то <tex>p(s[i]=t[i])=\genfrac{}{}{1pt}{0}{1}{k}</tex>.
+
Так как появление каждого символа равновероятно, то <tex>p(s[i]=t[i])=\dfrac{1}{k}</tex>.
  
Итоговый результат: <tex>E(\xi)={\sum_{i=1}^n \limits}E(\xi^i)=\genfrac{}{}{1pt}{0}{n}{k} </tex>
+
Итоговый результат: <tex>E(\xi)={\sum_{i=1}^n \limits}E(\xi^i)=\dfrac{n}{k} </tex>
  
 
===Пример 3===
 
===Пример 3===
Строка 77: Строка 86:
 
Пусть <tex> \xi </tex> {{---}} случайная величина, которая возвращает количество инверсий в перестановке.
 
Пусть <tex> \xi </tex> {{---}} случайная величина, которая возвращает количество инверсий в перестановке.
  
Очевидно, что вероятность любой перестановки равна <tex> \genfrac{}{}{1pt}{0}{1}{n!} </tex>
+
Очевидно, что вероятность любой перестановки равна <tex> \dfrac{1}{n!} </tex>
  
Тогда <tex> E\xi = \genfrac{}{}{1pt}{0}{1}{n!}\cdot{\sum_{i=1}^{n!}}E(\xi^i) </tex>
+
Тогда <tex> E\xi = \dfrac{1}{n!}\cdot{\sum_{i=1}^{n!} \limits}{\xi^i} </tex>
  
 
Пусть <tex> P = (p_1,p_2,\dots,p_n)</tex> является перестановкой чисел <tex> 1, 2,\dots, n</tex>.
 
Пусть <tex> P = (p_1,p_2,\dots,p_n)</tex> является перестановкой чисел <tex> 1, 2,\dots, n</tex>.
  
Тогда <tex> A = (p_n, p_{n-1}, \dots, p_1) </tex> является перевернутой перестановкой <tex> P </tex>.
+
Тогда <tex> A = (p_n, p_{n-1}, \dots, p_1) </tex> является перевёрнутой перестановкой <tex> P </tex>.
  
Докажем, что количество инверсий в этих двух перестановках равно <tex> \genfrac{}{}{1pt}{0}{n\cdot(n-1)}{2} </tex>
+
Докажем, что количество инверсий в этих двух перестановках равно <tex> \dfrac{n\cdot(n-1)}{2} </tex>
  
Рассмотрим все пары <tex> 1 \leqslant i < j \leqslant n </tex>, таких пар всего <tex> \genfrac{}{}{1pt}{0}{n\cdot(n-1)}{2} </tex>. Тогда пара этих чисел образуют инверсию или в <tex>P</tex>, или в <tex>A</tex>. Если <tex>j</tex> стоит раньше <tex>i</tex> в перестановке <tex>P</tex>, то <tex>j</tex> будет стоять после <tex>i</tex> и уже не будет давать инверсию. Аналогично, если <tex>j</tex> стоит раньше <tex>i</tex> в перестановке <tex>A</tex>.
+
Рассмотрим все пары <tex> 1 \leqslant i < j \leqslant n </tex>, таких пар всего <tex> \dfrac{n\cdot(n-1)}{2} </tex>. Тогда пара этих чисел образуют инверсию или в <tex>P</tex>, или в <tex>A</tex>. Если <tex>j</tex> стоит раньше <tex>i</tex> в перестановке <tex>P</tex>, то <tex>j</tex> будет стоять после <tex>i</tex> и уже не будет давать инверсию. Аналогично, если <tex>j</tex> стоит раньше <tex>i</tex> в перестановке <tex>A</tex>.
  
Всего таких пар из перестановки и перевернутой перестановки будет <tex> \genfrac{}{}{1pt}{0}{n!}{2} </tex>.
+
Всего таких пар из перестановки и перевернутой перестановки будет <tex> \dfrac{n!}{2} </tex>.
  
