Матрица преобразования — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 9 промежуточных версий 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
 +
Будем рассматривать двумерный случай.
 +
 +
Матрица преобразования - это некоторая матрица <tex> 3 \times 3 </tex>. Мы будем рассматривать матрицы вида
 +
<tex> \left(\begin{array}{ccc}
 +
a & b & t_x\\
 +
c & d & t_y\\
 +
0 & 0 & 1
 +
\end{array}\right) </tex>
 +
 +
Допустим есть какое-то преобразование <tex> F </tex>, и <tex> F(P) = P' </tex> (к точке <tex> P </tex> применили преобразование <tex> F </tex> и получили точку <tex> P' </tex>).
 +
 +
Тогда матрица преобразования <tex> F </tex>, умноженная на однородные координаты <tex> P </tex>, даёт однородные координаты <tex> P' </tex>.
 +
 +
В каком-то смысле, любое линейное преобразование одновременно является матрицей, так же как точка {{---}} это набор координат.
 +
 +
 +
Посмотрим как меняются координаты при преобразовании.
 +
 +
<tex> F \left(\begin{array}{c}
 +
x\\
 +
y\\
 +
1
 +
\end{array}\right)  =
 +
</tex>
 +
<tex>  \left(\begin{array}{ccc}
 +
a & b & t_x\\
 +
c & d & t_y\\
 +
0 & 0 & 1
 +
\end{array}\right) \cdot
 +
</tex>
 +
<tex> \left(\begin{array}{c}
 +
x\\
 +
y\\
 +
1
 +
\end{array}\right)  =
 +
</tex>
 +
<tex> \left(\begin{array}{c}
 +
a x + b y + t_x\\
 +
c x + d y + t_y\\
 +
1
 +
\end{array}\right)
 +
</tex>.
 +
 +
То есть новые координаты как-то линейно зависят от старых.
 +
 +
Рассмотрим частные случаи преобразований.
 +
  
  
Строка 4: Строка 51:
  
 
=== Параллельный перенос ===
 
=== Параллельный перенос ===
Задаёт преобразование <tex> x \rightarrow x + a ,\ y \rightarrow y + b </tex>.
+
Задаёт преобразование <tex> x \rightarrow x + t_x ,\ y \rightarrow y + t_y </tex>.
  
Обозначается <tex> T_{\overrightarrow v} </tex>, где <tex> \overrightarrow v = (a, b) </tex>  {{---}}  вектор параллельного переноса.
+
Обозначается <tex> T_{\overrightarrow v} </tex>, где <tex> \overrightarrow v = (t_x, t_y) </tex>  {{---}}  вектор параллельного переноса.
  
<tex> T_{(a, b)} = \left(\begin{array}{ccc}
+
<tex> T_{(t_x, t_y)} = \left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & a\\
+
1 & 0 & t_x\\
0 & 1 & b\\
+
0 & 1 & t_y\\
 
0 & 0 & 1
 
0 & 0 & 1
 
\end{array}\right) </tex>
 
\end{array}\right) </tex>
Строка 53: Строка 100:
  
 
Вполне ожидаемый ответ.
 
Вполне ожидаемый ответ.
 +
 +
 +
=== Масштабирование вдоль осей ===
 +
 +
Задаёт преобразование <tex> x \rightarrow s_x x ,\ y \rightarrow s_y y </tex>.
 +
 +
Будем обозначать как <tex> S_{s_x, s_y} </tex>. Числа <tex> s_x </tex> и <tex> s_y </tex> называются коэффициентами масштабирования.
 +
 +
<tex> S_{s_x, s_y} = \left(\begin{array}{ccc}
 +
s_x & 0 & 0\\
 +
0 & s_y & 0\\
 +
0 & 0 & 1
 +
\end{array}\right) </tex>
 +
 +
'''Пример'''
 +
 +
Задача: Найдите новые координаты точки <tex> (3, 5) </tex> после масштабирования по оси <tex> O_x </tex> с коэффициентом 2 (по оси <tex> O_y </tex> масштаб остаётся таким же).
 +
 +
Решение: <tex> S_{2, 1} (\left(\begin{array}{c}
 +
3\\
 +
5\\
 +
1
 +
\end{array}\right))  =
 +
</tex>
 +
<tex>
 +
\left(\begin{array}{ccc}
 +
2 & 0 & 0\\
 +
0 & 1 & 0\\
 +
0 & 0 & 1
 +
\end{array}\right)  \cdot
 +
</tex>
 +
<tex>
 +
\left(\begin{array}{c}
 +
3\\
 +
5\\
 +
1
 +
\end{array}\right)  =
 +
</tex>
 +
<tex>
 +
\left(\begin{array}{c}
 +
2 \cdot 3\\
 +
1 \cdot 5\\
 +
1
 +
\end{array}\right)  =
 +
</tex>
 +
<tex>
 +
\left(\begin{array}{c}
 +
6\\
 +
5\\
 +
1
 +
\end{array}\right) 
 +
</tex>
 +
  
