Метрические пространства — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Ссылки)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 24 промежуточные версии 11 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{В разработке}}
 
 
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|id=defms
 
|id=defms
 
|definition=
 
|definition=
Для некоторого множества <tex>X</tex>, отображение <tex> \rho : X \times X \rightarrow \mathbb{R^+} </tex> {{---}} называется '''метрикой''' на <tex>X</tex>, если выполняются аксиомы
+
Для некоторого множества <tex>X</tex>, отображение <tex> \rho : X \times X \to \mathbb{R^+} </tex> {{---}} называется '''метрикой''' на <tex>X</tex>, если выполняются аксиомы
 
# <tex> \rho (x, y) \ge 0 ;\ \rho (x, y) = 0  \iff x = y </tex>
 
# <tex> \rho (x, y) \ge 0 ;\ \rho (x, y) = 0  \iff x = y </tex>
 
# <tex> \rho (x, y) = \rho (y, x) </tex>  
 
# <tex> \rho (x, y) = \rho (y, x) </tex>  
Строка 33: Строка 31:
 
|proof=
 
|proof=
 
Рассмотрим <tex>f(t) = {t \over 1 + t}</tex>.
 
Рассмотрим <tex>f(t) = {t \over 1 + t}</tex>.
* <tex> f(t) </tex> возрастает при <tex> t \in (-1, \infty) </tex>, поэтому, если <tex> -1 < t_1 < t_2 </tex>, <tex> f(t_1) < f(t_2) </tex>.  
+
* <tex> f(t) </tex> возрастает при <tex> t \in [0, \infty) </tex>, поэтому, если <tex> 0 \le t_1 < t_2 </tex>, <tex> f(t_1) < f(t_2) </tex>
* <tex>f</tex> выпукла вверх на том же промежутке
+
* <tex> \frac{f(t)}{t} = \frac{1}{1 + t}</tex> убывает при <tex>t \in [0, \infty)</tex>
Так как <tex> |x - z| \le |x - y| + |y - z| </tex> по свойствам <tex> | \cdot | </tex> и <tex>f</tex> возрастает, то <tex> f(|x - z|) \le f(|x - y| + |y - z|)</tex>. Из свойств [[Модуль_непрерывности_функции | модуля непрерывности]] имеем <tex>f(t_1 + t_2) \le f(t_1) + f(t_2)</tex>, тогда <tex>f(|x - y| + |y - z|) \le f(|x - y|) + f(|y - z|) </tex>, то есть получили <tex>f(|x - z|) \le f(|x - y|) + f(|y - z|)</tex>.
+
Покажем, что для <tex>f</tex> выполняется <tex>f(t_1 + t_2) \le f(t_1) + f(t_2)</tex>.
 +
 
 +
<tex>f(t_1) + f(t_2) = t_1 \frac{1}{1 + t_1} + t_2 \frac{1}{1 + t_2} \ge</tex>(по убыванию <tex>\frac{1}{1 + t}</tex>)<tex>\ge t_1 \frac{1}{1 + t_1 + t_2} + t_2 \frac{1}{1 + t_1 + t_2} = \frac{t_1 + t_2}{1 + t_1 + t_2} = f(t_1 + t_2)</tex>.
 +
 +
Так как <tex> |x - z| \le |x - y| + |y - z| </tex> по свойствам <tex> | \cdot | </tex> и <tex>f</tex> возрастает, то <tex> f(|x - z|) \le f(|x - y| + |y - z|)</tex>. Так как знаем, что <tex>f(t_1 + t_2) \le f(t_1) + f(t_2)</tex>, получаем <tex>f(|x - y| + |y - z|) \le f(|x - y|) + f(|y - z|) </tex>, то есть получили <tex>f(|x - z|) \le f(|x - y|) + f(|y - z|)</tex>.
 
}}  
 
}}  
  
Строка 42: Строка 44:
 
|statement=Сходимость в метрике <tex> \mathbb{R}^{\infty} </tex> эквивалентна покоординатной.  
 
|statement=Сходимость в метрике <tex> \mathbb{R}^{\infty} </tex> эквивалентна покоординатной.  
 
|proof=
 
|proof=
Рассматриваем <tex> f(x) = \frac{x}{1+x} </tex>, как и в прошлом утверждении.
+
Рассматриваем <tex> f(t) = \frac{t}{1+t} </tex>, как и в прошлом утверждении.
 
Пусть <tex> x^{(n)} = (x^{(n)}_1, \dots, x^{(n)}_k, \dots), x = (x_1, \dots, x_k, \dots) </tex>. Покажем, что <tex> x^{(n)} \to x \iff \forall k: x^{(n)}_k \to x_k </tex>.  
 
Пусть <tex> x^{(n)} = (x^{(n)}_1, \dots, x^{(n)}_k, \dots), x = (x_1, \dots, x_k, \dots) </tex>. Покажем, что <tex> x^{(n)} \to x \iff \forall k: x^{(n)}_k \to x_k </tex>.  
  
Строка 51: Строка 53:
  
 
* В любом пространстве <tex>X</tex> можно ввести дискретную метрику: <tex>\rho(x, y) = \begin{cases} 0; & x = y \\ 1; & x \ne y \end{cases}</tex>. Заметим, что в дискретной метрике сходятся только стационарные последовательности.
 
* В любом пространстве <tex>X</tex> можно ввести дискретную метрику: <tex>\rho(x, y) = \begin{cases} 0; & x = y \\ 1; & x \ne y \end{cases}</tex>. Заметим, что в дискретной метрике сходятся только стационарные последовательности.
* <tex>X = \mathbb{R}^{\mathbb{I}}</tex>, то есть множество всех функций из <tex>[0; 1]</tex> в <tex>\mathbb{R}</tex>. Это пространство не метризуется, то есть не существует метрики, в которой сходимость эквивалентна поточечной <ref>Кому интересно: метрическое пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности, а она не может выполняться в <tex>X = \mathbb{I}^{\mathbb{I}}</tex>, которое понятно как сводится к <tex>X = \mathbb{R}^{\mathbb{I}}</tex>: [http://math.stackexchange.com/questions/65472/why-is-0-10-1-not-first-countable ''Why is <tex>[0,1]^{[0,1]}</tex> not first countable?'']</ref>.
+
* <tex>X = \mathbb{R}^{\mathbb{I}}</tex>, то есть множество всех функций из <tex>\mathbb{I} = [0; 1]</tex> в <tex>\mathbb{R}</tex>. Это пространство не метризуется, то есть не существует метрики, в которой сходимость эквивалентна поточечной <ref>Кому интересно: метрическое пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности, а она не может выполняться в <tex>X = \mathbb{I}^{\mathbb{I}}</tex>, которое понятно как сводится к <tex>X = \mathbb{R}^{\mathbb{I}}</tex>: [http://math.stackexchange.com/questions/65472/why-is-0-10-1-not-first-countable ''Why is <tex>[0,1]^{[0,1]}</tex> not first countable?'']</ref>.
  
