Мера на полукольце множеств — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (опечатки)
 
Строка 5: Строка 5:
 
Пусть <tex> (X, \mathcal R) </tex> — полукольцо. <tex> m: \mathcal R \rightarrow \overline{\mathbb R}_{+}</tex> называется '''мерой''' на нем, если:
 
Пусть <tex> (X, \mathcal R) </tex> — полукольцо. <tex> m: \mathcal R \rightarrow \overline{\mathbb R}_{+}</tex> называется '''мерой''' на нем, если:
  
# <tex> m(\varnothing) = 0 </tex>
+
# <tex> m(\varnothing) = 0 </tex>.
# Для дизъюнктных <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R </tex> и <tex> A \in \mathcal R </tex>, такого, что <tex> A = \bigcup\limits_{n} A_n </tex>, <tex> m(A) = \sum\limits_n m(A_n) </tex> (сигма-аддитивность)
+
# Для дизъюнктных <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R </tex> и <tex> A \in \mathcal R </tex>, такого, что <tex> A = \bigcup\limits_{n} A_n </tex>, <tex> m(A) = \sum\limits_n m(A_n) </tex> (сигма-аддитивность).
  
 
}}
 
}}
Строка 15: Строка 15:
 
* <tex> X = \mathbb N, \mathcal R = 2^X, m(X) = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} P_n </tex> — сходящийся положительный ряд,  <tex> m(\varnothing) = 0 </tex>, для <tex> A = \{i_1, i_2, \ldots, i_n\ldots\} </tex> (множество может быть конечным) полагаем <tex> m(A) = \sum\limits_{k \in A} P_k </tex>
 
* <tex> X = \mathbb N, \mathcal R = 2^X, m(X) = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} P_n </tex> — сходящийся положительный ряд,  <tex> m(\varnothing) = 0 </tex>, для <tex> A = \{i_1, i_2, \ldots, i_n\ldots\} </tex> (множество может быть конечным) полагаем <tex> m(A) = \sum\limits_{k \in A} P_k </tex>
 
* Для полукольца ячеек примером меры является <tex> m(A) = b - a </tex>, где <tex> A = [a; b) </tex> — длина ячейки. То, что длина ячейки является корректно определенной мерой — нетривиальный факт, который будет доказан нами позднее.
 
* Для полукольца ячеек примером меры является <tex> m(A) = b - a </tex>, где <tex> A = [a; b) </tex> — длина ячейки. То, что длина ячейки является корректно определенной мерой — нетривиальный факт, который будет доказан нами позднее.
<!-- а мы это доказали позднее? -->
 
  
 
Выведем два важных свойства меры на полукольце:
 
Выведем два важных свойства меры на полукольце:
Строка 23: Строка 22:
 
Пусть  <tex> m </tex> — мера на полукольце  <tex> \mathcal R </tex>, тогда:
 
Пусть  <tex> m </tex> — мера на полукольце  <tex> \mathcal R </tex>, тогда:
  
1) Для <tex> A \in \mathcal R </tex> и дизъюнктных  <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R</tex> таких, что <tex>\bigcup\limits_{n} A_n \subset A </tex> выполняется <tex>  \sum\limits_{n} m(A_n) \le m(A) </tex>
+
1) Для <tex> A \in \mathcal R </tex> и дизъюнктных  <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R</tex> таких, что <tex>\bigcup\limits_{n} A_n \subset A </tex>, выполняется <tex>  \sum\limits_{n} m(A_n) \le m(A) </tex>.
  
2) Для <tex> A \in \mathcal R </tex> и <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R</tex> таких, что <tex>A \subset \bigcup\limits_{n} A_n </tex> выполняется <tex> m(A) \le \sum\limits_{n} m(A_n) </tex> (''сигма-полуаддитивность'')
+
2) Для <tex> A \in \mathcal R </tex> и <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R</tex> таких, что <tex>A \subset \bigcup\limits_{n} A_n </tex>, выполняется <tex> m(A) \le \sum\limits_{n} m(A_n) </tex> (''сигма-полуаддитивность'').
  
''Замечание:'' в случае <tex> n = 1</tex> второе свойство <tex>A \subset B \Rightarrow m(A) \le m(B) </tex> называют ''монотоностью'' меры.
+
''Замечание:'' в случае <tex> n = 1</tex> второе свойство <tex>A \subset B \Rightarrow m(A) \le m(B) </tex> называют ''монотонностью'' меры.
  
 
|proof=
 
|proof=
Строка 40: Строка 39:
 
2)
 
2)
  
Можно представить <tex> A = \bigcup\limits_{n} (A \cap A_n) </tex>, каждое из пересечений принадлежит <tex> \mathcal R </tex>, поэтому <tex> A = \bigcup\limits_{p} B_p </tex> (дизъюнктны), отсюда по сигма-аддитивности меры <tex> m(A) = \sum\limits_{p} m(B_p) </tex>.
+
Так как <tex> A = \bigcup\limits_{n} (A \cap A_n) </tex>, каждое из пересечений принадлежит <tex> \mathcal R </tex>, то <tex> A = \bigcup\limits_{p} B_p </tex> (дизъюнктны), отсюда по сигма-аддитивности меры <tex> m(A) = \sum\limits_{p} m(B_p) </tex>.
  
