Матрица Кирхгофа — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 31: Строка 31:
 
== Некоторые свойства ==
 
== Некоторые свойства ==
  
* Сумма элементов каждой строки (столбца) матрицы Кирхгофа равна нулю:
+
'''1.''' Сумма элементов каждой строки (столбца) матрицы Кирхгофа равна нулю:
 
: <tex>\ \sum_{i=1}^{|V|} k_{i,j} = 0</tex>.
 
: <tex>\ \sum_{i=1}^{|V|} k_{i,j} = 0</tex>.
* Определитель матрицы Кирхгофа равен нулю:
+
 
 +
'''2.''' Определитель матрицы Кирхгофа равен нулю:
 
: <tex>\det K=0</tex>
 
: <tex>\det K=0</tex>
* Матрица Кирхгофа простого графа симметрична:
+
 
 +
Доказательство:
 +
 
 +
<tex>  \det K =
 +
\begin{vmatrix}
 +
k_{1, 1} & k_{1, 2} & \cdots & k_{1, |V|} \\
 +
k_{2, 1} & k_{2, 2} & \cdots & k_{2, |V|} \\       
 +
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 +
k_{|V|, 1} & k_{|V|, 2} & \cdots & k_{|V|, |V|}
 +
\end{vmatrix}
 +
</tex>
 +
 
 +
Прибавим к первой строке все остальные строки(это не изменит значение определителя):
 +
 
 +
<tex>\begin{vmatrix}
 +
k_{1, 1} + k_{2, 1} + \cdots + k_{|V|, 1} & k_{1, 2} + k_{2, 2} + \cdots + k_{|V|, 2} & \cdots & k_{1, |V|} + k_{2, |V|} + \cdots + k_{|V|, |V|} \\
 +
k_{2, 1} & k_{2, 2} & \cdots & k_{2, |V|} \\       
 +
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 +
k_{|V|, 1} & k_{|V|, 2} & \cdots & k_{|V|, |V|}
 +
\end{vmatrix}
 +
</tex>
 +
 
 +
Так как сумма элементов каждого столбца равна <tex>0</tex>, получим:
 +
 
 +
<tex>\det K = \begin{vmatrix}
 +
0 & 0 & \cdots & 0 \\
 +
k_{2, 1} & k_{2, 2} & \cdots & k_{2, |V|} \\       
 +
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 +
k_{|V|, 1} & k_{|V|, 2} & \cdots & k_{|V|, |V|}
 +
\end{vmatrix} = 0
 +
</tex>
 +
 
 +
'''3.''' Матрица Кирхгофа простого графа симметрична:
 
: <tex>\ k_{i,j} = k_{j,i}\quad i,j=1, \ldots, |V|</tex>.
 
: <tex>\ k_{i,j} = k_{j,i}\quad i,j=1, \ldots, |V|</tex>.
  
*Связь с [[Матрица смежности графа|матрицей смежности]]:  
+
'''4.''' Связь с [[Матрица смежности графа|матрицей смежности]]:  
 
 
 
:<tex> K =  
 
:<tex> K =  
 
\begin{pmatrix}
 
\begin{pmatrix}
deg(v_1) & 0 & \cdots & 0 \\
+
\mathrm{deg}(v_1) & 0 & \cdots & 0 \\
0 & deg(v_2) & \cdots & 0 \\         
+
0 & \mathrm{deg}(v_2) & \cdots & 0 \\         
 
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & deg(v_n)
+
0 & 0 & \cdots & \mathrm{deg}(v_n)
 
\end{pmatrix} - A,
 
\end{pmatrix} - A,
 
</tex>  
 
</tex>  
 
 
где <tex>A</tex> — матрица смежности графа <tex>G</tex>.
 
где <tex>A</tex> — матрица смежности графа <tex>G</tex>.
  
*[[Связь матрицы Кирхгофа и матрицы инцидентности|Связь с матрицей инцидентности]]:  
+
'''5.''' [[Связь матрицы Кирхгофа и матрицы инцидентности|Связь с матрицей инцидентности]]:  
 
:<tex> K = I \cdot I^T, </tex> где <tex>I</tex> — матрица инцидентности некоторой ориентации графа.
 
