Метрические, нормированные и евклидовы пространства — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 32: Строка 32:
 
<tex>3)\Vert x+y \Vert \leq \Vert x \Vert+\Vert y \Vert</tex>
 
<tex>3)\Vert x+y \Vert \leq \Vert x \Vert+\Vert y \Vert</tex>
 
}}
 
}}
 +
==Примеры==
 +
<tex>X = R^{n}; \Vert x \Vert = \sqrt{\sum_{(i)}(x_{i})^{2}}</tex>
 
{{Лемма
 
{{Лемма
 
|id=lemma1
 
|id=lemma1
Строка 51: Строка 53:
  
 
Тогда <tex>E</tex> называется вещественным псевдоевклидовым пространством}}
 
Тогда <tex>E</tex> называется вещественным псевдоевклидовым пространством}}
 +
==Примеры==
 +
Пространство Минковского: <tex>E = R^{4} = {x=(\xi^{0}, \xi^{1}, \xi^{2}, \xi^{3})}</tex>, где первая координата - временная, а остальные - пространственные;
 +
 +
<tex>\left\langle x,y\right\rangle = \xi^{0}\eta^{0}-\xi^{1}\eta^{1}-\xi^{2}\eta^{2}-\xi^{3}\eta^{3}</tex> - не обязано быть положительным
  
 
=Вещественное евклидово пространство=
 
=Вещественное евклидово пространство=
Строка 56: Строка 62:
 
|definition=
 
|definition=
 
Пусть <tex>E</tex> - вещественное псевдоевклидово пространство, <tex>G(x,y)</tex> - положительно определённая, то есть <tex>G(x,y)\ge0; G(x,x)=0 \Longleftrightarrow x = 0_{E}</tex>. Тогда <tex>E</tex> - вещественное евклидово пространство.}}
 
Пусть <tex>E</tex> - вещественное псевдоевклидово пространство, <tex>G(x,y)</tex> - положительно определённая, то есть <tex>G(x,y)\ge0; G(x,x)=0 \Longleftrightarrow x = 0_{E}</tex>. Тогда <tex>E</tex> - вещественное евклидово пространство.}}
 +
==Примеры==
 +
Пространство полиномов <tex>E = P_{n};</tex>
 +
 +
<tex>\left\langle p,q\right\rangle_{s} =  \int_{-1}^{1} p(t)q(t)dt </tex>
 +
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
<tex>G(x,y)=\left\langle x,y\right\rangle_{G}</tex> называется скалярным произведением x и y (в E)}}
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
<tex>G(x,y)=<x,y>_{G}</tex> называется скалярным произведением x и y (в E)}}
+
<tex>\Vert x,y\Vert_{G}=\sqrt{\left\langle x,x\right\rangle_{G}}</tex> называется нормой вектора в вещественном евклидовом пространстве E}}
 +
{{Лемма
 +
|id=lemma1
 +
|about=1
 +
|statement=
 +
Любое вещественное пространство является нормированным.
 +
|proof= Очевидно, можно переписать для нового определения три свойства нормы.
 +
}}
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
<tex>x \in E</tex> называется нуль-вектором относительно метрики G, если <tex><x,x>_{G} = 0</tex>}}
+
<tex>x \in E</tex> называется нуль-вектором относительно метрики G, если <tex>\left\langle x,x\right\rangle_{G} = 0</tex>}}
==Определение==
 

Версия 01:11, 12 июня 2013

//статья в разработке\\

Метрическое пространство

Определение:
Пусть [math]M[/math] - множество, тогда [math]M[/math] называется метрическим пространством, если на нём определена функция [math]\rho:\: M\times M\longrightarrow R[/math] (расстояние), такая, что выполняются три аксиомы:

[math]1)\:\rho(x,y)=0\Longleftrightarrow x=y[/math] - аксиома тождества;

[math]2)\:\rho(x,y)=\rho(x,y)[/math] - аксиома симметрии;

[math]3)\:\rho(x,y)+\rho(y,z)\geq \rho(x,z)[/math] - аксиома(неравенство) треугольника;

Примеры

1) Дискретная:[math] \rho(x,y)=\left\{ \begin{array}{c} 1,\: x\ne y\\ 0,\: x=y \end{array}\right\}[/math]

2) [math]M=R^{n}; \: \rho(x,y)=max\:|x_{i}-y_{i}|[/math] (по всем i)

Нормированное пространство

Определение:
Пусть [math]X[/math] - линейное пространство над [math]R(C)[/math], тогда [math]X[/math] называется нормированным пространством, если на нём определена функция [math]\Vert\:\Vert: X\longrightarrow R[/math] (норма), такая, что выполняются три свойства:

[math]1)\Vert x \Vert \geq 0; \Vert x \Vert = 0 \Leftrightarrow x = 0_{x}[/math] - положительная определённость

[math]2)\Vert \alpha x \Vert = | \alpha|\cdot \Vert x \Vert[/math]

[math]3)\Vert x+y \Vert \leq \Vert x \Vert+\Vert y \Vert[/math]

Примеры

[math]X = R^{n}; \Vert x \Vert = \sqrt{\sum_{(i)}(x_{i})^{2}}[/math]

Лемма (1):
Любое нормированное пространство является метрическим(обратное не верно!)
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Очевидно, [math]\rho(x,y)=\Vert x-y \Vert[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Вещественное псевдоевклидово пространство

Определение:
Пусть [math]E[/math] - линейное пространство над [math]R[/math]. Пусть на [math]E[/math] задана т.н. метрическая форма [math]G(x,y)[/math], такая, что выполняются три свойства:

[math]1)G(x,y)[/math] - билинейная форма валентности (2;0) [math](x,y \in E)[/math]

[math]2)G(x,y)=G(y,x)[/math] - симметричность

[math]3)[/math] При [math]x=0: G(x,y)=0[/math] при любых [math]y \in E[/math] - невырожденность

Тогда [math]E[/math] называется вещественным псевдоевклидовым пространством

Примеры

Пространство Минковского: [math]E = R^{4} = {x=(\xi^{0}, \xi^{1}, \xi^{2}, \xi^{3})}[/math], где первая координата - временная, а остальные - пространственные;

[math]\left\langle x,y\right\rangle = \xi^{0}\eta^{0}-\xi^{1}\eta^{1}-\xi^{2}\eta^{2}-\xi^{3}\eta^{3}[/math] - не обязано быть положительным

Вещественное евклидово пространство

Определение:
Пусть [math]E[/math] - вещественное псевдоевклидово пространство, [math]G(x,y)[/math] - положительно определённая, то есть [math]G(x,y)\ge0; G(x,x)=0 \Longleftrightarrow x = 0_{E}[/math]. Тогда [math]E[/math] - вещественное евклидово пространство.

Примеры

Пространство полиномов [math]E = P_{n};[/math]

[math]\left\langle p,q\right\rangle_{s} = \int_{-1}^{1} p(t)q(t)dt [/math]


Определение:
[math]G(x,y)=\left\langle x,y\right\rangle_{G}[/math] называется скалярным произведением x и y (в E)


Определение:
[math]\Vert x,y\Vert_{G}=\sqrt{\left\langle x,x\right\rangle_{G}}[/math] называется нормой вектора в вещественном евклидовом пространстве E
Лемма (1):
Любое вещественное пространство является нормированным.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Очевидно, можно переписать для нового определения три свойства нормы.
[math]\triangleleft[/math]
Определение:
[math]x \in E[/math] называется нуль-вектором относительно метрики G, если [math]\left\langle x,x\right\rangle_{G} = 0[/math]