Изменения

* {{Утверждение|statement=Сумма элементов каждой строки (столбца) матрицы Кирхгофа равна нулю:

* }} {{Утверждение|statement=Определитель матрицы Кирхгофа равен нулю:

* |proof=<tex> \det K = \begin{vmatrix}k_{1, 1} & k_{1, 2} & \cdots & k_{1, |V|} \\k_{2, 1} & k_{2, 2} & \cdots & k_{2, |V|} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\k_{|V|, 1} & k_{|V|, 2} & \cdots & k_{|V|, |V|}\end{vmatrix}</tex>  Прибавим к первой строке все остальные строки (это не изменит значение определителя): <tex>\begin{vmatrix}k_{1, 1} + k_{2, 1} + \cdots + k_{|V|, 1} & k_{1, 2} + k_{2, 2} + \cdots + k_{|V|, 2} & \cdots & k_{1, |V|} + k_{2, |V|} + \cdots + k_{|V|, |V|} \\k_{2, 1} & k_{2, 2} & \cdots & k_{2, |V|} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\k_{|V|, 1} & k_{|V|, 2} & \cdots & k_{|V|, |V|}\end{vmatrix}</tex> Так как сумма элементов каждого столбца равна <tex>0</tex>, получим: <tex>\det K = \begin{vmatrix}0 & 0 & \cdots & 0 \\k_{2, 1} & k_{2, 2} & \cdots & k_{2, |V|} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\k_{|V|, 1} & k_{|V|, 2} & \cdots & k_{|V|, |V|}\end{vmatrix} = 0</tex>}} {{Утверждение|statement=Матрица Кирхгофа простого графа симметрична:

*{{Утверждение|statement=Связь с [[Матрица смежности графа|матрицей смежности]]:  

\mathrm{deg}(v_1) & 0 & \cdots & 0 \\0 & \mathrm{deg}(v_2) & \cdots & 0 \\

0 & 0 & \cdots & \mathrm{deg}(v_n)

*{{Утверждение|statement=[[Связь матрицы Кирхгофа и матрицы инцидентности|Связь с матрицей инцидентности]]:

*}} {{Утверждение|statement=<tex>0</tex> является [[Собственные векторы и собственные значения|собственным значением ]] матрицы, кратность его равна числу [[Отношение связности, компоненты связности|компонент связности ]] графа.|proof=Собственным значением матрицы называют значения <tex>\lambda</tex>, которые удовлетворяют уравнению: <tex>\begin{vmatrix}k_{1, 1} - \lambda &k_{1, 2} & \cdots & k_{1, |V|} \\k_{2, 1} & k_{2, 2} - \lambda & \cdots & k_{2, |V|} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\k_{|V|, 1} & k_{|V|, 2} & \cdots & k_{|V|, |V| - \lambda}\end{vmatrix} = 0</tex> Прибавим к первой строке все остальные строки (это не изменит значение определителя): <tex>\begin{vmatrix}k_{1, 1} + k_{2, 1} + \cdots + k_{|V|, 1} - \lambda & k_{1, 2} + k_{2, 2} + \cdots + k_{|V|, 2} - \lambda & \cdots & k_{1, |V|} + k_{2, |V|} + \cdots + k_{|V|, |V|} - \lambda \\k_{2, 1} & k_{2, 2} - \lambda & \cdots & k_{2, |V|} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\k_{|V|, 1} & k_{|V|, 2} & \cdots & k_{|V|, |V|} - \lambda\end{vmatrix}</tex> Так как сумма элементов каждого столбца равна <tex>0</tex>, получим: <tex>\begin{vmatrix} - \lambda &-\lambda & \cdots & - \lambda \\k_{2, 1} & k_{2, 2} - \lambda & \cdots & k_{2, |V|} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\k_{|V|, 1} & k_{|V|, 2} & \cdots & k_{|V|, |V|} - \lambda\end{vmatrix} = 0</tex> <tex>- \lambda\begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\k_{2, 1} & k_{2, 2} - \lambda & \cdots & k_{2, |V|} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\k_{|V|, 1} & k_{|V|, 2} & \cdots & k_{|V|, |V|} - \lambda\end{vmatrix}= 0. </tex> Следовательно, <tex>0</tex> является собственным значением. '''Доказательство кратности:''' Пусть дан граф <tex>G</tex> c <tex>n</tex> компонентами связности. Перенумеруем его вершины так, чтобы сначала шли вершины первой компоненты связности, затем второй и т.д. Тогда матрица Кирхгофа примет блочно-диагональный вид, и <tex>i</tex>-тый блок этой матрицы будет являтся матрицей Кирхгофа для <tex>i</tex>-той компоненты связности. Из свойства блочно-диагональной матрицы <tex>\det K = \det K_{1} \cdot \det K_{2} \cdot \ldots \cdot \det K_{n}</tex>, где <tex>K_{i}</tex> — матрица Кирхгофа для <tex>i</tex>-той компоненты связности, и свойства, доказанного выше,

==Источникиинформации==

*Асанов М., Баранский В., Расин В.: Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы. стр. 18*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%CC%E0%F2%F0%E8%F6%E0_%CA%E8%F0%F5%E3%EE%F4%E0 Википедия, — Матрица Кирхгофа]

[[Категория: Остовные деревья ]][[Категория: Свойства остовных деревьев ]]