Итого: <tex> E\xi = \genfrac{}{}{1pt}{0}{1}{n!}\cdot\genfrac{}{}{1pt}{0}{n\cdot(n-1)}{2}\cdot\genfrac{}{}{1pt}{0}{n!}{2} = \genfrac{}{}{1pt}{0}{n\cdot(n-1)}{4} </tex>
+
Итого: <tex> E\xi = \dfrac{1}{n!}\cdot\dfrac{n\cdot(n-1)}{2}\cdot\dfrac{n!}{2} = \dfrac{n\cdot(n-1)}{4} </tex>
  
 
==Примеры распределений==
 
==Примеры распределений==
  
 
===Распределение Бернулли===
 
===Распределение Бернулли===
Случайная величина <tex>a</tex> имеет распределение Бернулли, если она принимает всего два значения: <tex>1</tex> и <tex>0</tex> с вероятностями <tex>p</tex> и <tex>q \equiv 1-p</tex> соответственно. Таким образом:
+
Случайная величина <tex>\xi</tex> имеет распределение Бернулли, если она принимает всего два значения: <tex>1</tex> и <tex>0</tex> с вероятностями <tex>p</tex> и <tex>q \equiv 1-p</tex> соответственно. Таким образом:
  
:<tex>P(a = 1) = p</tex>
+
:<tex>P(\xi = 1) = p</tex>
:<tex>P(a = 0) = q</tex>
+
:<tex>P(\xi = 0) = q</tex>
  
 
Тогда несложно догадаться, чему будет равно математическое ожидание:
 
Тогда несложно догадаться, чему будет равно математическое ожидание:
:<tex>E(a) = 1 \cdot p + 0 \cdot q = p</tex>
+
:<tex>E(\xi) = 1 \cdot p + 0 \cdot q = p</tex>
  
 
===Гипергеометрическое распределение===
 
===Гипергеометрическое распределение===
Строка 109: Строка 118:
 
Пусть имеется конечная совокупность, состоящая из <tex>N</tex> элементов. Предположим, что <tex>D</tex> из них обладают нужным нам свойством. Оставшиеся <tex>N-D</tex> этим свойством не обладают. Случайным образом из общей совокупности выбирается группа из <tex>n</tex> элементов. Пусть <tex>a</tex> {{---}} случайная величина, равная количеству выбранных элементов, обладающих нужным свойством. Тогда функция вероятности <tex>a</tex> имеет вид:
 
Пусть имеется конечная совокупность, состоящая из <tex>N</tex> элементов. Предположим, что <tex>D</tex> из них обладают нужным нам свойством. Оставшиеся <tex>N-D</tex> этим свойством не обладают. Случайным образом из общей совокупности выбирается группа из <tex>n</tex> элементов. Пусть <tex>a</tex> {{---}} случайная величина, равная количеству выбранных элементов, обладающих нужным свойством. Тогда функция вероятности <tex>a</tex> имеет вид:
  
:<tex>P_a(k) \equiv P(a = k) = \genfrac{}{}{1pt}{0}{C_D^k \cdot C_{N-D}^{n-k}}{C_N^n}</tex>,
+
:<tex>P_\xi(k) \equiv P(\xi = k) = \dfrac{C_D^k \cdot C_{N-D}^{n-k}}{C_N^n}</tex>,
где <tex>C_n^k \equiv \genfrac{}{}{1pt}{0}{n!}{k! \cdot (n-k)!}</tex> обозначает биномиальный коэффициент.
+
где <tex>C_n^k \equiv \dfrac{n!}{k! \cdot (n-k)!}</tex> обозначает биномиальный коэффициент.
  
Гипергеометрическое распределение обозначается <tex> a \sim \mathrm{HG}(D,N,n)</tex>.
+
Гипергеометрическое распределение обозначается <tex> \xi \sim \mathrm{HG}(D,N,n)</tex>.
  
 
Формула математического ожидания для гипергеометрического распределения имеет вид:
 
Формула математического ожидания для гипергеометрического распределения имеет вид:
:<tex>E(a) = \genfrac{}{}{1pt}{0}{n \cdot D}{N}</tex>
+
:<tex>E(\xi) = \dfrac{n \cdot D}{N}</tex>
  
==Смотри также==
+
==См. также==
 +
* [[Дискретная случайная величина]]
 
* [[Дисперсия случайной величины]]
 
* [[Дисперсия случайной величины]]
  

Текущая версия на 16:42, 14 мая 2019

Математическое ожидание случайной величины[править]

Определение:
Математическое ожидание (англ. mean value) [math] \left( E\xi \right) [/math] — мера среднего значения случайной величины, равная [math]E\xi = \sum \xi(\omega) \cdot p(\omega)[/math]


