Мера подграфика — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(допилено, нужно _тщательно_ проверить, ибо треша куча)
(разобрал последний случай в лемме)
Строка 51: Строка 51:
 
4) <tex> E </tex> — ограниченное и измеримое
 
4) <tex> E </tex> — ограниченное и измеримое
  
<tex> \forall \varepsilon > 0 </tex>, по свойствам меры Лебега.
+
Для произвольного <tex> \varepsilon > 0 </tex> подберем <tex> F_\varepsilon </tex> — замкнутое и <tex> G_\varepsilon </tex> — открытое:
 
 
Пусть <tex> F_\varepsilon </tex> — замкнутое, <tex> G_\varepsilon </tex> — открытое:
 
  
 
<tex> F_\varepsilon \subset E \subset G_\varepsilon, \lambda_n G_\varepsilon - \lambda_n F_\varepsilon < \varepsilon </tex>.
 
<tex> F_\varepsilon \subset E \subset G_\varepsilon, \lambda_n G_\varepsilon - \lambda_n F_\varepsilon < \varepsilon </tex>.
Строка 63: Строка 61:
 
<tex> \varepsilon </tex> — мало, следоватлеьно, по критерию <tex> \mu^* </tex>-измеримости, <tex> G </tex> — измеримо. По монотонности меры:  
 
<tex> \varepsilon </tex> — мало, следоватлеьно, по критерию <tex> \mu^* </tex>-измеримости, <tex> G </tex> — измеримо. По монотонности меры:  
  
<tex> c \lambda_n F_\varepsilon \le \lambda_{n+1} G \le c \lambda_n G_\varepsilon </tex>
+
<tex> \lambda_{n+1} F_\varepsilon \le \lambda_{n+1} G \le \lambda_{n+1} G_\varepsilon </tex>
 
 
<tex> \lambda_n F_\varepsilon \le \lambda_n E \le \lambda_n G_\varepsilon </tex> ( <tex> \varepsilon </tex> мало, это единственное число, которое можно вставить{{TODO|t=че?}})
 
  
<tex> c \lambda_n F_\varepsilon \le c \lambda_n E \le c \lambda_n G_\varepsilon \rightarrow \lambda_{n+1} G = c \lambda_n E </tex>.
+
Также, <tex> \lambda_n F_\varepsilon \le \lambda_n E \le \lambda_n G_\varepsilon </tex>, и <tex> \lambda_{n+1} F_\varepsilon \le c \lambda_{n} E \le \lambda_{n+1} G_\varepsilon </tex>
  
5) <tex> E </tex> — измеримое множество.
+
Так как <tex> \varepsilon </tex> мало, <tex> \lambda_{n+1} G = c \lambda_n E </tex>
  
Мера Лебега — сигма-конечна. <tex> E </tex> можно записывать как объединение возрастающих последовательностей ограниченных измеримых множеств, или как перемечение убывающих последовательностей ограниченных измеримых множеств, мера <tex> E </tex> = пределу мер.  
+
5) <tex> E </tex> — произвольное измеримое множество.
  
Так же запишется цилиндр <tex> G </tex>, он окажется измеримым, переходим к переделу, победа.
+
Из сигма-конечности меры Лебега,  <tex> E = \bigcup\limits_{m=1}^{\infty} E_m </tex> — объединение возрастающих последовательностей ограниченных измеримых множеств. Цилиндр <tex> G = \bigcup\limits_{m=1}^{\infty} G_m </tex>, где <tex> G_m = E_m \times [0, c] </tex>. По уже доказанному, <tex> \lambda_{n+1} G_m = c \lambda_n E_m </tex>, а по свойствам меры, <tex> \lambda_{n+1} G = \lim \lambda_{n+1} G_m = c \lim \lambda_n E_m = c \lambda_n E </tex>.
{{TODO|t=понятно это только звучит}}
 
 
}}
 
}}
  

Версия 02:38, 8 января 2012

Эта статья находится в разработке!

Геометрический смысл интеграла Лебега.

[math] E \subset \mathbb R^n, f : E \to \mathbb R_+, f [/math] — измерима.

[math] G(f) = G = \{ (x_1 \ldots x_{n + 1}) \in \mathbb R^{n+1} : (x_1 \ldots x_n) \in E, 0 \le x_{n + 1} \le f(x_1 \ldots x_n) \} [/math] — подграфик функции.