 
Центральную роль в изучении МП играют шары:
 
Центральную роль в изучении МП играют шары:
Строка 66: Строка 68:
 
|definition=
 
|definition=
 
Для некоторого множества <tex>X</tex>, класс множеств <tex>\tau</tex> называется '''топологией''', если:
 
Для некоторого множества <tex>X</tex>, класс множеств <tex>\tau</tex> называется '''топологией''', если:
# <tex> X, \emptyset \in \tau</tex>
+
# <tex> X, \varnothing \in \tau</tex>
 
# Любое объединение (возможно, несчетное) <tex>\bigcup\limits_{\alpha} G_{\alpha}</tex> из <tex>\tau</tex> принадлежит <tex>\tau</tex>
 
# Любое объединение (возможно, несчетное) <tex>\bigcup\limits_{\alpha} G_{\alpha}</tex> из <tex>\tau</tex> принадлежит <tex>\tau</tex>
 
# Любое конечное пересечение <tex>\bigcap\limits_{i=1}^{n} G_i</tex> из <tex>\tau</tex> принадлежит <tex>\tau</tex>
 
# Любое конечное пересечение <tex>\bigcap\limits_{i=1}^{n} G_i</tex> из <tex>\tau</tex> принадлежит <tex>\tau</tex>
Строка 79: Строка 81:
 
'''Внутренностью (interior)''' множества <tex>A</tex> называется множество <tex>\mathrm{Int} A = \bigcup\limits_{G \subset A} G</tex>, где <tex> G </tex> — открытые множества.
 
'''Внутренностью (interior)''' множества <tex>A</tex> называется множество <tex>\mathrm{Int} A = \bigcup\limits_{G \subset A} G</tex>, где <tex> G </tex> — открытые множества.
  
'''Замыкание (closure)''' множества <tex>A</tex> называется множество <tex>\mathrm{Cl} A = \bigcap\limits_{A \subset F } F</tex>, где <tex> F </tex> — замкнутые множества.
+
'''Замыканием (closure)''' множества <tex>A</tex> называется множество <tex>\mathrm{Cl} A = \bigcap\limits_{A \subset F } F</tex>, где <tex> F </tex> — замкнутые множества.
  
 
'''Границей (boundary, frontier)''' множества <tex>A</tex> называется множество <tex>\mathrm{Fr} A = \mathrm{Cl} A \setminus \mathrm{Int} A</tex>.
 
'''Границей (boundary, frontier)''' множества <tex>A</tex> называется множество <tex>\mathrm{Fr} A = \mathrm{Cl} A \setminus \mathrm{Int} A</tex>.
Строка 93: Строка 95:
 
|id=defnbh
 
|id=defnbh
 
|definition=
 
|definition=
Множество <tex>U</tex> называет '''окрестностью''' в ТП, если существует открытое <tex>G</tex>: <tex>x \in G \subset U</tex>.
+
Множество <tex>U</tex> называется '''окрестностью''' точки <tex> x </tex> в ТП, если существует открытое <tex>G</tex>: <tex>x \in G \subset U</tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 104: Строка 106:
 
Характеристика непрерывных отображений ТП: <tex>f</tex> непрерывно, если для любого <tex>G' \in \tau_2: f^{-1}(G') \in \tau_1</tex>, то есть прообраз любого открытого множества также открыт.<ref>В конспекте только в прямую сторону, но вообще, вроде, это критерий. Док-во есть в Колмогорове, элементы теории функции и функана, 6 издание, страница 107.</ref>
 
Характеристика непрерывных отображений ТП: <tex>f</tex> непрерывно, если для любого <tex>G' \in \tau_2: f^{-1}(G') \in \tau_1</tex>, то есть прообраз любого открытого множества также открыт.<ref>В конспекте только в прямую сторону, но вообще, вроде, это критерий. Док-во есть в Колмогорове, элементы теории функции и функана, 6 издание, страница 107.</ref>
  
Для любого МП <tex>(X, \rho)</tex> можно ввести '''метрическую топологию''': выделим в семейство открытых множеств <tex>\tau</tex>  множества, являющимися объединениями любого (возможно, несчетного) числа открытых шаров. Покажем, что это семейство удовлетворяет аксиомам ТП:
+
Для любого МП <tex>(X, \rho)</tex> можно ввести '''метрическую топологию''': выделим в <tex> X </tex> семейство открытых множеств <tex>\tau</tex>  множества, являющимися объединениями любого (возможно, несчетного) числа открытых шаров. Покажем, что это семейство удовлетворяет аксиомам ТП:
 
# Очевидно, <tex>X = \bigcup\limits_{x \in X}\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}U_i(x)</tex>.
 
# Очевидно, <tex>X = \bigcup\limits_{x \in X}\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}U_i(x)</tex>.
 
# Очевидно.
 
# Очевидно.
 
# Докажем для пересечения двух множеств, дальше по индукции:
 
# Докажем для пересечения двух множеств, дальше по индукции:
 
#: <tex>G_1 \bigcap G_2 = (\bigcup\limits_{\alpha} V') \bigcap (\bigcup\limits_{\beta} V'') = \bigcup\limits_{\alpha, \beta} (V' \bigcap V'')</tex>. (То, что так можно сделать, доказывается включением в обе стороны)
 
#: <tex>G_1 \bigcap G_2 = (\bigcup\limits_{\alpha} V') \bigcap (\bigcup\limits_{\beta} V'') = \bigcup\limits_{\alpha, \beta} (V' \bigcap V'')</tex>. (То, что так можно сделать, доказывается включением в обе стороны)
#: Рассмотрим <tex>V' \bigcap V''</tex>: <tex>\forall x \in V' \bigcap V'' \exists V(x) \subset V' \bigcap V''</tex> (раньше когда-то доказывали), тогда <tex>V' \bigcap V'' = \bigcup\limits_{x \in V' \cap V''} V(x)</tex>
+
#: Рассмотрим <tex>V' \bigcap V''</tex>: <tex>\forall x \in V' \bigcap V'' \exists V(x) \subset V' \bigcap V''</tex> ([[Метрическое пространство#Открытые шары | раньше когда-то доказывали]]), тогда <tex>V' \bigcap V'' = \bigcup\limits_{x \in V' \cap V''} V(x)</tex>
  
 
В данном случае открытые множества были получены объединением открытых шаров — множеств более узкого класса. Это один из общих приемов превращения произвольного пространства в топологическое, открытые шары здесь — база топологии.
 