 
Разобьем множества <tex> B_p </tex> на группы, так чтобы в группе с номером <tex> n </tex> были дизъюнктные множества, объединение которых является подмножеством <tex> A_n </tex>. Для каждой такой группы, мера объединения ограничена по пункту 1) мерой <tex> A_n </tex>, поэтому получаем <tex> m(A) \le \sum\limits_{p} m(A_p) </tex>.
 
Разобьем множества <tex> B_p </tex> на группы, так чтобы в группе с номером <tex> n </tex> были дизъюнктные множества, объединение которых является подмножеством <tex> A_n </tex>. Для каждой такой группы, мера объединения ограничена по пункту 1) мерой <tex> A_n </tex>, поэтому получаем <tex> m(A) \le \sum\limits_{p} m(A_p) </tex>.

Текущая версия на 22:42, 8 января 2012

<< >>


Определение:
Пусть [math] (X, \mathcal R) [/math] — полукольцо. [math] m: \mathcal R \rightarrow \overline{\mathbb R}_{+}[/math] называется мерой на нем, если:
  1. [math] m(\varnothing) = 0 [/math].
  2. Для дизъюнктных [math] A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R [/math] и [math] A \in \mathcal R [/math], такого, что [math] A = \bigcup\limits_{n} A_n [/math], [math] m(A) = \sum\limits_n m(A_n) [/math] (сигма-аддитивность).


Примеры мер:

  • [math] \mathcal R = 2^X, m(\varnothing) = 0, m(A) = +\infty [/math] (патологический)
  • [math] X = \mathbb N, \mathcal R = 2^X, m(X) = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} P_n [/math] — сходящийся положительный ряд, [math] m(\varnothing) = 0 [/math], для [math] A = \{i_1, i_2, \ldots, i_n\ldots\} [/math] (множество может быть конечным) полагаем [math] m(A) = \sum\limits_{k \in A} P_k [/math]
  • Для полукольца ячеек примером меры является [math] m(A) = b - a [/math], где [math] A = [a; b) [/math] — длина ячейки. То, что длина ячейки является корректно определенной мерой — нетривиальный факт, который будет доказан нами позднее.

Выведем два важных свойства меры на полукольце:

Лемма:
Пусть [math] m [/math] — мера на полукольце [math] \mathcal R [/math], тогда:

1) Для [math] A \in \mathcal R [/math] и дизъюнктных [math] A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R[/math] таких, что [math]\bigcup\limits_{n} A_n \subset A [/math], выполняется [math] \sum\limits_{n} m(A_n) \le m(A) [/math].

2) Для [math] A \in \mathcal R [/math] и [math] A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R[/math] таких, что [math]A \subset \bigcup\limits_{n} A_n [/math], выполняется [math] m(A) \le \sum\limits_{n} m(A_n) [/math] (сигма-полуаддитивность).

Замечание: в случае [math] n = 1[/math] второе свойство [math]A \subset B \Rightarrow m(A) \le m(B) [/math] называют монотонностью меры.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

1)

Пусть [math] A \setminus\bigcup\limits_{n=1}^{N} A_n = \bigcup\limits_{p} D_p [/math] (дизъюнктны), тогда [math] A = \bigcup\limits_{n=1}^{N} A_n \cup \bigcup\limits_{p} D_p [/math].

По сигма-аддитивности меры, [math] m(A) = \sum\limits_{n = 1}^{N} m(A_n) + \sum\limits_{p} m(D_p) [/math].

Так как второе слагаемое неотрицательно, то [math] m(A) \ge \sum\limits_{n = 1}^{N} m(A_n) [/math]. Устремляя [math] N [/math] к бесконечности, получаем требуемое.

2)

Так как [math] A = \bigcup\limits_{n} (A \cap A_n) [/math], каждое из пересечений принадлежит [math] \mathcal R [/math], то [math] A = \bigcup\limits_{p} B_p [/math] (дизъюнктны), отсюда по сигма-аддитивности меры [math] m(A) = \sum\limits_{p} m(B_p) [/math].

Разобьем множества [math] B_p [/math] на группы, так чтобы в группе с номером [math] n [/math] были дизъюнктные множества, объединение которых является подмножеством [math] A_n [/math]. Для каждой такой группы, мера объединения ограничена по пункту 1) мерой [math] A_n [/math], поэтому получаем [math] m(A) \le \sum\limits_{p} m(A_p) [/math].
[math]\triangleleft[/math]

<< >>