:<tex> K = I \cdot I^T, </tex> где <tex>I</tex> — матрица инцидентности некоторой ориентации графа.
*<tex>0</tex> является собственным значением матрицы, кратность его равна числу компонент связности графа.
+
'''6.''' <tex>0</tex> является собственным значением матрицы.
 +
 
 +
Доказательство:
 +
 
 +
Собственным значением матрицы называют значения <tex>\lambda</tex>, которые удовлетворяют уравнению:
 +
 
 +
<tex>\begin{vmatrix}
 +
k_{1, 1} - \lambda &k_{1, 2} & \cdots & k_{1, |V|} \\
 +
k_{2, 1} & k_{2, 2} - \lambda & \cdots & k_{2, |V|} \\       
 +
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 +
k_{|V|, 1} & k_{|V|, 2} & \cdots & k_{|V|, |V| - \lambda}
 +
\end{vmatrix} = 0
 +
</tex>
 +
 
 +
Прибавим к первой строке все остальные строки(это не изменит значение определителя):
 +
 
 +
<tex>\begin{vmatrix}
 +
k_{1, 1} + k_{2, 1} + \cdots + k_{|V|, 1} - \lambda & k_{1, 2} + k_{2, 2} + \cdots + k_{|V|, 2} - \lambda & \cdots & k_{1, |V|} + k_{2, |V|} + \cdots + k_{|V|, |V|} - \lambda \\
 +
k_{2, 1} & k_{2, 2} & \cdots & k_{2, |V|} \\       
 +
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 +
k_{|V|, 1} & k_{|V|, 2} & \cdots & k_{|V|, |V|}
 +
\end{vmatrix}
 +
</tex>
 +
 
 +
Так как сумма элементов каждого столбца равна <tex>0</tex>, получим:
 +
 
 +
<tex>\begin{vmatrix}
 +
- \lambda &-\lambda & \cdots & - \lambda \\
 +
k_{2, 1} & k_{2, 2} - \lambda & \cdots & k_{2, |V|} \\       
 +
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 +
k_{|V|, 1} & k_{|V|, 2} & \cdots & k_{|V|, |V|} - \lambda
 +
\end{vmatrix} = 0
 +
</tex>
 +
 
 +
<tex>- \lambda
 +
\begin{vmatrix}
 +
1 & 1 & \cdots & 1 \\
 +
k_{2, 1} & k_{2, 2} - \lambda & \cdots & k_{2, |V|} \\       
 +
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 +
k_{|V|, 1} & k_{|V|, 2} & \cdots & k_{|V|, |V|} - \lambda
 +
\end{vmatrix}= 0.  
 +
</tex>
  
 +
Следовательно, <tex>0</tex> является собственным значением
  
 
==См. также==
 
==См. также==
Строка 61: Строка 134:
 
*[[Подсчет числа остовных деревьев с помощью матрицы Кирхгофа]]
 
*[[Подсчет числа остовных деревьев с помощью матрицы Кирхгофа]]
  
==Источники==
+
==Источники информации==
  
*Асанов М., Баранский В., Расин В.: Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы
+
*Асанов М., Баранский В., Расин В.: Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы. стр. 18
 
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%CC%E0%F2%F0%E8%F6%E0_%CA%E8%F0%F5%E3%EE%F4%E0 Википедия, Матрица Кирхгофа]
 
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%CC%E0%F2%F0%E8%F6%E0_%CA%E8%F0%F5%E3%EE%F4%E0 Википедия, Матрица Кирхгофа]
  
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Остовные деревья ]]
 
[[Категория: Остовные деревья ]]

Версия 19:49, 29 декабря 2014

Определение:
Матрицей Кирхгофа простого графа [math]G = (V,E) [/math] называется матрица [math] K (|V| \times |V|) = \parallel k_{i,j} \parallel [/math], элементы которой определяются равенством: [math] k_{i,j} = \begin{cases} \deg(v_i), \ i = j \\ -1, \ (v_i,v_j) \in E \\ 0, \mbox{ otherwise}. \end{cases} [/math]

Иными словами, на главной диагонали матрицы Кирхгофа находятся степени вершин, а на пересечении [math]i[/math]-й строки и [math]j[/math]-го столбца ([math]i \ne j[/math]) стоит [math]-1[/math], если вершины с номерами [math]i[/math] и [math]j[/math] смежны, и [math]0[/math] в противном случае.

Пример матрицы Кирхгофа

Граф Матрица Кирхгофа
Kirhgof matrix 1.png [math]\left(\begin{array}{rrrrrr} 2 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0\\ -1 & 3 & -1 & 0 & -1 & 0\\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 3 & -1 & -1\\ -1 & -1 & 0 & -1 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1\\ \end{array}\right)[/math]

Некоторые свойства

1. Сумма элементов каждой строки (столбца) матрицы Кирхгофа равна нулю:

[math]\ \sum_{i=1}^{|V|} k_{i,j} = 0[/math].

2. Определитель матрицы Кирхгофа равен нулю:

[math]\det K=0[/math]

Доказательство:

[math] \det K = \begin{vmatrix} k_{1, 1} & k_{1, 2} & \cdots & k_{1, |V|} \\ k_{2, 1} & k_{2, 2} & \cdots & k_{2, |V|} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k_{|V|, 1} & k_{|V|, 2} & \cdots & k_{|V|, |V|} \end{vmatrix} [/math]

Прибавим к первой строке все остальные строки(это не изменит значение определителя):

[math]\begin{vmatrix} k_{1, 1} + k_{2, 1} + \cdots + k_{|V|, 1} & k_{1, 2} + k_{2, 2} + \cdots + k_{|V|, 2} & \cdots & k_{1, |V|} + k_{2, |V|} + \cdots + k_{|V|, |V|} \\ k_{2, 1} & k_{2, 2} & \cdots & k_{2, |V|} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k_{|V|, 1} & k_{|V|, 2} & \cdots & k_{|V|, |V|} \end{vmatrix} [/math]

Так как сумма элементов каждого столбца равна [math]0[/math], получим:

[math]\det K = \begin{vmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ k_{2, 1} & k_{2, 2} & \cdots & k_{2, |V|} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k_{|V|, 1} & k_{|V|, 2} & \cdots & k_{|V|, |V|} \end{vmatrix} = 0 [/math]

3. Матрица Кирхгофа простого графа симметрична:

[math]\ k_{i,j} = k_{j,i}\quad i,j=1, \ldots, |V|[/math].

4. Связь с матрицей смежности:

[math] K = \begin{pmatrix} \mathrm{deg}(v_1) & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \mathrm{deg}(v_2) & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \mathrm{deg}(v_n) \end{pmatrix} - A, [/math]

где [math]A[/math] — матрица смежности графа [math]G[/math].

5. Связь с матрицей инцидентности:

[math] K = I \cdot I^T, [/math] где [math]I[/math] — матрица инцидентности некоторой ориентации графа.

6. [math]0[/math] является собственным значением матрицы.

Доказательство:

Собственным значением матрицы называют значения [math]\lambda[/math], которые удовлетворяют уравнению:

[math]\begin{vmatrix} k_{1, 1} - \lambda &k_{1, 2} & \cdots & k_{1, |V|} \\ k_{2, 1} & k_{2, 2} - \lambda & \cdots & k_{2, |V|} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k_{|V|, 1} & k_{|V|, 2} & \cdots & k_{|V|, |V| - \lambda} \end{vmatrix} = 0 [/math]

Прибавим к первой строке все остальные строки(это не изменит значение определителя):

[math]\begin{vmatrix} k_{1, 1} + k_{2, 1} + \cdots + k_{|V|, 1} - \lambda & k_{1, 2} + k_{2, 2} + \cdots + k_{|V|, 2} - \lambda & \cdots & k_{1, |V|} + k_{2, |V|} + \cdots + k_{|V|, |V|} - \lambda \\ k_{2, 1} & k_{2, 2} & \cdots & k_{2, |V|} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k_{|V|, 1} & k_{|V|, 2} & \cdots & k_{|V|, |V|} \end{vmatrix} [/math]

Так как сумма элементов каждого столбца равна [math]0[/math], получим:

[math]\begin{vmatrix} - \lambda &-\lambda & \cdots & - \lambda \\ k_{2, 1} & k_{2, 2} - \lambda & \cdots & k_{2, |V|} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k_{|V|, 1} & k_{|V|, 2} & \cdots & k_{|V|, |V|} - \lambda \end{vmatrix} = 0 [/math]

[math]- \lambda \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ k_{2, 1} & k_{2, 2} - \lambda & \cdots & k_{2, |V|} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k_{|V|, 1} & k_{|V|, 2} & \cdots & k_{|V|, |V|} - \lambda \end{vmatrix}= 0. [/math]

Следовательно, [math]0[/math] является собственным значением

См. также

Источники информации