В данном случае открытые множества были получены объединением открытых шаров — множеств более узкого класса. Это один из общих приемов превращения произвольного пространства в топологическое, открытые шары здесь — база топологии.
Строка 120: Строка 122:
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
|id=propcl
+
|id=contrho
 
|statement=
 
|statement=
<tex>\mathrm{Cl} A = \{ x \mid \rho(x, A) = 0 \}</tex>, где <tex>\rho(x, A) = \inf\limits_{a \in A} \rho(x, y)</tex>.
+
Функция <tex>f(x) = \rho(x, A)</tex> равномерно непрерывна.
 
|proof=
 
|proof=
Пусть <tex>f(x) = \rho(x, A)</tex>. Сначала убедимся в том, что <tex>f(x)</tex> равномерно непрерывна:
 
 
 
<tex>\forall a \in A, x_1, x_2 \in X: \rho(x_1, a) \le \rho(x_1, x_2) + \rho(x_2, a)</tex>
 
<tex>\forall a \in A, x_1, x_2 \in X: \rho(x_1, a) \le \rho(x_1, x_2) + \rho(x_2, a)</tex>
  
Строка 134: Строка 134:
 
Аналогично, <tex>\rho(x_2, A) < \rho(x_1, x_2) + \rho(x_1, A) + \varepsilon</tex>.
 
Аналогично, <tex>\rho(x_2, A) < \rho(x_1, x_2) + \rho(x_1, A) + \varepsilon</tex>.
  
Отсюда, <tex>|\rho(x_1, A) - \rho(x_2, A)| < \rho(x_1, x_2) + \varepsilon</tex>, устремляя <tex>\varepsilon</tex> к нулю, получаем равномерную непрерывность <tex>f</tex>.
+
Отсюда, <tex>|\rho(x_1, A) - \rho(x_2, A)| < \rho(x_1, x_2) + \varepsilon</tex>, устремляя <tex>\varepsilon</tex> к нулю, получаем равномерную непрерывность <tex>f</tex> по определению.
 +
 
 +
}}
  
 +
{{Утверждение
 +
|id=propcl
 +
|statement=
 +
<tex>\mathrm{Cl} A = \{ x \mid \rho(x, A) = 0 \}</tex>, где <tex>\rho(x, A) = \inf\limits_{a \in A} \rho(x, a)</tex>.
 +
|proof=
 
Обозначим <tex>B = \{ x \mid \rho(x, A) = 0 \}</tex>. Понятно, что если некоторая последовательность <tex>x_n \in B</tex> сходится к <tex>x</tex>, то <tex>\rho(x_n, A) = 0</tex>, и <tex>\rho(x, A) = 0</tex>, то есть, по определению <tex>B</tex>, <tex>x \in B</tex>. Значит, <tex>B = \mathrm{Cl} B</tex>, <tex>B</tex> замкнуто.
 
Обозначим <tex>B = \{ x \mid \rho(x, A) = 0 \}</tex>. Понятно, что если некоторая последовательность <tex>x_n \in B</tex> сходится к <tex>x</tex>, то <tex>\rho(x_n, A) = 0</tex>, и <tex>\rho(x, A) = 0</tex>, то есть, по определению <tex>B</tex>, <tex>x \in B</tex>. Значит, <tex>B = \mathrm{Cl} B</tex>, <tex>B</tex> замкнуто.
  
Если <tex>a \in A</tex>, то <tex>\rho(a, A) = 0</tex> и <tex>a \in B</tex>. Значит, <tex>\mathrm{Cl} A \subset B</tex>.
+
Если <tex>a \in A</tex>, то <tex>\rho(a, A) = 0</tex> и <tex>a \in B</tex>. Значит, <tex>A \subset B</tex>, а раз <tex>B</tex> замкнуто, то <tex>\mathrm{Cl} A \subset B</tex>.
  
Теперь покажем, что для произвольного замкнутого <tex>F, A \subset F</tex>, выполняется <tex>B \subset F</tex>.
+
Теперь покажем, что <tex>B \subset \mathrm{Cl} A </tex>, то есть <tex>B \subset \bigcap\limits_{A \subset F } F </tex>, или что для любого <tex>F: A \subset F</tex>, выполняется <tex>B \subset F</tex>.
  
Допустим, это неверно, и <tex>\exists b \in B: b \notin F</tex>, тогда <tex>x \in X \setminus F = G = \bigcup\limits_{\alpha} V_{r_\alpha}(x_\alpha)</tex>.
+
Допустим, это неверно, и <tex>\exists b \in B: b \notin F</tex>, тогда <tex>b \in X \setminus F = G = \bigcup\limits_{\alpha} V_{r_\alpha}(x_\alpha)</tex>.
  
Значит, <tex> x \in V_r(b) \subset X \setminus F</tex>.
+
Значит, <tex> b \in V_r(b) \subset X \setminus F</tex>.
  
 
<tex>b \in B, \rho(b, A) = 0</tex>, следовательно, есть последовательность <tex>a_n \in A: \rho(b, a_n) \to 0</tex>.
 
<tex>b \in B, \rho(b, A) = 0</tex>, следовательно, есть последовательность <tex>a_n \in A: \rho(b, a_n) \to 0</tex>.
  
Начиная с некоторого <tex>N</tex>, <tex>\rho(b, a_n) < r</tex>, и <tex>a_n \in V_r(b)</tex>, <tex>A \cap V_r(b)</tex> непусто.
+
Для всех <tex>n</tex>, больших некоторого <tex>N</tex>, <tex>\rho(b, a_n) < r</tex>, и <tex>a_n \in V_r(b)</tex>, <tex>A \cap V_r(b)</tex> непусто.
  
Но <tex>A \subset F \Rightarrow A \cap G = \varnothing</tex> {{---}} противоречие, <tex>B \subset F</tex>.
+
Но <tex>A \subset F \implies A \cap G = \varnothing </tex> {{---}} противоречие, <tex>B \subset F</tex>.
 
}}
 
}}
Замечание: заметим, что в общем случае в топологических пространствах замыкания не определяются через предел последовательности, в этом смысле метрические пространства удобны.
+
Замечание: в общем случае в топологических пространствах замыкания не определяются через предел последовательности, в этом смысле метрические пространства удобны.
  
 
Метрические пространства удовлетворяют [http://en.wikipedia.org/wiki/Separation_axiom#Main_definitions аксиоме нормальности]:
 
Метрические пространства удовлетворяют [http://en.wikipedia.org/wiki/Separation_axiom#Main_definitions аксиоме нормальности]:
Строка 165: Строка 172:
 
(скопировано из первого курса, в Колмогорове на странице 112 есть доказательство поприятнее и поинтуитивнее)
 
(скопировано из первого курса, в Колмогорове на странице 112 есть доказательство поприятнее и поинтуитивнее)
  