Теорема:
[math]\sum\limits_{\omega\epsilon\Omega} \xi(\omega) \cdot p(\omega) = \sum\limits_a a \cdot p(\xi = a)[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
[math]\sum\limits_a \sum\limits_{\omega|\xi(\omega) = a} \xi(\omega) \cdot p(\omega) = \sum\limits_a a \cdot \sum\limits_{\omega|\xi(\omega)=a}p(\omega) = \sum\limits_a a \cdot p(\xi = a)[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Пример[править]

Пусть наше вероятностное пространство — «честная кость»

[math] \xi(i) = i [/math]

[math] E\xi = 1\cdot \dfrac{1}{6}+2\cdot \dfrac{1}{6} \dots +6\cdot \dfrac{1}{6} = 3.5[/math]

Свойства математического ожидания[править]

Утверждение (о матожидании константы):
[math]E(a) = a[/math], где [math]a \in R[/math] — константа.
Утверждение (о матожидании неравенств):
Если [math]0 \leqslant \xi \leqslant \eta[/math], и [math]\eta[/math] — случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины [math]\xi[/math] также конечно, и [math]0 \leqslant E(\xi) \leqslant E(\eta)[/math].
Утверждение (о матожидании случайной величины на событии вероятности нуль):
Если [math]\xi = \eta[/math], то [math]E(\xi) = E(\eta)[/math].
Утверждение (о матожидании двух независимых случайных величин):
Если [math]\xi[/math] и [math]\eta[/math] — две независимые случайные величины, то [math]E(\xi \cdot \eta) = E(\xi) \cdot E(\eta)[/math]
[math]\triangleright[/math]

Согласно определению математического ожидания, [math]E(\xi \cdot \eta) = \sum\limits_{\omega} \xi(\omega)\cdot\eta(\omega)\cdot p(\omega)[/math].

По теореме, [math]\sum\limits_{\omega} \xi(\omega) \cdot p(\omega) = \sum\limits_a a \cdot p(\xi = a)[/math]. Поэтому [math]\sum\limits_{\omega} \xi(\omega)\cdot\eta(\omega)\cdot p(\omega)=\sum\limits_a a \cdot \sum\limits_b b \cdot p(\xi = a,\eta = b)[/math].

Поскольку [math]\xi[/math] и [math]\eta[/math] — независимые величины, [math]p(\xi = a,\eta = b) = p(\xi = a)\cdot p(\eta = b)[/math].

Тогда получаем, что [math]\sum\limits_a a \cdot \sum\limits_b b \cdot p(\xi = a,\eta = b) = \sum\limits_a a \cdot \sum\limits_b b \cdot p(\xi = a)\cdot p(\eta = b)=\sum\limits_a a\cdot p(\xi=a) \cdot \sum\limits_b b \cdot p(\eta = b)=E(\xi) \cdot E(\eta)[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Линейность математического ожидания[править]

Теорема:
Математическое ожидание [math]E[/math] линейно.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
  1. [math]E(\xi + \eta) = {\sum_w \limits}(\xi(w) + \eta(w)) \cdot p(w) = \sum\limits_w \xi(w) \cdot p(w) + {\sum_w \limits}\eta(w) \cdot p(w) = E(\xi) + E(\eta) [/math]
  2. [math]E(\alpha\xi) = {\sum_w \limits}\alpha\xi(w) = \alpha{\sum_w \limits}\xi(w) = \alpha E(\xi)[/math], где [math]\alpha[/math] — действительное число.
[math]\triangleleft[/math]

Использование линейности[править]

Рассмотрим три задачи.

Пример 1[править]

Найти математическое ожидание суммы цифр на случайной кости домино.

Пусть [math] \xi [/math] — случайная величина, которая возвращает первое число на кости домино, а [math] \eta [/math] — возвращает второе число. Очевидно, что [math] E(\xi)= E(\eta)[/math]. Посчитаем [math]E(\xi)[/math].

[math]E(\xi)={\sum_{i=0}^6 \limits}i \cdot p(\xi=i)={\sum_{i=0}^6 \limits}i \cdot \dfrac{1}{7}=3[/math]

Получаем ответ [math]E(\xi+\eta)=2E(\xi)=6[/math]

Пример 2[править]

Пусть у нас есть строка [math]s[/math]. Строка [math]t[/math] генерируется случайным образом так, что два подряд идущих символа неравны. Какое математическое ожидание количества совпавших символов? Считать что размер алфавита равен [math]k[/math], а длина строки [math]n[/math].

