Матрица смежности графа — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
 
__NOTOC__
 
__NOTOC__
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition ='''Матрицей смежности''' ''(англ. Adjacency matrix)'' <tex>A=||\alpha_{i,j}||</tex> ''графа'' <tex>G(V,E)</tex> называется матрица <tex>A_{[V\times{}V]}</tex>, в которой <tex>\alpha_{i,j}</tex> — вес ребра, соединяющего вершины <tex>v_i</tex> и <tex>v_j</tex>.
+
|definition ='''Матрицей смежности''' ''(англ. Adjacency matrix)'' <tex>A=||\alpha_{i,j}||</tex> графа <tex>G(V,E)</tex> называется матрица <tex>A_{[V\times{}V]}</tex>, в которой <tex>\alpha_{i,j}</tex> — вес ребра, соединяющего вершины <tex>v_i</tex> и <tex>v_j</tex>.
 
}}
 
}}
  

Версия 18:37, 5 ноября 2015


Определение:
Матрицей смежности (англ. Adjacency matrix) [math]A=||\alpha_{i,j}||[/math] графа [math]G(V,E)[/math] называется матрица [math]A_{[V\times{}V]}[/math], в которой [math]\alpha_{i,j}[/math] — вес ребра, соединяющего вершины [math]v_i[/math] и [math]v_j[/math].


Пример

Граф не взвешенный Матрица смежности для не взвешенного графа Граф взвешенный Матрица смежности для взвешенного графа
Adjacency matrix.png [math]\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\ \end{pmatrix}[/math] Weighted graph.png [math]\begin{pmatrix} 0 & 40 & 0 & 0 & 18\\ 40 & 0 & 22 & 6 & 15\\ 0 & 22 & 0 & 14 & 0 \\ 0 & 6 & 14 & 0 & 20\\ 18 & 15 & 0 & 20 & 0 \\ \end{pmatrix}[/math]

Свойства

  • Для графов без петель и кратных рёбер матрица смежности бинарна (состоит из нулей и единиц).
  • Для графов без петель и кратных рёбер главная диагональ матрицы смежности целиком состоит из нулей.

Случай ориентированного графа

Сумма элементов [math]i[/math]-й строки равна [math]deg^- v_i[/math], то есть [math]\sum\limits_{j=1}^{n}\alpha_{i,j} = deg^- v_i[/math]. Аналогично сумма элементов [math]j[/math]-го стоблца равна [math]deg^+ v_j[/math], то есть [math]\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_{i,j} = deg^+ v_j[/math].

Случай неориентированного графа

Для неориентированных графов матрица смежности является симметричной.

Сумма элементов [math]i[/math]-й строки равна [math]deg \; v_i[/math], то есть [math]\sum\limits_{j=1}^{n}\alpha_{i,j} = deg \; v_i[/math]. Вследствие симметричности суммы элементов [math]i[/math]-й строки и [math]i[/math]-го столбца равны.

Связь степени матрицы смежности и количества путей

Теорема:
Пусть [math]A_{[V\times{}V]}=\alpha_{i,j}[/math]матрица смежности графа [math]G(V,E)[/math] без петель и [math]A^l=\gamma_{i,j}[/math], где [math]l\in\mathbb{N}[/math]. Тогда [math]\gamma_{i,j}[/math] равно количеству путей [math]v_i\leadsto{}v_j[/math] длины [math]l[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Утверждение очевидно при [math]l = 1[/math]. Пусть [math]l \gt 1[/math], и утверждение верно для [math]l - 1[/math]. Тогда [math]A^{l-1}=\varepsilon_{i,j}[/math], где [math]\varepsilon_{i,j}[/math] равно количеству путей [math]v_i\leadsto{}v_j[/math] длины [math]l-1[/math]. Следовательно,

[math]\gamma_{i,j}=\sum\limits_{s=1}^{n}{\varepsilon_{i,s}\alpha_{s,j}}[/math]
равно числу путей [math]v_i\leadsto{}v_j[/math] длины [math]l[/math], так как каждый такой маршрут состоит из путей [math]v_i\leadsto{}v_s[/math] длины [math]l-1[/math] и ребра, ведущего из предпоследней вершины [math]v_s[/math] пути в его последнюю вершину [math]v_j[/math].
[math]\triangleleft[/math]

См. также

Источники информации

  • Харари Фрэнк Теория графов = Graph theory/Пер. с англ. и предисл. В. П. Козырева. Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 2-е. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 296 с. — ISBN 5-354-00301-6
  • Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. Дискретная математика: графы, матроиды, алгоритмы — НИЦ РХД, 2001. — 288 с. — ISBN 5-93972-076-5