<tex> f(x) = \frac {\rho(x, F_1)} {\rho(x, F_1) + \rho(x, F_2)} </tex>. Т.к. <tex> F_1 \cap F_2 = \varnothing </tex> и <tex> F_1, F_2 </tex> - замкнуты, то знаменатель не равен 0. Следовательно, <tex> f(x) </tex> корректна и непрерывна в силу непрерывности <tex> \rho </tex>. При этом: <tex> x \in F_1 \Rightarrow f(x) = 0; x \in F_2: f(x) = 1 </tex>. Рассмотрим на R пару интервалов: <tex> (- \infty; \frac 1 3) </tex> и <tex> (\frac 1 2, + \infty) </tex>. Т.к. <tex> f(x) </tex> неперывна, то прообраз открытого множества - открытое множество (это другое определение непрерывного отображения, оно почти эквивалентно тому, которое было дано ранее).
+
<tex> f(x) = \frac {\rho(x, F_1)} {\rho(x, F_1) + \rho(x, F_2)} </tex>. Т.к. <tex> F_1 \cap F_2 = \varnothing </tex> и <tex> F_1, F_2 </tex> - замкнуты, то знаменатель не равен 0. Следовательно, <tex> f(x) </tex> корректна и непрерывна в силу непрерывности <tex> \rho </tex>. При этом: <tex> x \in F_1 \implies f(x) = 0; x \in F_2: f(x) = 1 </tex>. Рассмотрим на R пару интервалов: <tex> (- \infty; \frac 1 3) </tex> и <tex> (\frac 1 2, + \infty) </tex>. Т.к. <tex> f(x) </tex> неперывна, то прообраз открытого множества - открытое множество (это другое определение непрерывного отображения, оно почти эквивалентно тому, которое было дано ранее).
 
: <tex> G_1 = f^{-1} ( - \infty; \frac 1 3); G_2 = f^{-1}(\frac 1 2, + \infty) </tex>
 
: <tex> G_1 = f^{-1} ( - \infty; \frac 1 3); G_2 = f^{-1}(\frac 1 2, + \infty) </tex>
 
: <tex> F_1 \in G_1; F_2 \in G_2; G_1 \cap G_2 = \varnothing </tex>, ч.т.д.
 
: <tex> F_1 \in G_1; F_2 \in G_2; G_1 \cap G_2 = \varnothing </tex>, ч.т.д.
Строка 182: Строка 189:
 
принцип вложенных шаров
 
принцип вложенных шаров
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex>(X, \rho)</tex> — полное. <tex>\overline V_n</tex> — замкнутые шары. <tex>\overline V_{n + 1} \subset \overline V_n</tex>, <tex>r_n \to 0</tex>. Тогда <tex>\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \overline V_n \ne \emptyset</tex>, и состоит из одной точки.
+
Пусть <tex>(X, \rho)</tex> — полное. <tex>\overline V_n</tex> — замкнутые шары. <tex>\overline V_{n + 1} \subset \overline V_n</tex>, <tex>r_n \to 0</tex>. Тогда <tex>\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \overline V_n \ne \varnothing</tex>, и состоит из одной точки.
 
|proof=
 
|proof=
 
Пусть <tex>a_n</tex> — центр соответствующего шара, тогда из вложенности <tex>\forall m > n: \rho(a_n, a_m) < r_n</tex>, то есть последовательность центров сходится в себе, так как <tex>r_n \to 0</tex>, тогда по полноте пространства последовательность центров сходится к <tex>a \in X</tex>.
 
Пусть <tex>a_n</tex> — центр соответствующего шара, тогда из вложенности <tex>\forall m > n: \rho(a_n, a_m) < r_n</tex>, то есть последовательность центров сходится в себе, так как <tex>r_n \to 0</tex>, тогда по полноте пространства последовательность центров сходится к <tex>a \in X</tex>.
Строка 200: Строка 207:
 
Если в пространстве существует счетное всюду плотное множество, такое пространство называют '''сепарабельным'''.
 
Если в пространстве существует счетное всюду плотное множество, такое пространство называют '''сепарабельным'''.
  
<tex>A</tex> '''нигде не плотно''' в <tex>(X, \rho)</tex>, если <tex>\mathrm{Int} \mathrm{Cl} A = \emptyset</tex>. В смысле метрических пространств это значит, что в любом шаре есть шар, не содержащий точек <tex>A</tex>.
+
<tex>A</tex> '''нигде не плотно''' в <tex>(X, \rho)</tex>, если <tex>\mathrm{Int} \mathrm{Cl} A = \varnothing</tex>.
 
: Например, <tex>\mathbb{Z}</tex> нигде не плотно в <tex>\mathbb{R}</tex>.
 
: Например, <tex>\mathbb{Z}</tex> нигде не плотно в <tex>\mathbb{R}</tex>.
 
}}
 
}}
  
 +
{{Утверждение
 +
|statement=
 +
Пусть <tex> A </tex> нигде не плотно в <tex> (X, \rho) </tex>. Тогда в любом шаре есть шар, не содержащий точек <tex>A</tex>.
 +
|proof=
 +
Пусть <tex> B = \mathrm{Cl} A </tex>, так как <tex> A </tex> нигде не плотно в <tex> X </tex>, то <tex> \mathrm{Int} B = \varnothing </tex>.
 +
 +
Это значит, что <tex>\bigcup\limits_{G \subset B} G = \varnothing </tex>, то есть, любое непустое открытое <tex> G </tex> не является подмножеством <tex> B </tex>.
 +
 +
Рассмотрим произвольный открытый шар <tex> V </tex>, <tex> V = (V \cap B) \cup (V \cap \overline B) </tex>. Из наших рассуждений следует, что <tex> V \cap \overline B </tex> непусто.
 +
 +
Но <tex> \overline B </tex> {{---}} открытое множество, <tex> \overline B = \bigcup\limits_{\alpha} V_{r_\alpha}(a_\alpha) </tex>, <tex> \exists V_1: V \cap V_1 \ne \varnothing </tex>.
 +
 +
Тогда можно просто выбрать <tex> V_r(a) \subset V \cap V_1 </tex>, он и будет искомым шаром без точек <tex> A </tex>.
 +
}}
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|id=defbaire
 
|id=defbaire
 
|definition=
 
|definition=
Подмножество <tex>A</tex> топологического пространства <tex>X</tex> имеет '''I категорию по Бэру в пространстве <tex>X</tex>''' если оно является не более чем счетным объединением нигде не плотных в <tex>X</tex> множеств. В противном случае оно имеет '''II категорию по Бэру'''.
+
Подмножество <tex>A</tex> топологического пространства <tex>X</tex> имеет '''I категорию по Бэру в пространстве <tex>X</tex>''', если оно является не более чем счетным объединением нигде не плотных в <tex>X</tex> множеств. В противном случае оно имеет '''II категорию по Бэру'''.
 
}}
 
}}
  
Строка 217: Строка 238:
 
Полное МП является множеством II категории в себе.
 