Рассмотрим случайные величины [math]\xi^i[/math] — совпал ли у строк [math] i [/math]-тый символ. Найдем математическое ожидание этой величины [math]E(\xi^i)=0 \cdot p(\xi^i=0)+1 \cdot p(\xi^i=1)=p(s[i]=t[i]) \ [/math] где [math]s[i],t[i][/math][math]i[/math]-тые символы соответствующих строк. Так как появление каждого символа равновероятно, то [math]p(s[i]=t[i])=\dfrac{1}{k}[/math].

Итоговый результат: [math]E(\xi)={\sum_{i=1}^n \limits}E(\xi^i)=\dfrac{n}{k} [/math]

Пример 3[править]

Найти математическое ожидание количества инверсий на всех перестановках чисел от [math]1[/math] до [math]n[/math].

Пусть [math] \xi [/math] — случайная величина, которая возвращает количество инверсий в перестановке.

Очевидно, что вероятность любой перестановки равна [math] \dfrac{1}{n!} [/math]

Тогда [math] E\xi = \dfrac{1}{n!}\cdot{\sum_{i=1}^{n!} \limits}{\xi^i} [/math]

Пусть [math] P = (p_1,p_2,\dots,p_n)[/math] является перестановкой чисел [math] 1, 2,\dots, n[/math].

Тогда [math] A = (p_n, p_{n-1}, \dots, p_1) [/math] является перевёрнутой перестановкой [math] P [/math].

Докажем, что количество инверсий в этих двух перестановках равно [math] \dfrac{n\cdot(n-1)}{2} [/math]

Рассмотрим все пары [math] 1 \leqslant i \lt j \leqslant n [/math], таких пар всего [math] \dfrac{n\cdot(n-1)}{2} [/math]. Тогда пара этих чисел образуют инверсию или в [math]P[/math], или в [math]A[/math]. Если [math]j[/math] стоит раньше [math]i[/math] в перестановке [math]P[/math], то [math]j[/math] будет стоять после [math]i[/math] и уже не будет давать инверсию. Аналогично, если [math]j[/math] стоит раньше [math]i[/math] в перестановке [math]A[/math].

Всего таких пар из перестановки и перевернутой перестановки будет [math] \dfrac{n!}{2} [/math].

Итого: [math] E\xi = \dfrac{1}{n!}\cdot\dfrac{n\cdot(n-1)}{2}\cdot\dfrac{n!}{2} = \dfrac{n\cdot(n-1)}{4} [/math]

Примеры распределений[править]

Распределение Бернулли[править]

Случайная величина [math]\xi[/math] имеет распределение Бернулли, если она принимает всего два значения: [math]1[/math] и [math]0[/math] с вероятностями [math]p[/math] и [math]q \equiv 1-p[/math] соответственно. Таким образом:

[math]P(\xi = 1) = p[/math]
[math]P(\xi = 0) = q[/math]

Тогда несложно догадаться, чему будет равно математическое ожидание:

[math]E(\xi) = 1 \cdot p + 0 \cdot q = p[/math]

Гипергеометрическое распределение[править]

Гипергеометрическое распределение в теории вероятностей моделирует количество удачных выборок без возвращения из конечной совокупности.

Пусть имеется конечная совокупность, состоящая из [math]N[/math] элементов. Предположим, что [math]D[/math] из них обладают нужным нам свойством. Оставшиеся [math]N-D[/math] этим свойством не обладают. Случайным образом из общей совокупности выбирается группа из [math]n[/math] элементов. Пусть [math]a[/math] — случайная величина, равная количеству выбранных элементов, обладающих нужным свойством. Тогда функция вероятности [math]a[/math] имеет вид:

[math]P_\xi(k) \equiv P(\xi = k) = \dfrac{C_D^k \cdot C_{N-D}^{n-k}}{C_N^n}[/math],

где [math]C_n^k \equiv \dfrac{n!}{k! \cdot (n-k)!}[/math] обозначает биномиальный коэффициент.

Гипергеометрическое распределение обозначается [math] \xi \sim \mathrm{HG}(D,N,n)[/math].

Формула математического ожидания для гипергеометрического распределения имеет вид:

[math]E(\xi) = \dfrac{n \cdot D}{N}[/math]

См. также[править]

Источники информации[править]