Мера подграфика — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(тех будет потом)
Строка 2: Строка 2:
 
Геометрический смысл интеграла Лебега.
 
Геометрический смысл интеграла Лебега.
  
E \subset \mathbb R^n, f : E \to (измерима) \mathbbR_+  
+
<tex> E \subset \mathbb R^n, f : E \to \mathbb R_+, f </tex> — измерима.
  
G(f) = G = \{ (x_1, \dots , x_{n + 1} \in \mathbbR^{n+1} : (x_1 \dots x_n) \in E, 0 \le x_{n + 1} \le f(x_1, \dots x_n) \} — подграфик функции.
+
<tex> G(f) = G = \{ (x_1 \ldots x_{n + 1}) \in \mathbb R^{n+1} : (x_1 \ldots x_n) \in E, 0 \le x_{n + 1} \le f(x_1 \ldots x_n) \} </tex> — подграфик функции.
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
Строка 10: Строка 10:
 
о мере подграфика
 
о мере подграфика
 
|statement=
 
|statement=
G(f) — измерим, \lambda_{n+1}(G) = \int\limits_E f d \lambda_n
+
<tex> G(f) </tex> измеримо, <tex> \lambda_{n+1}(G) = \int\limits_E f d \lambda_n </tex>
 +
{{TODO|t=не очень понимаю, что доказывается}}
 +
|proof=
  
 
Сначала установим, как факты, связанные с цилиндрами.
 
Сначала установим, как факты, связанные с цилиндрами.
  
Если f(x1 \dots x_n) = c \ge 0 на E, то подграфик называется цилиндром в \mathbbR^{n + 1}.
+
Если <tex> f(x_1 \ldots x_n) = c \ge 0 </tex> на <tex> E </tex>, то подграфик называется цилиндром в <tex> \mathbb R^{n + 1} </tex>.
  
Утверждение: G - цилиндр высоты c \ge 0, имеримое E \in \mathbbR^n — основание. Тогда он измерим и \lambda_{n+1} G = c \lambda_n E.
+
{{Утверждение
 +
|statement=
 +
<tex> G </tex> - цилиндр высоты c <tex> \ge 0 </tex>, измеримое <tex> E \in \mathbb R^n </tex> — основание. Тогда он измерим и <tex> \lambda_{n+1} G = c \lambda_n E </tex>.
 +
|proof=
 +
схема — от простого к сложному, применяется критерий <tex> \mu^+ </tex> -измеримости(принципа исчерпывания).
  
Доказательство:
+
1) Пусть <tex> E </tex> — параллелепипед (ячейка), то <tex> G </tex> тоже ячейка, формула выполняется.
  
схема от простого к сложному, применяется критерий \mu^+ -измеримости(принципа исчерпывания).
+
2) Пусть <tex> E </tex> открытое множество. Его можно записать в форме
 +
<tex> E = \bigcup\limits_n \Delta_n </tex> — дизъюнктно
  
1) Пусть E — параллелепипед (ячейка), то G тоже ячейка, формула выполняется.
+
<tex> G_n = \Delta_n \times [0, c] </tex>
2) Пусть E — открытое множество. Его можно записать в форме
 
E = \bigcup\limits_n \Delta_n — дизъюнктно
 
  
G_n = \Delta_n \times [a, c]
+
<tex> G = E \times [0, c] = \bigcup\limits_n G_n </tex> — дизъюнктны.
  
G - E \times [0, c] = \bigcup\limits_n G_n дизъюнктны.
+
<tex> G_n </tex> — измеримы, следоватлеьно, <tex> G </tex> измеримо.
  
G_n — измеримы, следоватлеьно, G — измеримо.
+
По сигма-аддитивности меры <tex> \lambda_{n+1} G = \sum\limits_m \lambda_{n+1} G_m = \sum\limits_m c \lambda_n \Delta_m = c \sum\limits_m \lambda_n \Delta_m = c \lambda_n E </tex>
  
По сигма-аддитивности меры \lambda_{n+1} G = \sum\limits_m \lambda_{n+1} G_m = \sum\limits_m c \lambda_n \Delta_m = c \sum\limits_m \lambda_n \Delta_m = c \lambda_n E
+
3) <tex> E </tex> — ограниченное замкнутое множество.
  
3) E — ограниченное замкнутое множество.
+
<tex> E \subset \Delta </tex> открытый параллелепипед.
  