Полное МП является множеством II категории в себе.
 
|proof=
 
|proof=
Пусть <tex>X</tex> — полное и является множеством I категории, то есть представимо как <tex>\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} M_n</tex>, где <tex>M_n</tex> — нигде не плотно в <tex>X</tex>. Возьмем замкнутый шар <tex>\overline V_0</tex>, например, радиуса 1. Так как <tex>M_1</tex> нигде не плотно в <tex>X</tex>, оно также нигде не плотно в <tex>\overline V_0</tex>, а, значит, существует замкнутый шар <tex>\overline V_1</tex> радиуса меньше <tex>1 \over 2</tex>, содержащийся в <tex>\overline V_0</tex> и не пересекающийся с <tex>M_1</tex> (<tex>M_1 \cap \overline V_1 = \emptyset</tex>). Аналогично, <tex>M_2</tex> нигде не плотно в <tex>\overline V_1</tex>, и так далее действуя таким образом, построим систему вложенных замкнутых шаров (<tex>\overline V_{n+1} \subset \overline V_n</tex>) со стремящимся к нулю радиусом. В силу теоремы о вложенных шарах пересечение этих шаров должно содержать какую-то точку <tex>x</tex>, но эта точка не может лежать ни в одном из множеств <tex>M_n</tex> по построению, то есть, получили противоречие, и <tex>X</tex> не является множеством первой категории.
+
Пусть <tex>X</tex> — полное и является множеством I категории, то есть представимо как <tex>\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} M_n</tex>, где <tex>M_n</tex> — нигде не плотно в <tex>X</tex>. Возьмем замкнутый шар <tex>\overline V_0</tex>, например, радиуса 1. Так как <tex>M_1</tex> нигде не плотно в <tex>X</tex>, оно также нигде не плотно в <tex>\overline V_0</tex>, а, значит, существует замкнутый шар <tex>\overline V_1</tex> радиуса меньше <tex>1 \over 2</tex>, содержащийся в <tex>\overline V_0</tex> и не пересекающийся с <tex>M_1</tex> (<tex>M_1 \cap \overline V_1 = \varnothing</tex>). Аналогично, <tex>M_2</tex> нигде не плотно в <tex>\overline V_1</tex>, и так далее действуя таким образом, построим систему вложенных замкнутых шаров (<tex>\overline V_{n+1} \subset \overline V_n</tex>) со стремящимся к нулю радиусом. В силу теоремы о вложенных шарах пересечение этих шаров должно содержать какую-то точку <tex>x</tex>, но эта точка не может лежать ни в одном из множеств <tex>M_n</tex> по построению, то есть, получили противоречие, и <tex>X</tex> не является множеством первой категории.
 
}}
 
}}
  
Строка 225: Строка 246:
 
Полное МП без изолированных точек несчетно.
 
Полное МП без изолированных точек несчетно.
 
|proof=
 
|proof=
Пусть <tex>(X, \rho)</tex> — МП без изолированных точек (то есть в любой окрестности любой точки найдутся точки, отличные от нее). Пусть <tex>X</tex> — счетно, то есть можно занумеровать его элементы как <tex>\{ x_1 \dots x_n \dots \}</tex> и представить <tex>X</tex> как <tex>\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \{ x_n \}</tex>. Но одноточечные множества нигде не плотны в <tex>X</tex>, тогда оно является множеством I категории, что противоречит теореме Бэра. Следовательно, <tex>X</tex> должно быть несчетно.
+
Пусть <tex>(X, \rho)</tex> — МП без изолированных точек (то есть в любой окрестности любой точки найдутся точки, отличные от нее). Пусть <tex>X</tex> — счетно, то есть, можно занумеровать его элементы как <tex>\{ x_1 \dots x_n \dots \}</tex> и представить <tex>X</tex> как <tex>\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \{ x_n \}</tex>. Но одноточечные множества нигде не плотны в <tex>X</tex>: рассмотрим шар <tex> V_r(p) </tex>, если <tex> p = x_n </tex>, то внутри шара есть шар с центром не в <tex> x_n </tex> меньшего радиуса, так как <tex> x_n </tex> не является изолированной точкой; для остальных шаров можно взять шар радиуса, меньшего, чем <tex> \rho(x, p) </tex> с центром также в <tex> p </tex>. Тогда <tex> X </tex> является множеством I категории, что противоречит теореме Бэра. Следовательно, <tex>X</tex> должно быть несчетно.
 
}}
 
}}
  
Строка 233: Строка 254:
 
|id=defmscompact
 
|id=defmscompact
 
|definition=
 
|definition=
Замкнутое <tex>K \subset X</tex> называют '''компактом''', если из любой последовательности точек в <tex>K</tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
+
Замкнутое <tex>K \subset X</tex> называют '''компактом''', если из любой последовательности точек в <tex>K</tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность, предел которой также принадлежит <tex> K </tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 239: Строка 260:
 
|id=defmstb
 
|id=defmstb
 
|definition=
 
|definition=
<tex>A \subset X</tex> называют '''вполне ограниченным''', если для него при любом <tex>\varepsilon</tex> существует конечная <tex>\varepsilon</tex>-сеть, то есть <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists x_1, x_2 \dots x_n: A \subset \bigcup\limits_{i=1}^n V_{\varepsilon}(x_i)</tex>.
+
<tex>A \subset X</tex> называют '''вполне ограниченным''', если для него при любом <tex>\varepsilon</tex> существует конечная <tex>\varepsilon</tex>-сеть, то есть <tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists x_1, x_2 \dots x_n: A \subset \bigcup\limits_{i=1}^n V_{\varepsilon}(x_i)</tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 248: Строка 269:
 
В полном метрическом пространстве множество является компактом тогда и только тогда, когда оно замкнуто и вполне ограничено.
 
В полном метрическом пространстве множество является компактом тогда и только тогда, когда оно замкнуто и вполне ограничено.
 
|proof=
 
|proof=
[[Теорема_Хаусдорфа_об_ε-сетях]]
+
[[Теорема Хаусдорфа об ε-сетях]]
 
}}
 
}}
  
Строка 255: Строка 276:
 
Пример: <tex>R^{\infty}</tex> — полное.
 
Пример: <tex>R^{\infty}</tex> — полное.
 
|proof=
 
|proof=
{{TODO|t=Это было упражнение. Solved by --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 07:22, 7 января 2013 (GST)}}
 
 
 
Нужно установить равносильность сходимости <tex> \overline x^{(n)} \in R^{\infty} </tex> и ее сходимости в себе.
 
Нужно установить равносильность сходимости <tex> \overline x^{(n)} \in R^{\infty} </tex> и ее сходимости в себе.
  
<tex> \Rightarrow </tex>:
+
<tex> \implies </tex>:
  
 
Пусть <tex> \lim\limits_{n \to \infty} x^{(n)} = x </tex>.
 
Пусть <tex> \lim\limits_{n \to \infty} x^{(n)} = x </tex>.
Строка 265: Строка 284:
 
Так как <tex> \rho(x^{(n)}, x^{(m)}) \le \rho(x^{(n)}, x) + \rho(x^{(m)}, x) </tex>, и при <tex> n, m \to \infty </tex> каждое из слагаемых в правой части стремится к <tex> 0 </tex>, то <tex> x^{(n)} </tex> сходится в себе по определению.
 