Теорема (о мере подграфика):
[math] G(f) [/math] — измеримо, [math] \lambda_{n+1}(G) = \int\limits_E f d \lambda_n [/math] TODO: не очень понимаю, что доказывается
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Сначала установим, как факты, связанные с цилиндрами.

Если [math] f(x_1 \ldots x_n) = c \ge 0 [/math] на [math] E [/math], то подграфик называется цилиндром в [math] \mathbb R^{n + 1} [/math].

Утверждение:
[math] G [/math] - цилиндр высоты c [math] \ge 0 [/math], измеримое [math] E \in \mathbb R^n [/math] — основание. Тогда он измерим и [math] \lambda_{n+1} G = c \lambda_n E [/math].
[math]\triangleright[/math]

схема — от простого к сложному, применяется критерий [math] \mu^+ [/math] -измеримости(принципа исчерпывания).

1) Пусть [math] E [/math] — параллелепипед (ячейка), то [math] G [/math] тоже ячейка, формула выполняется.

2) Пусть [math] E [/math] — открытое множество. Его можно записать в форме [math] E = \bigcup\limits_n \Delta_n [/math] — дизъюнктно

[math] G_n = \Delta_n \times [0, c] [/math]

[math] G = E \times [0, c] = \bigcup\limits_n G_n [/math] — дизъюнктны.

[math] G_n [/math] — измеримы, следоватлеьно, [math] G [/math] — измеримо.

По сигма-аддитивности меры [math] \lambda_{n+1} G = \sum\limits_m \lambda_{n+1} G_m = \sum\limits_m c \lambda_n \Delta_m = c \sum\limits_m \lambda_n \Delta_m = c \lambda_n E [/math]

3) [math] E [/math] — ограниченное замкнутое множество.

[math] E \subset \Delta [/math] — открытый параллелепипед.

[math] \overline E = \Delta \setminus E [/math] — открыто — можно применить пункт 2:

[math] \lambda_{n+1} \overline G = c \lambda_n \overline E [/math]

[math] \lambda_{n+1} [\Delta \times [0, c]) = c \lambda_n \Delta [/math]

[math] E = \Delta \setminus \overline E, \lambda_{n+1} G = \lambda_{n+1} (\Delta \times [0, c]) - \lambda_{n+1}(\overline G) = c(\lambda_n \Delta - \lambda_n \overline E) = c \lambda_n E [/math]

4) [math] E [/math] — ограниченное и измеримое

Для произвольного [math] \varepsilon \gt 0 [/math] подберем [math] F_\varepsilon [/math] — замкнутое и [math] G_\varepsilon [/math] — открытое:

[math] F_\varepsilon \subset E \subset G_\varepsilon, \lambda_n G_\varepsilon - \lambda_n F_\varepsilon \lt \varepsilon [/math].

[math] F_\varepsilon \times [0, c] \subset G \subset G_\varepsilon \times [0, c] [/math].

[math] \lambda_{n + 1} (G_\varepsilon \times [0, c]) - \lambda_{n+1} (F_\varepsilon \times [0, c]) = c (\lambda_n G_\varepsilon - \lambda_n F_\varepsilon) \lt c \varepsilon [/math]

[math] \varepsilon [/math] — мало, следоватлеьно, по критерию [math] \mu^* [/math]-измеримости, [math] G [/math] — измеримо. По монотонности меры:

[math] \lambda_{n+1} F_\varepsilon \le \lambda_{n+1} G \le \lambda_{n+1} G_\varepsilon [/math]

Также, [math] \lambda_n F_\varepsilon \le \lambda_n E \le \lambda_n G_\varepsilon [/math], и [math] \lambda_{n+1} F_\varepsilon \le c \lambda_{n} E \le \lambda_{n+1} G_\varepsilon [/math]

Так как [math] \varepsilon [/math] мало, [math] \lambda_{n+1} G = c \lambda_n E [/math]

5) [math] E [/math] — произвольное измеримое множество.

Из сигма-конечности меры Лебега, [math] E = \bigcup\limits_{m=1}^{\infty} E_m [/math] — объединение возрастающих последовательностей ограниченных измеримых множеств. Цилиндр [math] G = \bigcup\limits_{m=1}^{\infty} G_m [/math], где [math] G_m = E_m \times [0, c] [/math]. По уже доказанному, [math] \lambda_{n+1} G_m = c \lambda_n E_m [/math], а по свойствам меры, [math] \lambda_{n+1} G = \lim \lambda_{n+1} G_m = c \lim \lambda_n E_m = c \lambda_n E [/math].
[math]\triangleleft[/math]

Это утверждение позволяет стандартным образом доказать теорему.


