Машина Тьюринга — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (Введение: добавил название на английском)
(Определение: описание машин-распознавателей и машин-преобразователей)
Строка 39: Строка 39:
 
* если <tex>\delta(q, B) = \langle p, y, \rightarrow \rangle</tex>, то <tex>\langle w, q, \varepsilon \rangle \vdash \langle wy, p, \varepsilon \rangle</tex>
 
* если <tex>\delta(q, B) = \langle p, y, \rightarrow \rangle</tex>, то <tex>\langle w, q, \varepsilon \rangle \vdash \langle wy, p, \varepsilon \rangle</tex>
 
* если <tex>\delta(q, B) = \langle p, y, \downarrow \rangle</tex>, то <tex>\langle w, q, \varepsilon \rangle \vdash \langle w, p, y \rangle</tex>
 
* если <tex>\delta(q, B) = \langle p, y, \downarrow \rangle</tex>, то <tex>\langle w, q, \varepsilon \rangle \vdash \langle w, p, y \rangle</tex>
 +
 +
=== Результат работы ===
 +
Машину Тьюринга можно рассматривать как распознаватель слов языка. Пусть <tex>M</tex> — машина Тьюринга, распознаваемый ей язык определяется как <tex>\mathcal L(M) = \{ x \in \Sigma^* \mid \exists y, z \in \Pi^*: \langle \varepsilon, S, x \rangle \vdash^* \langle y, Y, z \rangle \}</tex>.
 +
 +
Также можно рассматривать машины Тьюринга как преобразователь входных данных в выходные. Машина <tex>M</tex> задаёт вычислимую функцию <tex>f</tex>, причём <tex>f(x) = y \Leftrightarrow \langle \varepsilon, S, x \rangle \vdash^* \langle z, Y, y \rangle</tex>. Примеры машин-распознавателей и машин-преобразователей будут даны ниже.

Версия 22:13, 5 декабря 2012

Эта статья находится в разработке!

Введение

Машина Тьюринга (Turing machine) — абстрактный вычислитель, предложенный британским математиком Аланом Тьюрингом в 1936 году для формализации понятия алгоритма.

Неформально машина Тьюринга определяется как устройство, состоящее из двух частей:

  • бесконечной одномерной ленты, разделённой на ячейки,
  • головкой, которая представляет из себя детерминированный конечный автомат.

При запуске машины Тьюринга на ленте написано входное слово, причём на первом символе этого слова находится головка, а слева и справа от него записаны пустые символы. Каждый шаг головка может перезаписать символ под лентой и сместиться на одну ячейку, если автомат приходит в допускающее или отвергающее состояние, то работа машины Тьюринга завершается.

Определение

Определение машины

Формально машина Тьюринга определяется как кортеж из восьми элементов [math]\langle \Sigma, \Pi, B, Q, Y, N, S, \delta \rangle[/math], где

  • [math]\Sigma[/math] — алфавит, из букв которого могут состоять входные слова
  • [math]\Pi \supseteq \Sigma[/math] — символы, которые могут быть записаны на ленту в процессе работы машины
  • [math]B \in \Pi \setminus \Sigma[/math] ­— пробельный символ (от слова blank)
  • [math]Q[/math] — множество состояний управляющего автомата
  • [math]Y \in Q[/math] — допускающее состояние автомата
  • [math]N \in Q[/math] — отвергающее состояние автомата
  • [math]S \in Q[/math] — стартовое состояние автомата
  • [math]\delta : Q \times \Pi \to Q \times \Pi \times \{ \leftarrow, \rightarrow, \downarrow \}[/math] — всюду определённая функция перехода автомата

Отметим, что существуют различные вариации данного выше определения (например, без отвергающего состояния или с множеством допускающих состояний), которые не влияют на вычислительные способности машины Тьюринга. В дальнейшем мы будем для простоты предполагать, что головка в процессе работы не записывает на ленту символ [math]B[/math]. Это не ограничивает вычислительной мощности машин Тьюринга, поскольку для каждой машины можно сопоставить аналогичную ей, но не пищущую [math]B[/math] на ленту.

Определение процесса работы

Кроме формального определения самой машины требуется также формально описать процесс её работы. Назовём конфигурацией машины Тьюринга тройку [math]\langle w, q, v \rangle[/math], где [math]q \in Q[/math] — текущее состояние автомата, а [math]w, v \in (\Pi \setminus \{B\})^*[/math] — строки слева и справа от головки до первого пробельного символа соответственно. В данной записи головка находится над ячейкой, на которой написана первая буква [math]v[/math] (или [math]B[/math], если [math]w = \varepsilon[/math]).

В дальнейшем используются следующие обозначения: [math]x, y, z \in \Pi[/math], [math]w, v \in \Pi^*[/math]

Определим на конфигурациях отношение перехода [math]\langle w_1, q_1, v_1 \rangle \vdash \langle w_2, q_2, v_2 \rangle[/math]:

  • если [math]\delta(q, x) = \langle p, y, \leftarrow \rangle[/math], то [math]\langle wz, q, xv \rangle \vdash \langle w, p, zyv \rangle[/math]
  • если [math]\delta(q, x) = \langle p, y, \rightarrow \rangle[/math], то [math]\langle w, q, xv \rangle \vdash \langle wy, p, v \rangle[/math]
  • если [math]\delta(q, x) = \langle p, y, \downarrow \rangle[/math], то [math]\langle w, q, xv \rangle \vdash \langle w, p, yv \rangle[/math]

Особо следует рассмотреть случай переходов по пробельному символу:

  • если [math]\delta(q, B) = \langle p, y, \leftarrow \rangle[/math], то [math]\langle wz, q, \varepsilon \rangle \vdash \langle w, p, zy \rangle[/math]
  • если [math]\delta(q, B) = \langle p, y, \rightarrow \rangle[/math], то [math]\langle w, q, \varepsilon \rangle \vdash \langle wy, p, \varepsilon \rangle[/math]
  • если [math]\delta(q, B) = \langle p, y, \downarrow \rangle[/math], то [math]\langle w, q, \varepsilon \rangle \vdash \langle w, p, y \rangle[/math]

Результат работы

Машину Тьюринга можно рассматривать как распознаватель слов языка. Пусть [math]M[/math] — машина Тьюринга, распознаваемый ей язык определяется как [math]\mathcal L(M) = \{ x \in \Sigma^* \mid \exists y, z \in \Pi^*: \langle \varepsilon, S, x \rangle \vdash^* \langle y, Y, z \rangle \}[/math].

Также можно рассматривать машины Тьюринга как преобразователь входных данных в выходные. Машина [math]M[/math] задаёт вычислимую функцию [math]f[/math], причём [math]f(x) = y \Leftrightarrow \langle \varepsilon, S, x \rangle \vdash^* \langle z, Y, y \rangle[/math]. Примеры машин-распознавателей и машин-преобразователей будут даны ниже.