Так как <tex> \rho(x^{(n)}, x^{(m)}) \le \rho(x^{(n)}, x) + \rho(x^{(m)}, x) </tex>, и при <tex> n, m \to \infty </tex> каждое из слагаемых в правой части стремится к <tex> 0 </tex>, то <tex> x^{(n)} </tex> сходится в себе по определению.
  
<tex> \Leftarrow </tex>:
+
<tex> \Longleftarrow </tex>:
  
 
Пусть <tex> x^{(n)} </tex> сходится в себе. Так же, как в предыдущих доказательствах, обозначим <tex>f(t) = \frac{t}{1+t}</tex>. Так как <tex>\forall k:\ f(|x^{(n)}_k - x^{(m)}_k|) \le 2^k \rho(x^{(n)}, x^{(m)}) \to 0 </tex>, а <tex>|x^{(n)}_k - x^{(m)}_k| = \frac{1}{1 - f(|x^{(n)}_k - x^{(m)}_k|)} - 1</tex>, то <tex> x^{(n)} </tex> сходится в себе также и покоординатно.
 
Пусть <tex> x^{(n)} </tex> сходится в себе. Так же, как в предыдущих доказательствах, обозначим <tex>f(t) = \frac{t}{1+t}</tex>. Так как <tex>\forall k:\ f(|x^{(n)}_k - x^{(m)}_k|) \le 2^k \rho(x^{(n)}, x^{(m)}) \to 0 </tex>, а <tex>|x^{(n)}_k - x^{(m)}_k| = \frac{1}{1 - f(|x^{(n)}_k - x^{(m)}_k|)} - 1</tex>, то <tex> x^{(n)} </tex> сходится в себе также и покоординатно.
Строка 280: Строка 299:
 
<tex>\Pi = [a_1, b_1] \times \dots \times [a_n, b_n] \dots</tex> — компакт в <tex>R^{\infty}</tex>.
 
<tex>\Pi = [a_1, b_1] \times \dots \times [a_n, b_n] \dots</tex> — компакт в <tex>R^{\infty}</tex>.
 
|proof=
 
|proof=
<tex>\rho(\overline x, \overline y) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} {|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|}</tex>, где <tex>{|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|} \le 1</tex>, также <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists n_0: \sum\limits_{n = n_0 + 1}^{\infty} {1 \over 2^n} < \varepsilon</tex>. Таким образом, для каждого <tex>\varepsilon</tex> можно выбрать номер координаты <tex>n_0</tex>, такой что все координаты с большими <tex>n_0</tex> номерами суммарно влияют на метрику не больше, чем на <tex>\varepsilon</tex>.
+
<tex>\rho(\overline x, \overline y) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} {|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|}</tex>, где <tex>{|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|} \le 1</tex>, также <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists n_0: \sum\limits_{n = n_0 + 1}^{\infty} {1 \over 2^n} < \varepsilon</tex>. Таким образом, для каждого <tex>\varepsilon</tex> можно выбрать номер координаты <tex>n_0</tex>, такой, что все координаты с большими <tex>n_0</tex> номерами суммарно влияют на метрику не больше, чем на <tex>\varepsilon</tex>.
  
Расмотрим <tex>\Pi_{n_0} = [a_1, b_1] \times \dots \times [a_n, b_n] \subset R^{n_0}</tex> — для него можно составить конечную <tex>\varepsilon</tex>-сеть <tex>A</tex> (понятно что по каждой координате это сделать легко, а дальше возьмем декартово произведение). Сделаем сеть <tex>A'</tex> для <tex>\Pi</tex> следующим образом: к каждой <tex>n_0</tex>-мерной точке из <tex>A</tex> допишем произвольные координаты <tex>x_{n_0 + 1}, x_{n_0 + 2} \dots</tex>.
+
Расмотрим <tex>\Pi_{n_0} = [a_1, b_1] \times \dots \times [a_{n_0}, b_{n_0}] \subset R^{n_0}</tex> — для него можно составить конечную <tex>\varepsilon</tex>-сеть <tex>A</tex> (понятно, что по каждой координате это сделать легко, а дальше возьмем декартово произведение). Сделаем сеть <tex>A'</tex> для <tex>\Pi</tex> следующим образом: к каждой <tex>n_0</tex>-мерной точке из <tex>A</tex> допишем произвольные координаты <tex>x_{n_0 + 1}, x_{n_0 + 2} \dots</tex>.
 
* По выбору <tex>\varepsilon</tex>: <tex>\forall x' \in \Pi\ \exists x \in \Pi_{n_0}: \rho (x', x) < \varepsilon</tex>.
 
* По выбору <tex>\varepsilon</tex>: <tex>\forall x' \in \Pi\ \exists x \in \Pi_{n_0}: \rho (x', x) < \varepsilon</tex>.
 
* По определению <tex>\varepsilon</tex>-сети для <tex>A</tex>: <tex>\forall \varepsilon > 0\ \forall x \in \Pi_{n_0} \exists a \in A: \rho(x, a) < \varepsilon</tex>.
 
* По определению <tex>\varepsilon</tex>-сети для <tex>A</tex>: <tex>\forall \varepsilon > 0\ \forall x \in \Pi_{n_0} \exists a \in A: \rho(x, a) < \varepsilon</tex>.

Текущая версия на 19:26, 4 сентября 2022

Определение:
Для некоторого множества [math]X[/math], отображение [math] \rho : X \times X \to \mathbb{R^+} [/math] — называется метрикой на [math]X[/math], если выполняются аксиомы
  1. [math] \rho (x, y) \ge 0 ;\ \rho (x, y) = 0 \iff x = y [/math]
  2. [math] \rho (x, y) = \rho (y, x) [/math]
  3. [math] \rho (x, y) \le \rho (x, z) + \rho (z, y) [/math] — неравенство треугольника
Пару [math](X, \rho)[/math] называют метрическим пространством.


Определение:
Последовательность [math]x_n[/math] сходится к [math]x[/math] в МП [math](X, \rho)[/math] (записывают [math] x = \lim\limits_{n \to \infty} x_n[/math]), если [math] \rho(x_n, x) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0[/math]


Некоторые примеры метрических пространств:

  • [math]X = \mathbb{R}, \rho(x, y) = | x - y |[/math]
  • [math]X = \mathbb{R}^n, \rho(\overline x, \overline y) = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}[/math]
  • [math]X = \mathbb{R}^{\infty}[/math]. Превращение в МП должно быть связано с желаемой операцией предельного перехода. В случае конечномерного пространства сходимость совпадает с покоординатной сходимостью, хотим того же самого для бесконечномерного. Введем метрику: [math]\rho(\overline x, \overline y) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} {1 \over 2^n}{|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|}[/math] (стандартный способ превратить в метрическое пространство счетное произведение метрических пространств, коим и является [math]R^{\infty}[/math]). Проверим, что эта метрика удовлетворяет аксиомам:
    • этот ряд всегда сходящийся, так как мажорируется убывающей геометрической прогрессией [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} = 1[/math], соответственно, расстояние ограничено единицей.
    • первая аксиома: неотрицательность очевидна, равенство метрики нулю в обе стороны очевидно
    • вторая аксиома: еще очевиднее
    • третья аксиома легко вытекает из следующего утверждения:
Утверждение:
[math] {|x - z| \over 1 + |x - z|} \le {|x - y| \over 1 + |x - y|} + {|y - z| \over 1 + |y - z|}[/math]
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим [math]f(t) = {t \over 1 + t}[/math].