 
=== Поворот относительно начала координат ===
 
=== Поворот относительно начала координат ===
Строка 99: Строка 199:
 
\end{array}\right)
 
\end{array}\right)
 
</tex>
 
</tex>
 +
 +
 +
'''Замечание'''
 +
 +
<tex> R^{180} = \left(\begin{array}{ccc}
 +
-1 & 0 & 0\\
 +
0 & -1 & 0\\
 +
0 & 0 & 1
 +
\end{array}\right) </tex>, то есть центральная симметрия относительно начала координат меняет координаты точки на противоположные.
 +
 +
 +
=== Тождественное преобразование ===
 +
 +
Это преобразование, оставляющее все точки неподвижными.
 +
 +
Его матрица: <tex> I = \left(\begin{array}{ccc}
 +
1 & 0 & 0\\
 +
0 & 1 & 0\\
 +
0 & 0 & 1
 +
\end{array}\right)
 +
</tex>
 +
 +
= Композиция преобразований =
 +
 +
<tex> (g \circ f) x  = g (f (x)) </tex>
 +
 +
 +
Задача: к точке <tex> (3, 5) </tex> применили осевую симметрию относительно <tex> O_x </tex>, и затем применили параллельный перенос на <tex> \overrightarrow{(2, 1)} </tex>. Какие новые координаты у точки?
 +
 +
Решение: обозначим нашу точку за <tex> P </tex>, новую точку за <tex> P' </tex>
 +
 +
Посчитаем двумя способами.
 +
 +
1) <tex> P' = S_{1, -1}(T_{\overrightarrow{(3, 2)}}(P)) =
 +
\left(\begin{array}{ccc}
 +
1 & 0 & 2\\
 +
0 & 1 & 1\\
 +
0 & 0 & 1
 +
\end{array}\right) \cdot </tex>
 +
<tex> (\left(\begin{array}{ccc}
 +
1 & 0 & 0\\
 +
0 & -1 & 0\\
 +
0 & 0 & 1
 +
\end{array}\right) \cdot </tex>
 +
<tex> \left(\begin{array}{c}
 +
3\\
 +
5\\
 +
1
 +
\end{array}\right)) = </tex>
 +
<tex> \left(\begin{array}{ccc}
 +
1 & 0 & 2\\
 +
0 & 1 & 1\\
 +
0 & 0 & 1
 +
\end{array}\right) \cdot </tex>
 +
<tex> \left(\begin{array}{c}
 +
3\\
 +
-5\\
 +
1
 +
\end{array}\right) = </tex>
 +
<tex> \left(\begin{array}{c}
 +
5\\
 +
-4\\
 +
1
 +
\end{array}\right) </tex>
 +
 +
 +
 +
2) Воспользуемся ассоциативностью умножения матриц (сочетательный закон)
 +
 +
<tex> P' = S_{1, -1}(T_{\overrightarrow{(3, 2)}}(P)) =
 +
\left(\begin{array}{ccc}
 +
1 & 0 & 2\\
 +
0 & 1 & 1\\
 +
0 & 0 & 1
 +
\end{array}\right) \cdot </tex>
 +
<tex> (\left(\begin{array}{ccc}
 +
1 & 0 & 0\\
 +
0 & -1 & 0\\
 +
0 & 0 & 1
 +
\end{array}\right) \cdot </tex>
 +
<tex> \left(\begin{array}{c}
 +
3\\
 +
5\\
 +
1
 +
\end{array}\right)) = </tex>
 +
<tex> (\left(\begin{array}{ccc}
 +
1 & 0 & 2\\
 +
0 & 1 & 1\\
 +
0 & 0 & 1
 +
\end{array}\right) \cdot </tex>
 +
<tex> \left(\begin{array}{ccc}
 +
1 & 0 & 0\\
 +
0 & -1 & 0\\
 +
0 & 0 & 1
 +
\end{array}\right)) \cdot </tex>
 +
<tex> \left(\begin{array}{c}
 +
3\\
 +
5\\
 +
1
 +
\end{array}\right) = </tex>
 +
<tex> \left(\begin{array}{ccc}
 +
1 & 0 & 2\\
 +
0 & -1 & 1\\
 +
0 & 0 & 1
 +
\end{array}\right) \cdot </tex>
 +
<tex> \left(\begin{array}{c}
 +
3\\
 +
5\\
 +
1
 +
\end{array}\right) = </tex>
 +
<tex> \left(\begin{array}{c}
 +
5\\
 +
-4\\
 +
1
 +
\end{array}\right) </tex>
 +
 +
Заметим, что <tex> \left(\begin{array}{ccc}
 +
1 & 0 & 2\\
 +
0 & -1 & 1\\
 +
0 & 0 & 1
 +
\end{array}\right) </tex> {{---}} тоже какая-то матрица преобразования, в данном случае "осевая симметрия относительно <tex> O_x </tex>, с последующим параллельным переносом на <tex> \overrightarrow{(2, 1)} </tex>"
 +
 +
Действительно, <tex> P' = S_{1, -1}(T_{\overrightarrow{(2, 1)}}(P)) = (S_{1, -1} \circ T_{\overrightarrow{(2, 1)}}) P </tex>
 +
 +
Тогда матрица для <tex> (S_{1, -1} \circ T_{\overrightarrow{(2, 1)}}) </tex> будет <tex> \left(\begin{array}{ccc}
 +
1 & 0 & 2\\
 +
0 & -1 & 1\\
 +
0 & 0 & 1
 +
\end{array}\right) </tex>.
 +
 +
Получается, при композиции преобразований их матрицы перемножаются.