E \in \Delta открытый параллелепипед.
+
<tex> \overline E = \Delta \setminus E </tex> — открыто можно применить пункт 2:
  
\overline E = \Delta \setminus E — открыто — можно применить пункт 2:
+
<tex> \lambda_{n+1}  \overline G = c \lambda_n \overline E </tex>
  
\lambda_{n+1} \overline G = c \lambda_n \overline E
+
<tex> \lambda_{n+1} [\Delta \times [0, c]) = c \lambda_n \Delta </tex>
  
\lambda_{n+1} [\Delta \times [0, c]) = c \lambda_n \Delta_m
+
<tex> E = \Delta \setminus \overline E, \lambda_{n+1} G = \lambda_{n+1} (\Delta \times [0, c]) - \lambda_{n+1}(\overline G) = c(\lambda_n \Delta - \lambda_n \overline E) = c \lambda_n E </tex>
  
E = \Delta \setminus \overline E, \lambda_{n+1} G = \lambda_{n+1} (\Delta \times [0, c]) - \lambda_{n+1}(\overline G) = c(\lambda_n \Delta - \lambda_n \overline E) = c \lambda_n E
+
4) <tex> E </tex> — ограниченное и измеримое
  
4) E — ограничено и измеримости
+
<tex> \forall \varepsilon > 0 </tex>, по свойствам меры Лебега.
\forall \varepsilon > 0, по свойствам меры Лебега.
 
  
Пусть F_\varepsilon — замкнутое, G_\varepsilon — открытое:
+
Пусть <tex> F_\varepsilon </tex> — замкнутое, <tex> G_\varepsilon </tex> — открытое:
  
F_\varepsilon \subset E \subset G_\varepsilon, \lambda_n G_\varepsilon - \lambda_n F_\varepsilon < \varepsilon.
+
<tex> F_\varepsilon \subset E \subset G_\varepsilon, \lambda_n G_\varepsilon - \lambda_n F_\varepsilon < \varepsilon </tex>.
  
F_\varepsilon \times [a, c] \subset G \subset G_\varepsilon \times [0, c].
+
<tex> F_\varepsilon \times [0, c] \subset G \subset G_\varepsilon \times [0, c] </tex>.
  
\lambda_{n + 1} (G_\varepsilon \times [0, c]) - \lambda_{n+1} (F_\varepsilon \times [0, c]) = c (\lambda_n G_\varepsilon - \lambda_n F_\varepsilon) < c \varepsilon
+
<tex> \lambda_{n + 1} (G_\varepsilon \times [0, c]) - \lambda_{n+1} (F_\varepsilon \times [0, c]) = c (\lambda_n G_\varepsilon - \lambda_n F_\varepsilon) < c \varepsilon </tex>
  
\varepsilon — мало, следоватлеьно, по критерию \mu^*-измеримости, G — измеримо. По монотонности меры:  
+
<tex> \varepsilon </tex> — мало, следоватлеьно, по критерию <tex> \mu^* </tex>-измеримости, <tex> G </tex> — измеримо. По монотонности меры:  
  
c \lambda_n F_\varepsilon \le \lambda_{n+1} G \le c \lambda_n G_\varepsilon
+
<tex> c \lambda_n F_\varepsilon \le \lambda_{n+1} G \le c \lambda_n G_\varepsilon </tex>
  
\lambda_n F_\varepsilon \le \lambda_n E \le \lambda_n G_\varepsilon (\varepsilon мало, это единственное число, которое можно вставить)
+
<tex> \lambda_n F_\varepsilon \le \lambda_n E \le \lambda_n G_\varepsilon </tex> ( <tex> \varepsilon </tex> мало, это единственное число, которое можно вставить{{TODO|t=че?}})
  
c: c \lambda_n F_\varepsilon \le c \lambda_n E \le \lambda_n G_\varepsilon \rightarrow \lambda_{n+1} G = c \lambda_n E.
+
<tex> c \lambda_n F_\varepsilon \le c \lambda_n E \le c \lambda_n G_\varepsilon \rightarrow \lambda_{n+1} G = c \lambda_n E </tex>.
  
5) E — измеримое множество.
+
5) <tex> E </tex> — измеримое множество.
  
Мера Лебега — сигма-конечна. E можно записывать как объединение возрастающих последовательностей ограниченных измеримых множеств, или как перемечение убывающих последовательностей ограниченных измеримых множеств, мера E = пределу мер.  
+
Мера Лебега — сигма-конечна. <tex> E </tex> можно записывать как объединение возрастающих последовательностей ограниченных измеримых множеств, или как перемечение убывающих последовательностей ограниченных измеримых множеств, мера <tex> E </tex> = пределу мер.  
  
