Метрические, нормированные и евклидовы пространства — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Примеры)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 5 промежуточных версий 5 участников)
Строка 2: Строка 2:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Пусть <tex>M</tex> - множество, тогда <tex>M</tex> называется '''метрическим пространством''', если на нём определена функция <tex>\rho:\: M\times M\longrightarrow R</tex> (расстояние), такая, что выполняются три аксиомы:
+
Пусть <tex>M</tex> - множество, тогда <tex>M</tex> называется '''метрическим пространством''', если на нём определена функция <tex>\rho:\: M\times M\longrightarrow \mathbb{R}</tex> (расстояние), такая, что выполняются три аксиомы:
  
 
<tex>1)\:\rho(x,y)=0\Longleftrightarrow x=y</tex> - аксиома тождества;
 
<tex>1)\:\rho(x,y)=0\Longleftrightarrow x=y</tex> - аксиома тождества;
  
<tex>2)\:\rho(x,y)=\rho(x,y)</tex> - аксиома симметрии;
+
<tex>2)\:\rho(x,y)=\rho(y,x)</tex> - аксиома симметрии;
  
 
<tex>3)\:\rho(x,y)+\rho(y,z)\geq \rho(x,z)</tex> - аксиома(неравенство) треугольника;
 
<tex>3)\:\rho(x,y)+\rho(y,z)\geq \rho(x,z)</tex> - аксиома(неравенство) треугольника;
Строка 17: Строка 17:
 
\end{array}\right\}</tex>
 
\end{array}\right\}</tex>
  
2) <tex>M=R^{n}; \: \rho(x,y)=max\:|x_{i}-y_{i}|</tex>  (по всем i)
+
2) <tex>M=\mathbb{R}^{n}; \: \rho(x,y)=max\:|x_{i}-y_{i}|</tex>  (по всем i)
  
 
=Нормированное пространство=
 
=Нормированное пространство=
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Пусть <tex>X</tex> - линейное пространство над <tex>R(C)</tex>, тогда <tex>X</tex> называется '''нормированным пространством''', если на нём определена функция <tex>\Vert\:\Vert: X\longrightarrow R</tex> (норма), такая, что выполняются три свойства:
+
Пусть <tex>X</tex> - линейное пространство над <tex>\mathbb{R}(\mathbb{C})</tex>, тогда <tex>X</tex> называется '''нормированным пространством''', если на нём определена функция <tex>\Vert\:\Vert: X\longrightarrow \mathbb{R}</tex> (норма), такая, что выполняются три свойства:
  
 
<tex>1)\Vert x \Vert \geq 0; \Vert x \Vert = 0 \Leftrightarrow x = 0_{x}</tex> - положительная определённость
 
<tex>1)\Vert x \Vert \geq 0; \Vert x \Vert = 0 \Leftrightarrow x = 0_{x}</tex> - положительная определённость
Строка 31: Строка 31:
 
}}
 
}}
 
==Примеры==
 
==Примеры==
<tex>X = R^{n}; \Vert x \Vert = \sqrt{\sum_{(i)}(x_{i})^{2}}</tex>
+
<tex>X = \mathbb{R}^{n}; \Vert x \Vert = \sqrt{\sum_{(i)}(x_{i})^{2}}</tex>
 
{{Лемма
 
{{Лемма
 
|id=lemma1
 
|id=lemma1
Строка 42: Строка 42:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Пусть <tex>E</tex> - линейное пространство над <tex>R</tex>. Пусть на <tex>E</tex> задана т.н. метрическая форма <tex>G(x,y)</tex>, такая, что выполняются три свойства:
+
Пусть <tex>E</tex> - линейное пространство над <tex>\mathbb{R}</tex>. Пусть на <tex>E</tex> задана т.н. метрическая форма <tex>G(x,y)</tex>, такая, что выполняются три свойства:
  
 
<tex>1)G(x,y)</tex> - билинейная форма валентности (2;0) <tex>(x,y \in E)</tex>
 
<tex>1)G(x,y)</tex> - билинейная форма валентности (2;0) <tex>(x,y \in E)</tex>
Строка 52: Строка 52:
 
Тогда <tex>E</tex> называется вещественным псевдоевклидовым пространством}}
 
Тогда <tex>E</tex> называется вещественным псевдоевклидовым пространством}}
 
==Примеры==
 
==Примеры==
Пространство Минковского: <tex>E = R^{4} = {x=(\xi^{0}, \xi^{1}, \xi^{2}, \xi^{3})}</tex>, где первая координата - временная, а остальные - пространственные;
+
Пространство Минковского: <tex>E = \mathbb{R}^{4} = {x=(\xi^{0}, \xi^{1}, \xi^{2}, \xi^{3})}</tex>, где первая координата - временная, а остальные - пространственные;
  
 
<tex>\left\langle x,y\right\rangle = \xi^{0}\eta^{0}-\xi^{1}\eta^{1}-\xi^{2}\eta^{2}-\xi^{3}\eta^{3}</tex> - не обязано быть положительным
 