Текущая версия на 19:21, 4 сентября 2022

Будем рассматривать двумерный случай.

Матрица преобразования - это некоторая матрица [math] 3 \times 3 [/math]. Мы будем рассматривать матрицы вида [math] \left(\begin{array}{ccc} a & b & t_x\\ c & d & t_y\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) [/math]

Допустим есть какое-то преобразование [math] F [/math], и [math] F(P) = P' [/math] (к точке [math] P [/math] применили преобразование [math] F [/math] и получили точку [math] P' [/math]).

Тогда матрица преобразования [math] F [/math], умноженная на однородные координаты [math] P [/math], даёт однородные координаты [math] P' [/math].

В каком-то смысле, любое линейное преобразование одновременно является матрицей, так же как точка — это набор координат.


Посмотрим как меняются координаты при преобразовании.

[math] F \left(\begin{array}{c} x\\ y\\ 1 \end{array}\right) = [/math] [math] \left(\begin{array}{ccc} a & b & t_x\\ c & d & t_y\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \cdot [/math] [math] \left(\begin{array}{c} x\\ y\\ 1 \end{array}\right) = [/math] [math] \left(\begin{array}{c} a x + b y + t_x\\ c x + d y + t_y\\ 1 \end{array}\right) [/math].

То есть новые координаты как-то линейно зависят от старых.

Рассмотрим частные случаи преобразований.


Базовые преобразования

Параллельный перенос

Задаёт преобразование [math] x \rightarrow x + t_x ,\ y \rightarrow y + t_y [/math].

Обозначается [math] T_{\overrightarrow v} [/math], где [math] \overrightarrow v = (t_x, t_y) [/math] — вектор параллельного переноса.

[math] T_{(t_x, t_y)} = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & t_x\\ 0 & 1 & t_y\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) [/math]

Пример Задача: Найдите новые координаты точки [math] (6, 9) [/math] после параллельного переноса плоскости на вектор [math] \overrightarrow v = (1, 2) [/math].

Решение: [math] T_{(a, b)} (\left(\begin{array}{c} 6\\ 9\\ 1 \end{array}\right)) = [/math] [math] \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \cdot [/math] [math] \left(\begin{array}{c} 6\\ 9\\ 1 \end{array}\right) = [/math] [math] \left(\begin{array}{c} 6 + 1\\ 9 + 2\\ 1 \end{array}\right) = [/math] [math] \left(\begin{array}{c} 7\\ 11\\ 1 \end{array}\right) [/math]

Вполне ожидаемый ответ.


Масштабирование вдоль осей

Задаёт преобразование [math] x \rightarrow s_x x ,\ y \rightarrow s_y y [/math].

Будем обозначать как [math] S_{s_x, s_y} [/math]. Числа [math] s_x [/math] и [math] s_y [/math] называются коэффициентами масштабирования.