Базовым случаем будет тот, когда дело сводится к суммам Лебега-Дарбу.

[math] f [/math] — ограниченная функция, [math] E [/math] — измеримое множество конечной меры.

[math] f [/math] — измерима, следовательно, интеграл Лебега существует.

[math] \exists \int\limits_E f d \lambda_n [/math]

[math] \tau: E = \bigcup\limits_{j=1}^p e_j [/math] — дизъюнктны.

[math] m_j = \inf\limits_{e_j} f(x), M_j = \sup\limits_{e_j} f(x) [/math]

[math] \underline s (\tau) = \sum\limits_{j=1}^p m_j \lambda_n e_j [/math]

[math] \underline G_j = e_j \times [0, m_j] [/math]

[math] \lambda_{n+1} \underline G_j = m_j \lambda_n e_j [/math]

[math] \underline G (\tau) = \bigcup\limits_{j=1}^p G_j [/math] — дизъюнктны

[math] \lambda_{n+1} \underline G(\tau) = \sum\limits_{j=1}^p \lambda_{n+1} \underline G_j = \sum\limits_{j=1}^p m_j \lambda_n e_j = \underline s(\tau) [/math]

Итак, [math] \lambda_{n+1} \underline G(\tau) = \underline s(\tau) [/math]

В силу определения [math] m_j [/math] ясно, что [math] \underline G(\tau) \subset G(f) [/math] — подграфик.

Аналогично с [math] M_j : G(f) \subset \overline G(\tau) [/math] TODO: расписать

[math] \lambda_{n+1} \overline G(\tau) - \lambda_{n+1} \underline G(\tau) = \overline s(\tau) - \underline s (\tau) [/math] — сколь угодно мала в силу существования интеграла за счет выбора разбиения [math] \tau [/math].

По критерию [math] \mu^* [/math]-измеримости подграфик оказывается измеримым и [math] \underline s(\tau) \le \lambda_{n+1} G(f) \le \overline s(\tau) = \lambda_{n+1} \overline G(\tau) [/math]

В этом неравенстве разбиение — любое. Между парой сумм Лебега-Дарбу можно вставить только интеграл, значит, [math] \lambda_{n+1} G(f) = \int\limits_E f d \lambda_n [/math]. Базовый случай разобран.

Далее разбор случаев:

1) [math] \lambda_n E = + \infty [/math]. [math] E_m [/math](стрелка вверх o_O). [math] \lambda_n E_m \lt + \infty [/math]. [math] E = \bigcup\limits_m E_m [/math] — по сигма-конечности меры. [math] f [/math] — ограничена на [math] E [/math]. [math] G_m [/math] (стрелка вверх) — подграфик [math] f [/math] пшшш. [math] \bigcup\limits_m G_m = G [/math] — измерима.

[math] \lambda_{n+1} G = \lim \lambda_{n+1} G_m = \lim\limits_m \int\limits_{E_m} f d \lambda_n [/math]. По сигма-аддитивности интеграла = [math] \int\limits_E f d \lambda_n [/math]. Формула доказана.

2) Если [math] f [/math] не ограничена на [math] E [/math] произв. меры, то выстраиваем так называемые срезки:

[math] f_m(x) = \begin{cases} f(x), & f(x) \le m \\ m, & f(x) \gt m \end{cases} [/math]

[math] f_m(x) [/math] — измеримая, [math] f_m(x) \xrightarrow[m \to \infty]{} f(x) [/math]

[math] f_m(x) [/math] — возрастает, [math] f_m(x) \le f_{m+1} (x) [/math]

По теореме Леви:

[math] \int\limits_E f_m d \lambda_n \to \int\limits_E f d \lambda_n [/math]

[math] G_m [/math] — подграфик срезки [math] f_m [/math]

срезки — функция ограниченная. [math] \int\limits_E f_m d \lambda_n = \lambda_{n+1} G_m \to \int\limits_E f d \lambda_n [/math]; с другой стороны [math] f_n \to f, G_m [/math] (стрелка вверх), [math] \bigcup\limits_m G_m = G [/math] — подграфик измерим и по сигма-аддитивности [math] \lambda_{n+1} G = \lim\limits_m \lambda_{n+1} G_m = \int\limits_E f d \lambda_n [/math]. Формула выведена в общем случае.
[math]\triangleleft[/math]