  • [math] f(t) [/math] возрастает при [math] t \in [0, \infty) [/math], поэтому, если [math] 0 \le t_1 \lt t_2 [/math], [math] f(t_1) \lt f(t_2) [/math]
  • [math] \frac{f(t)}{t} = \frac{1}{1 + t}[/math] убывает при [math]t \in [0, \infty)[/math]

Покажем, что для [math]f[/math] выполняется [math]f(t_1 + t_2) \le f(t_1) + f(t_2)[/math].

[math]f(t_1) + f(t_2) = t_1 \frac{1}{1 + t_1} + t_2 \frac{1}{1 + t_2} \ge[/math](по убыванию [math]\frac{1}{1 + t}[/math])[math]\ge t_1 \frac{1}{1 + t_1 + t_2} + t_2 \frac{1}{1 + t_1 + t_2} = \frac{t_1 + t_2}{1 + t_1 + t_2} = f(t_1 + t_2)[/math].

Так как [math] |x - z| \le |x - y| + |y - z| [/math] по свойствам [math] | \cdot | [/math] и [math]f[/math] возрастает, то [math] f(|x - z|) \le f(|x - y| + |y - z|)[/math]. Так как знаем, что [math]f(t_1 + t_2) \le f(t_1) + f(t_2)[/math], получаем [math]f(|x - y| + |y - z|) \le f(|x - y|) + f(|y - z|) [/math], то есть получили [math]f(|x - z|) \le f(|x - y|) + f(|y - z|)[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
Сходимость в метрике [math] \mathbb{R}^{\infty} [/math] эквивалентна покоординатной.
[math]\triangleright[/math]

Рассматриваем [math] f(t) = \frac{t}{1+t} [/math], как и в прошлом утверждении. Пусть [math] x^{(n)} = (x^{(n)}_1, \dots, x^{(n)}_k, \dots), x = (x_1, \dots, x_k, \dots) [/math]. Покажем, что [math] x^{(n)} \to x \iff \forall k: x^{(n)}_k \to x_k [/math].

В прямую сторону: [math] f(|x^{(n)}_k - x_k|) \le 2^k \rho(x^{(n)}, x) [/math]. Пусть [math] \rho(x^{(n)}, x) \lt {\varepsilon \over 2^k} [/math]. Тогда [math] f(|x^{(n)}_k - x_k|) \le \varepsilon [/math]. Так как [math] t = {1 \over 1 - f(t)} - 1 [/math], то [math] t \to 0 [/math], когда [math] f(t) \to 0 [/math], а значит, покоординатная сходимость выполняется.

В обратную сторону: подберем такое [math] k_0 [/math], чтобы [math] {\sum\limits_{k = k_0 + 1}^{\infty} {1 \over 2^k}} \lt \varepsilon [/math]. Возьмем [math] n_0 [/math] таким, чтобы [math] \forall k \le k_0, n \gt n_0: |x^{(n)}_k - x_k| \lt \varepsilon [/math]. Тогда [math] \rho(x^{(n)}, x) \lt \sum\limits_{k = 1}^{k_0} {\varepsilon \over 2^k} + \varepsilon \lt 2 \varepsilon [/math]. Устремляя [math] \varepsilon [/math] к нулю, получаем необходимое.
[math]\triangleleft[/math]
  • В любом пространстве [math]X[/math] можно ввести дискретную метрику: [math]\rho(x, y) = \begin{cases} 0; & x = y \\ 1; & x \ne y \end{cases}[/math]. Заметим, что в дискретной метрике сходятся только стационарные последовательности.
  • [math]X = \mathbb{R}^{\mathbb{I}}[/math], то есть множество всех функций из [math]\mathbb{I} = [0; 1][/math] в [math]\mathbb{R}[/math]. Это пространство не метризуется, то есть не существует метрики, в которой сходимость эквивалентна поточечной [1].

Центральную роль в изучении МП играют шары:

Определение:
Открытым шаром в МП [math](X, \rho)[/math] с радиусом [math]r[/math] и центром в [math]a[/math] называют множество [math]V_r(a) = \{ x \mid \rho(x, a) \lt r \} [/math]. В определении замкнутого шара знак [math]\lt [/math] заменяется на [math]\le[/math].


На базе этих множеств можно МП превратить в ТП.


Определение:
Для некоторого множества [math]X[/math], класс множеств [math]\tau[/math] называется топологией, если:
  1. [math] X, \varnothing \in \tau[/math]
  2. Любое объединение (возможно, несчетное) [math]\bigcup\limits_{\alpha} G_{\alpha}[/math] из [math]\tau[/math] принадлежит [math]\tau[/math]
  3. Любое конечное пересечение [math]\bigcap\limits_{i=1}^{n} G_i[/math] из [math]\tau[/math] принадлежит [math]\tau[/math]
Пару [math](X, \tau)[/math] называют топологическим пространством. Множества, принадлежащие [math]\tau[/math], называются открытыми. Замкнутыми называются множества-дополнения к множествам из [math]\tau[/math].


Определение:
Рассмотрим множество [math]A \subset X[/math].

Внутренностью (interior) множества [math]A[/math] называется множество [math]\mathrm{Int} A = \bigcup\limits_{G \subset A} G[/math], где [math] G [/math] — открытые множества.

Замыканием (closure) множества [math]A[/math] называется множество [math]\mathrm{Cl} A = \bigcap\limits_{A \subset F } F[/math], где [math] F [/math] — замкнутые множества.

Границей (boundary, frontier) множества [math]A[/math] называется множество [math]\mathrm{Fr} A = \mathrm{Cl} A \setminus \mathrm{Int} A[/math].


Определение:
Точка [math]x[/math] называется пределом последовательности [math]x_n[/math] в топологическом пространстве [math](X, \tau)[/math], если [math]\forall G \ni x\ \exists N\ \forall n \gt N: x_n \in G[/math], то есть любое открытое множество, содержащее предел, также содержит все точки последовательности кроме конечного числа.


Определение:
Множество [math]U[/math] называется окрестностью точки [math] x [/math] в ТП, если существует открытое [math]G[/math]: [math]x \in G \subset U[/math].


Определение:
Отображение [math]f: (X, \tau_1) \to (Y, \tau_2)[/math] называют непрерывным в точке [math]x \in X[/math], если для любой окрестности [math]U_{f(x)}[/math] существует окрестность [math]U_x[/math]: [math]f(U_x) \subset U_{f(x)}[/math].