Так же запишется цилиндр G, он окажется измеримым, переходим к переделу, победа.
+
Так же запишется цилиндр <tex> G </tex>, он окажется измеримым, переходим к переделу, победа.
 +
{{TODO|t=понятно это только звучит}}
 +
}}
  
 
Это утверждение позволяет стандартным образом доказать теорему.
 
Это утверждение позволяет стандартным образом доказать теорему.
 +
  
 
Базовым случаем будет тот, когда дело сводится к суммам Лебега-Дарбу.
 
Базовым случаем будет тот, когда дело сводится к суммам Лебега-Дарбу.

Версия 00:44, 6 января 2012

Эта статья находится в разработке!

Геометрический смысл интеграла Лебега.

[math] E \subset \mathbb R^n, f : E \to \mathbb R_+, f [/math] — измерима.

[math] G(f) = G = \{ (x_1 \ldots x_{n + 1}) \in \mathbb R^{n+1} : (x_1 \ldots x_n) \in E, 0 \le x_{n + 1} \le f(x_1 \ldots x_n) \} [/math] — подграфик функции.

Теорема (о мере подграфика):
[math] G(f) [/math] — измеримо, [math] \lambda_{n+1}(G) = \int\limits_E f d \lambda_n [/math] TODO: не очень понимаю, что доказывается
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Сначала установим, как факты, связанные с цилиндрами.

Если [math] f(x_1 \ldots x_n) = c \ge 0 [/math] на [math] E [/math], то подграфик называется цилиндром в [math] \mathbb R^{n + 1} [/math].

Утверждение:
[math] G [/math] - цилиндр высоты c [math] \ge 0 [/math], измеримое [math] E \in \mathbb R^n [/math] — основание. Тогда он измерим и [math] \lambda_{n+1} G = c \lambda_n E [/math].
[math]\triangleright[/math]

схема — от простого к сложному, применяется критерий [math] \mu^+ [/math] -измеримости(принципа исчерпывания).

1) Пусть [math] E [/math] — параллелепипед (ячейка), то [math] G [/math] тоже ячейка, формула выполняется.

2) Пусть [math] E [/math] — открытое множество. Его можно записать в форме [math] E = \bigcup\limits_n \Delta_n [/math] — дизъюнктно

[math] G_n = \Delta_n \times [0, c] [/math]

[math] G = E \times [0, c] = \bigcup\limits_n G_n [/math] — дизъюнктны.

[math] G_n [/math] — измеримы, следоватлеьно, [math] G [/math] — измеримо.

По сигма-аддитивности меры [math] \lambda_{n+1} G = \sum\limits_m \lambda_{n+1} G_m = \sum\limits_m c \lambda_n \Delta_m = c \sum\limits_m \lambda_n \Delta_m = c \lambda_n E [/math]

3) [math] E [/math] — ограниченное замкнутое множество.

[math] E \subset \Delta [/math] — открытый параллелепипед.

[math] \overline E = \Delta \setminus E [/math] — открыто — можно применить пункт 2:

[math] \lambda_{n+1} \overline G = c \lambda_n \overline E [/math]

[math] \lambda_{n+1} [\Delta \times [0, c]) = c \lambda_n \Delta [/math]

[math] E = \Delta \setminus \overline E, \lambda_{n+1} G = \lambda_{n+1} (\Delta \times [0, c]) - \lambda_{n+1}(\overline G) = c(\lambda_n \Delta - \lambda_n \overline E) = c \lambda_n E [/math]

4) [math] E [/math] — ограниченное и измеримое

[math] \forall \varepsilon \gt 0 [/math], по свойствам меры Лебега.

Пусть [math] F_\varepsilon [/math] — замкнутое, [math] G_\varepsilon [/math] — открытое:

[math] F_\varepsilon \subset E \subset G_\varepsilon, \lambda_n G_\varepsilon - \lambda_n F_\varepsilon \lt \varepsilon [/math].

[math] F_\varepsilon \times [0, c] \subset G \subset G_\varepsilon \times [0, c] [/math].