[math] S_{s_x, s_y} = \left(\begin{array}{ccc} s_x & 0 & 0\\ 0 & s_y & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) [/math]

Пример

Задача: Найдите новые координаты точки [math] (3, 5) [/math] после масштабирования по оси [math] O_x [/math] с коэффициентом 2 (по оси [math] O_y [/math] масштаб остаётся таким же).

Решение: [math] S_{2, 1} (\left(\begin{array}{c} 3\\ 5\\ 1 \end{array}\right)) = [/math] [math] \left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \cdot [/math] [math] \left(\begin{array}{c} 3\\ 5\\ 1 \end{array}\right) = [/math] [math] \left(\begin{array}{c} 2 \cdot 3\\ 1 \cdot 5\\ 1 \end{array}\right) = [/math] [math] \left(\begin{array}{c} 6\\ 5\\ 1 \end{array}\right) [/math]


Поворот относительно начала координат

Обозначается [math] R^\alpha [/math], где [math] \alpha [/math] — угол поворота. Как обычно, [math] \alpha \gt 0 [/math] при повороте против часовой стрелки, и [math] \alpha \lt 0 [/math] при повороте по часовой стрелке.

[math] R^\alpha = \left(\begin{array}{ccc} \cos \alpha & - \sin \alpha & 0\\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) [/math]

Пример Задача: Найдите новые координаты точки [math] (5, 1) [/math] после поворота плоскости на [math] 90 [/math] °.

Решение: [math] R^{90} = \left(\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) [/math]

[math] R^{90} (\left(\begin{array}{cc} 5\\ 1\\ 1 \end{array}\right)) = [/math] [math]\left(\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \cdot [/math] [math] \left(\begin{array}{cc} 5\\ 1\\ 1 \end{array}\right) = [/math] [math] \left(\begin{array}{cc} -1\\ 5\\ 1 \end{array}\right) [/math]


Замечание

[math] R^{180} = \left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) [/math], то есть центральная симметрия относительно начала координат меняет координаты точки на противоположные.


Тождественное преобразование

Это преобразование, оставляющее все точки неподвижными.

Его матрица: [math] I = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) [/math]

Композиция преобразований

[math] (g \circ f) x  = g (f (x)) [/math]


Задача: к точке [math] (3, 5) [/math] применили осевую симметрию относительно [math] O_x [/math], и затем применили параллельный перенос на [math] \overrightarrow{(2, 1)} [/math]. Какие новые координаты у точки?

Решение: обозначим нашу точку за [math] P [/math], новую точку за [math] P' [/math]

Посчитаем двумя способами.

1) [math] P' = S_{1, -1}(T_{\overrightarrow{(3, 2)}}(P)) = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \cdot [/math] [math] (\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \cdot [/math] [math] \left(\begin{array}{c} 3\\ 5\\ 1 \end{array}\right)) = [/math] [math] \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \cdot [/math] [math] \left(\begin{array}{c} 3\\ -5\\ 1 \end{array}\right) = [/math] [math] \left(\begin{array}{c} 5\\ -4\\ 1 \end{array}\right) [/math]


2) Воспользуемся ассоциативностью умножения матриц (сочетательный закон)

[math] P' = S_{1, -1}(T_{\overrightarrow{(3, 2)}}(P)) = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \cdot [/math] [math] (\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \cdot [/math] [math] \left(\begin{array}{c} 3\\ 5\\ 1 \end{array}\right)) = [/math] [math] (\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \cdot [/math] [math] \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)) \cdot [/math] [math] \left(\begin{array}{c} 3\\ 5\\ 1 \end{array}\right) = [/math] [math] \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2\\ 0 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \cdot [/math] [math] \left(\begin{array}{c} 3\\ 5\\ 1 \end{array}\right) = [/math] [math] \left(\begin{array}{c} 5\\ -4\\ 1 \end{array}\right) [/math]

Заметим, что [math] \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2\\ 0 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) [/math] — тоже какая-то матрица преобразования, в данном случае "осевая симметрия относительно [math] O_x [/math], с последующим параллельным переносом на [math] \overrightarrow{(2, 1)} [/math]"

Действительно, [math] P' = S_{1, -1}(T_{\overrightarrow{(2, 1)}}(P)) = (S_{1, -1} \circ T_{\overrightarrow{(2, 1)}}) P [/math]

Тогда матрица для [math] (S_{1, -1} \circ T_{\overrightarrow{(2, 1)}}) [/math] будет [math] \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2\\ 0 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) [/math].

Получается, при композиции преобразований их матрицы перемножаются.