<tex>\left\langle x,y\right\rangle = \xi^{0}\eta^{0}-\xi^{1}\eta^{1}-\xi^{2}\eta^{2}-\xi^{3}\eta^{3}</tex> - не обязано быть положительным
Строка 59: Строка 59:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Пусть <tex>E</tex> - вещественное псевдоевклидово пространство, <tex>G(x,y)</tex> - положительно определённая, то есть <tex>G(x,y)\ge0; G(x,x)=0 \Longleftrightarrow x = 0_{E}</tex>. Тогда <tex>E</tex> - вещественное евклидово пространство.}}
+
Пусть <tex>E</tex> - вещественное псевдоевклидово пространство, <tex>G(x,x)</tex> - положительно определённая, то есть <tex>G(x,x)\ge0; G(x,x)=0 \Longleftrightarrow x = 0_{E}</tex>. Тогда <tex>E</tex> - вещественное евклидово пространство.}}
==Примеры==
+
==Примеры=
 
Пространство полиномов <tex>E = P_{n};</tex>
 
Пространство полиномов <tex>E = P_{n};</tex>
  
Строка 81: Строка 81:
 
|definition=
 
|definition=
 
<tex>x \in E</tex> называется нуль-вектором относительно метрики G, если <tex>\left\langle x,x\right\rangle_{G} = 0</tex>}}
 
<tex>x \in E</tex> называется нуль-вектором относительно метрики G, если <tex>\left\langle x,x\right\rangle_{G} = 0</tex>}}
 +
 +
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]

Текущая версия на 19:15, 4 сентября 2022

Метрическое пространство

Определение:
Пусть [math]M[/math] - множество, тогда [math]M[/math] называется метрическим пространством, если на нём определена функция [math]\rho:\: M\times M\longrightarrow \mathbb{R}[/math] (расстояние), такая, что выполняются три аксиомы:

[math]1)\:\rho(x,y)=0\Longleftrightarrow x=y[/math] - аксиома тождества;

[math]2)\:\rho(x,y)=\rho(y,x)[/math] - аксиома симметрии;

[math]3)\:\rho(x,y)+\rho(y,z)\geq \rho(x,z)[/math] - аксиома(неравенство) треугольника;

Примеры

1) Дискретная:[math] \rho(x,y)=\left\{ \begin{array}{c} 1,\: x\ne y\\ 0,\: x=y \end{array}\right\}[/math]

2) [math]M=\mathbb{R}^{n}; \: \rho(x,y)=max\:|x_{i}-y_{i}|[/math] (по всем i)

Нормированное пространство

Определение:
Пусть [math]X[/math] - линейное пространство над [math]\mathbb{R}(\mathbb{C})[/math], тогда [math]X[/math] называется нормированным пространством, если на нём определена функция [math]\Vert\:\Vert: X\longrightarrow \mathbb{R}[/math] (норма), такая, что выполняются три свойства:

[math]1)\Vert x \Vert \geq 0; \Vert x \Vert = 0 \Leftrightarrow x = 0_{x}[/math] - положительная определённость

[math]2)\Vert \alpha x \Vert = | \alpha|\cdot \Vert x \Vert[/math]

[math]3)\Vert x+y \Vert \leq \Vert x \Vert+\Vert y \Vert[/math]

Примеры

[math]X = \mathbb{R}^{n}; \Vert x \Vert = \sqrt{\sum_{(i)}(x_{i})^{2}}[/math]

Лемма (1):
Любое нормированное пространство является метрическим(обратное не верно!)
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Очевидно, [math]\rho(x,y)=\Vert x-y \Vert[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Вещественное псевдоевклидово пространство

Определение:
Пусть [math]E[/math] - линейное пространство над [math]\mathbb{R}[/math]. Пусть на [math]E[/math] задана т.н. метрическая форма [math]G(x,y)[/math], такая, что выполняются три свойства:

[math]1)G(x,y)[/math] - билинейная форма валентности (2;0) [math](x,y \in E)[/math]

[math]2)G(x,y)=G(y,x)[/math] - симметричность

[math]3)[/math] При [math]x=0: G(x,y)=0[/math] при любых [math]y \in E[/math] - невырожденность

Тогда [math]E[/math] называется вещественным псевдоевклидовым пространством

Примеры

Пространство Минковского: [math]E = \mathbb{R}^{4} = {x=(\xi^{0}, \xi^{1}, \xi^{2}, \xi^{3})}[/math], где первая координата - временная, а остальные - пространственные;

[math]\left\langle x,y\right\rangle = \xi^{0}\eta^{0}-\xi^{1}\eta^{1}-\xi^{2}\eta^{2}-\xi^{3}\eta^{3}[/math] - не обязано быть положительным

Вещественное евклидово пространство

Определение:
Пусть [math]E[/math] - вещественное псевдоевклидово пространство, [math]G(x,x)[/math] - положительно определённая, то есть [math]G(x,x)\ge0; G(x,x)=0 \Longleftrightarrow x = 0_{E}[/math]. Тогда [math]E[/math] - вещественное евклидово пространство.

=Примеры

Пространство полиномов [math]E = P_{n};[/math]

[math]\left\langle p,q\right\rangle_{s} = \int_{-1}^{1} p(t)q(t)dt [/math]


Определение:
[math]G(x,y)=\left\langle x,y\right\rangle_{G}[/math] называется скалярным произведением x и y (в E)


Определение:
[math]\Vert x\Vert_{G}=\sqrt{\left\langle x,x\right\rangle_{G}}[/math] называется нормой вектора в вещественном евклидовом пространстве E
Лемма (1):
Любое вещественное пространство является нормированным.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Очевидно, можно переписать для нового определения три свойства нормы.
[math]\triangleleft[/math]
Определение:
[math]x \in E[/math] называется нуль-вектором относительно метрики G, если [math]\left\langle x,x\right\rangle_{G} = 0[/math]