[math] \lambda_{n + 1} (G_\varepsilon \times [0, c]) - \lambda_{n+1} (F_\varepsilon \times [0, c]) = c (\lambda_n G_\varepsilon - \lambda_n F_\varepsilon) \lt c \varepsilon [/math]

[math] \varepsilon [/math] — мало, следоватлеьно, по критерию [math] \mu^* [/math]-измеримости, [math] G [/math] — измеримо. По монотонности меры:

[math] c \lambda_n F_\varepsilon \le \lambda_{n+1} G \le c \lambda_n G_\varepsilon [/math]

[math] \lambda_n F_\varepsilon \le \lambda_n E \le \lambda_n G_\varepsilon [/math] ( [math] \varepsilon [/math] мало, это единственное число, которое можно вставить TODO: че?)

[math] c \lambda_n F_\varepsilon \le c \lambda_n E \le c \lambda_n G_\varepsilon \rightarrow \lambda_{n+1} G = c \lambda_n E [/math].

5) [math] E [/math] — измеримое множество.

Мера Лебега — сигма-конечна. [math] E [/math] можно записывать как объединение возрастающих последовательностей ограниченных измеримых множеств, или как перемечение убывающих последовательностей ограниченных измеримых множеств, мера [math] E [/math] = пределу мер.

Так же запишется цилиндр [math] G [/math], он окажется измеримым, переходим к переделу, победа.

TODO: понятно это только звучит
[math]\triangleleft[/math]

Это утверждение позволяет стандартным образом доказать теорему.


Базовым случаем будет тот, когда дело сводится к суммам Лебега-Дарбу.

f — ограниченная функция, E — измеримое множество конечной меры.

f — измерима \Rightarrow интеграл Лебега существует.

\exists \int\limits_E f d \lambda_n

\tau‘ E = \bigcup\limits_{\tau=1}^p e_\tau — дизъюнктны(какой-то треш)

m_\tau = \inf\limits_{e_\tau} f(x), M_\tau = \sup\limits_{e_\tau} f(x)

\underline s (\tau) = \sum\limits_{?=1}^p e_\tau m_\tau \lambda_n e_\tau

\underline G (\tau) = \bigcup\limits_{?=1}^p \lambda_{n+1} \underline G_\tau = \sum\limits_{?=1}^p m_? \lambda_n e_? = \underline{CHTO ETO ZA BUKVA????} (\tau)

Итак, \lambda_{n+1} \underline G(\tau) = \underline s(\tau)

В силу определения m_? ясно, что \underline G(\tau) \subset G(f) — подграфик.

Аналогично с M_? : G(f) \subset \overline G(\tau)

\lambda_{n+1} \overline G(\tau) - \lambda_{n+1} \underline G(\tau) = \overline s(\tau) - \underline s (\tau) — сколь угодно мала в силу существования интеграла за счет выбора разбиения \tau.

По критерию \mu^*-измеримости подграфик оказывается измеримым и \underline s(\tau) \le \lambda_{n+1} G(f) \le \overline s(\tau) = \lambda_{n+1} \overline G(\tau)

В этом неравенстве разбиение — любое. Между парой сумм Лебега-Дарбу можно вставить только интеграл, значит, \lambda_{n+1} G(f) = \int\limits_E f d \lambda_n. Базовый случай разобран.

Далее разбор случаев:

1) \lambda_n E = + \infty. E_m (стрелка вверх o_O). \lambda_n E_m < + \infty. E = \bigcup\limits_m E_m — по сигма-конечности меры. f — ограничена на E. G_m (стрелка вверх) — подграфик f пшшш. \bigcup\limits_m G_m = G — измерима.

\lambda_{n+1} G = \lim \lambda_{n+1} G_m = \lim\limits_m \int\limits_{E_m} f d \lambda_n. Формула доказана.

2) Если f не ограничена на E произв. меры, то выстраиваем так называемые срезки:

f_m(x) = \begin{cases} f(x), & f(x) \le m \\ m, & f(x) > m \end{cases}

f_m(x) — измеримая, f_m(x) \to (m \to \infty) f(x)

f_m(x) — возрастает, f_m(x) \le f_{m+1} (x)

По теореме Леви:

\int\limits_E f_m d \lambda_n \to \int\limits_E f d \lambda_n

G_m — подграфик срезки f_m

срезки — функция ограниченная. \int\limits_E f_m d \lambda_n = \lambda_{n+1} G_m \to \int\limits_E f d \lambda_n; с другой стороны f_n \to f, G_m (стрелка вверх), \bigcup\limits_m G_m = G — подграфик измерим и по сигма-аддитивности \lambda_{n+1} G = \lim\limits_m \lambda_m \lambda_{n+1} G_m = \int\limits_E f d \lambda_n. Формула выведена в общем случае.
[math]\triangleleft[/math]