Редактирование: Мера Лебега в R^n

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
 
[[Объём n-мерного прямоугольника|<<]][[Математический_анализ_2_курс|>> на главную]]
 
[[Объём n-мерного прямоугольника|<<]][[Математический_анализ_2_курс|>> на главную]]
 +
 +
{{В разработке}}
  
 
Последняя теорема показывает, что <tex>v</tex> {{---}} мера на <tex>\mathcal{R}</tex>.
 
Последняя теорема показывает, что <tex>v</tex> {{---}} мера на <tex>\mathcal{R}</tex>.
  
Применим к объёму ячеек процесс Каратеодори. В результате <tex>v</tex> будет распространено на <tex>\sigma</tex>-алгебру множеств <tex>\mathcal{A} \subset 2^{\mathbb{R}^n</tex>.
+
Применим к объёму ячеек процесс Каратеодори. В результате <tex>v</tex> будет распространено на <tex>\sigma</tex>-алгебру множеств <tex>\mathcal{A} \subset \mathbb{R}^n</tex>.
  
 
{{Определение
 
{{Определение
Строка 36: Строка 38:
 
|statement=Бог есть.
 
|statement=Бог есть.
 
|proof=
 
|proof=
К сожалению, человечество может работать лишь с натуральными и рациональными числами. Сути же иррациональных чисел им не понять. Однако, множество рациональных чисел нульмерно. Но <tex>\lambda[0;1) = 1</tex>. Ввиду своей ненульмерности, иррациональные числа неподвластны человеку. Значит, Бог есть.
+
К сожалению, человечество может работать лишь с натуральными и рациональными числами. Сути же иррациональных чисел им не понять. Однако, множество рациональных чисел нульмерно. Но <tex>\lambda[0;1) = 1</tex>. Ввиду своей ненульмерности, иррациональные числа неподвластны человеку. Значит, <s>б</s>Бог есть.
 
}}
 
}}
  
Если взять произвольный параллелепипед в <tex>\mathbb{R}^n</tex>, то, за счет непрерывности обьема, как функции точек параллелепипеда, мы можем строить и ячейку в нем, и ячейку, включающую его (причем объем ячеек отличается на <tex>\varepsilon</tex>). Значит, параллелепипед тоже измерим. Рассмотрим открытое множество в <tex>\mathbb{R}^n</tex>. Оно - объединение открытых шаров, или множество, которое вместе с каждой точкой содержит и открытый шар с центром в этой точке.
+
Если взять произвольный параллелепипед в <tex>R^n</tex>, то, за счет непрерывности обьема, как функции точек параллелепипеда, мы можем строить и ячейку в нем, и ячейку, включающую его (причем объем ячеек отличается на <tex>\varepsilon</tex>). Значит, параллелепипед тоже измерим. Рассмотрим открытое множество в <tex>R^n</tex>. Оно - объединение открытых шаров, или множество, которое вместе с каждой точкой содержит и открытый шар с центром в этой точке.
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=
 
|statement=
Открытое множество в <tex> \mathbb{R}^n </tex> измеримо по Лебегу.
+
Открытое множество в <tex> R^n </tex> измеримо по Лебегу.
 
|proof=
 
|proof=
 
Множество точек с рациональными координатами всюду плотно. Если рассмотреть совокупность открытых шаров с центром в рациональных точках и рациональных радиусов, то множество таких шаров будет счетно. Вместо шаров можно использовать открытые параллелепипеды, которые, как известно, измеримы. Если мы возьмем любую точку, то она будет содержаться во множестве вместе с некоторым параллелепипедом. Далее, эту точку можно приблизить рациональными координатами сколь угодно точно; для каждого приближения можно построить параллеллепипед с этой точкой, содержащийся в уже построенном параллелепипеде. Значит, открытое множество можно представить, как счетное объединение открытых параллелепипедов, содержащихся в нем, поэтому, оно измеримо.
 
Множество точек с рациональными координатами всюду плотно. Если рассмотреть совокупность открытых шаров с центром в рациональных точках и рациональных радиусов, то множество таких шаров будет счетно. Вместо шаров можно использовать открытые параллелепипеды, которые, как известно, измеримы. Если мы возьмем любую точку, то она будет содержаться во множестве вместе с некоторым параллелепипедом. Далее, эту точку можно приблизить рациональными координатами сколь угодно точно; для каждого приближения можно построить параллеллепипед с этой точкой, содержащийся в уже построенном параллелепипеде. Значит, открытое множество можно представить, как счетное объединение открытых параллелепипедов, содержащихся в нем, поэтому, оно измеримо.
Строка 107: Строка 109:
 
Возьмем в качестве требуемого множества <tex>G</tex> объединение всех <tex>G_p</tex>: <tex>G = \bigcup\limits_{p=1}^{\infty} G_p</tex> открыто и содержит <tex>E</tex>.
 
Возьмем в качестве требуемого множества <tex>G</tex> объединение всех <tex>G_p</tex>: <tex>G = \bigcup\limits_{p=1}^{\infty} G_p</tex> открыто и содержит <tex>E</tex>.
  
<tex>G \setminus E \subset \bigcup\limits_{p=1}^{\infty} (G_p \setminus (E \cap \Delta_p))</tex>.
+
<tex>G \setminus E = \bigcup\limits_{p=1}^{\infty} (G_p \setminus (E \cap \Delta_p))</tex>
  
Тогда, по свойству меры, <tex>\lambda (G \setminus E) \le \sum\limits_{p=1}^{\infty} (G_p \setminus (E \cap \Delta_p)) \le \sum\limits_{p=1}^{\infty} \frac{\varepsilon}{2^p} = \varepsilon</tex>.
+
Тогда, по полуаддитивности внешней меры, <tex>\lambda (G \setminus E) \le \sum\limits_{p=1}^{\infty} (G_p \setminus (E \cap \Delta_p)) \le \sum\limits_{p=1}^{\infty} \frac{\varepsilon}{2^p} = \varepsilon</tex>
  
 
Второй пункт доказывается переходом к дополнениям:
 
Второй пункт доказывается переходом к дополнениям:
Строка 126: Строка 128:
 
}}
 
}}
  
Если <tex> A = \bigcup\limits_m F_m </tex> (все <tex>F_m</tex> - замкнуты), то оно называется множеством типа <tex> F_{\sigma} </tex>.
+
Если <tex> A = \bigcup\limits_m F_m </tex> (все <tex>F_m</tex> - замкнуты) замкнуто, то оно называется множеством типа <tex> F_{\sigma} </tex>.
  
Если <tex> B = \bigcap\limits_m G_m </tex> (все <tex>G_m</tex> - открыты), то оно называется множеством типа <tex> G_{\Delta} </tex>.
+
Если <tex> B = \bigcap\limits_m G_m </tex> (все <tex>G_m</tex> - открыты) открыто, то оно называется множеством типа <tex> G_{\Delta} </tex>.
  
 
Такие множества также являются измеримыми по Лебегу, как счетное объединение (пересечение) измеримых множеств (ранее показывалось, что открытые и замкнутые множества измеримы).
 
Такие множества также являются измеримыми по Лебегу, как счетное объединение (пересечение) измеримых множеств (ранее показывалось, что открытые и замкнутые множества измеримы).

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)