Редактирование: Методы решения задач теории расписаний

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 82: Строка 82:
 
* [[Flow shop]]
 
* [[Flow shop]]
 
* [[Opi1sumu|<tex> O \mid p_{ij} = 1 \mid \sum U_i</tex>]]
 
* [[Opi1sumu|<tex> O \mid p_{ij} = 1 \mid \sum U_i</tex>]]
 +
 +
=== Примеры ===
 +
==== 1 | prec | f_max ====
 +
Дано множество работ <tex> J </tex> размера <tex> n </tex>, для которых заданы отношения предшествования, нужно минимизировать <tex> f_{max} = \max\limits_i f_i(C_i) </tex>, где <tex> f_i</tex> — монотонно неубывают по времени завершения работы <tex> i </tex>.
 +
 +
Приведем алгоритм(''Lawler's algorithm'') решения за <tex> O(n^2) </tex> и докажем его оптимальность:
 +
# Пусть <tex> U \subseteq J </tex> — множество еще не назначенных работ. Пусть <tex> p(U) = \sum\limits_{i \in U} p_i </tex>.
 +
# Назначим работу <tex> j \in U </tex>, у которой нет потомков в <tex> U </tex> и с минимальным значением <tex> f_j(p(U)) </tex> последней работой в <tex> U </tex>.
 +
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Предложенный алгоритм оптимален.
 +
|proof=
 +
Не теряя общности, пронумеруем работы в расписании, построенном нашим алгоритмом, от <tex> 1 </tex> до <tex> n </tex>. Пусть <tex> \pi(1) \dots \pi(n) </tex> — оптимальная последовательность работ такая, что наибольший общий суффикс их расписаний — максимален (пусть они впервые различаются в позиции <tex> r </tex>). Получили, следующую ситуацию:
 +
 +
pi: ... ... r-1 k .... j r r+1 ... n
 +
 +
Докажем, что можно привести это расписание к оптимальному расписанию с большим общим суффиксом. Заметим, что если выполнить работу r-1 прямо перед r, расписание все еще будет допустимым (несмотря на еще не доказанную оптимальность, наш алгоритм строит только допустимые расписания, а  в построенном нами расписании r-1 стояло прямо перед r). По оптимальному расписанию j выполняется непосредственно перед r. Таким образом, у работ j и r нет ни одного потомка в можестве работ 1, 2.. r-2, r-1. По построенной нашим алгоритмом последовательности 1..n мы получаем, что <tex> f_{r-1}(\sum\limits_{i}^{r-1} p_i) \le f_j(\sum\limits_{i}^{r-1}) </tex> (иначе мы бы поставили последней на тот момент работу j, а не r). Сдвинем в последовательности <tex> \pi </tex> работы k .. j влево на одну позицию, а работу r-1 поместим перед r. Так как после сдвига влево, <tex>f_k \dots f_j </tex> не могли увеличиться, максимум так же не мог увеличиться. Следовательно, оптимальная последовательность <tex> \pi </tex> имела не самый длинный общий суффикс, что противоречит её выбору.
 +
}}
  
 
== Примечания ==
 
== Примечания ==

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблон, используемый на этой странице: