Матрица смежности графа — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Пример)
Строка 9: Строка 9:
 
!style="background:#f2f2f2"|Матрица смежности
 
!style="background:#f2f2f2"|Матрица смежности
 
|-
 
|-
|style="background:#f9f9f9"|[[Файл:Graph 5-7.png|175px]]
+
|style="background:#f9f9f9"|[[Файл: Adjacency matrix.png|175px]]
 
|style="background:#f9f9f9"|<tex>\begin{pmatrix}
 
|style="background:#f9f9f9"|<tex>\begin{pmatrix}
 
0 & 1 & 0 & 0 & 1\\
 
0 & 1 & 0 & 0 & 1\\

Версия 00:09, 7 марта 2012


Определение:
Матрицей смежности (англ. Adjacency matrix) [math]A=||\alpha_{i,j}||[/math] помеченного графа [math]G(V,E)[/math] называется матрица [math]A_{[V\times{}V]}[/math], в которой [math]\alpha_{i,j}[/math] — количество рёбер, соединяющих вершины [math]v_i[/math] и [math]v_j[/math], причём при [math]i=j[/math] каждую петлю учитываем дважды, если граф не является ориентированным, и один раз, если граф ориентирован.


Пример

Граф Матрица смежности
Adjacency matrix.png [math]\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\ \end{pmatrix}[/math]

Свойства

Для графов без петель и кратных рёбер матрица смежности бинарна (состоит из нулей и единиц), причём её главная диагональ целиком состоит из нулей.

Случай ориентированного графа

Сумма элементов [math]i[/math]-й строки равна [math]deg^- v_i[/math], то есть [math]\sum\limits_{j=1}^{n}\alpha_{i,j} = deg^- v_i[/math]. Аналогично сумма элементов [math]j[/math]-го стоблца равна [math]deg^+ v_j[/math], то есть [math]\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_{i,j} = deg^+ v_j[/math].

Случай неориентированного графа

Для неориентированных графов матрица смежности является симметричной.

Сумма элементов [math]i[/math]-й строки равна [math]deg \; v_i[/math], то есть [math]\sum\limits_{j=1}^{n}\alpha_{i,j} = deg \; v_i[/math]. Вследствие симметричности суммы элементов [math]i[/math]-й строки и [math]i[/math]-го столбца равны.

См. также

Литература

  • Харари Фрэнк Теория графов = Graph theory/Пер. с англ. и предисл. В. П. Козырева. Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 2-е. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 296 с. — ISBN 5-354-00301-6
  • Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. Дискретная математика: графы, матроиды, алгоритмы — НИЦ РХД, 2001. — 288 с. — ISBN 5-93972-076-5