Характеристика непрерывных отображений ТП: [math]f[/math] непрерывно, если для любого [math]G' \in \tau_2: f^{-1}(G') \in \tau_1[/math], то есть прообраз любого открытого множества также открыт.[2]

Для любого МП [math](X, \rho)[/math] можно ввести метрическую топологию: выделим в [math] X [/math] семейство открытых множеств [math]\tau[/math] множества, являющимися объединениями любого (возможно, несчетного) числа открытых шаров. Покажем, что это семейство удовлетворяет аксиомам ТП:

  1. Очевидно, [math]X = \bigcup\limits_{x \in X}\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}U_i(x)[/math].
  2. Очевидно.
  3. Докажем для пересечения двух множеств, дальше по индукции:
    [math]G_1 \bigcap G_2 = (\bigcup\limits_{\alpha} V') \bigcap (\bigcup\limits_{\beta} V'') = \bigcup\limits_{\alpha, \beta} (V' \bigcap V'')[/math]. (То, что так можно сделать, доказывается включением в обе стороны)
    Рассмотрим [math]V' \bigcap V''[/math]: [math]\forall x \in V' \bigcap V'' \exists V(x) \subset V' \bigcap V''[/math] ( раньше когда-то доказывали), тогда [math]V' \bigcap V'' = \bigcup\limits_{x \in V' \cap V''} V(x)[/math]

В данном случае открытые множества были получены объединением открытых шаров — множеств более узкого класса. Это один из общих приемов превращения произвольного пространства в топологическое, открытые шары здесь — база топологии.


Определение:
Базой топологии называют некоторый набор открытых множеств [math]\sigma[/math], такой, что [math] \forall G \in \tau:\ G = \bigcup\limits_{V \in \sigma} V [/math], то есть, любое непустое открытое множество можно представить в виде объединения множеств из [math]\sigma[/math].


Утверждение:
Функция [math]f(x) = \rho(x, A)[/math] равномерно непрерывна.
[math]\triangleright[/math]

[math]\forall a \in A, x_1, x_2 \in X: \rho(x_1, a) \le \rho(x_1, x_2) + \rho(x_2, a)[/math]

[math]\rho(x_1, A) \le \rho(x_1, a), \forall \varepsilon \gt 0\ \exists a_\varepsilon \in A: \rho(x_2, a_\varepsilon) \lt \rho(x_2, A) + \varepsilon[/math]

Значит, [math]\rho(x_1, A) \lt \rho(x_1, x_2) + \rho(x_2, A) + \varepsilon[/math].

Аналогично, [math]\rho(x_2, A) \lt \rho(x_1, x_2) + \rho(x_1, A) + \varepsilon[/math].

Отсюда, [math]|\rho(x_1, A) - \rho(x_2, A)| \lt \rho(x_1, x_2) + \varepsilon[/math], устремляя [math]\varepsilon[/math] к нулю, получаем равномерную непрерывность [math]f[/math] по определению.
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
[math]\mathrm{Cl} A = \{ x \mid \rho(x, A) = 0 \}[/math], где [math]\rho(x, A) = \inf\limits_{a \in A} \rho(x, a)[/math].
[math]\triangleright[/math]

Обозначим [math]B = \{ x \mid \rho(x, A) = 0 \}[/math]. Понятно, что если некоторая последовательность [math]x_n \in B[/math] сходится к [math]x[/math], то [math]\rho(x_n, A) = 0[/math], и [math]\rho(x, A) = 0[/math], то есть, по определению [math]B[/math], [math]x \in B[/math]. Значит, [math]B = \mathrm{Cl} B[/math], [math]B[/math] замкнуто.

Если [math]a \in A[/math], то [math]\rho(a, A) = 0[/math] и [math]a \in B[/math]. Значит, [math]A \subset B[/math], а раз [math]B[/math] замкнуто, то [math]\mathrm{Cl} A \subset B[/math].

Теперь покажем, что [math]B \subset \mathrm{Cl} A [/math], то есть [math]B \subset \bigcap\limits_{A \subset F } F [/math], или что для любого [math]F: A \subset F[/math], выполняется [math]B \subset F[/math].

Допустим, это неверно, и [math]\exists b \in B: b \notin F[/math], тогда [math]b \in X \setminus F = G = \bigcup\limits_{\alpha} V_{r_\alpha}(x_\alpha)[/math].

Значит, [math] b \in V_r(b) \subset X \setminus F[/math].

[math]b \in B, \rho(b, A) = 0[/math], следовательно, есть последовательность [math]a_n \in A: \rho(b, a_n) \to 0[/math].

Для всех [math]n[/math], больших некоторого [math]N[/math], [math]\rho(b, a_n) \lt r[/math], и [math]a_n \in V_r(b)[/math], [math]A \cap V_r(b)[/math] непусто.

Но [math]A \subset F \implies A \cap G = \varnothing [/math] — противоречие, [math]B \subset F[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Замечание: в общем случае в топологических пространствах замыкания не определяются через предел последовательности, в этом смысле метрические пространства удобны.

Метрические пространства удовлетворяют аксиоме нормальности:

Утверждение (нормальность МП):
Любое МП - нормальное, то есть любые два непересекающихся замкнутых подмножества имеют непересекающиеся окрестности.
[math]\triangleright[/math]

(скопировано из первого курса, в Колмогорове на странице 112 есть доказательство поприятнее и поинтуитивнее)

[math] f(x) = \frac {\rho(x, F_1)} {\rho(x, F_1) + \rho(x, F_2)} [/math]. Т.к. [math] F_1 \cap F_2 = \varnothing [/math] и [math] F_1, F_2 [/math] - замкнуты, то знаменатель не равен 0. Следовательно, [math] f(x) [/math] корректна и непрерывна в силу непрерывности [math] \rho [/math]. При этом: [math] x \in F_1 \implies f(x) = 0; x \in F_2: f(x) = 1 [/math]. Рассмотрим на R пару интервалов: [math] (- \infty; \frac 1 3) [/math] и [math] (\frac 1 2, + \infty) [/math]. Т.к. [math] f(x) [/math] неперывна, то прообраз открытого множества - открытое множество (это другое определение непрерывного отображения, оно почти эквивалентно тому, которое было дано ранее).

[math] G_1 = f^{-1} ( - \infty; \frac 1 3); G_2 = f^{-1}(\frac 1 2, + \infty) [/math]
[math] F_1 \in G_1; F_2 \in G_2; G_1 \cap G_2 = \varnothing [/math], ч.т.д.
[math]\triangleleft[/math]

Следствие: так как одноточечные подмножества в МП являются замкнутыми, МП удовлетворяют аксиоме отделимости Хаусдорфа: любые две различные точки можно отделить открытыми шарами.


Определение:
МП [math](X, \rho)[/math] называется полным, если в нем любая сходящаяся в себе последовательность сходится к элементу [math]X[/math].


Утверждение (принцип вложенных шаров):
Пусть [math](X, \rho)[/math] — полное. [math]\overline V_n[/math] — замкнутые шары. [math]\overline V_{n + 1} \subset \overline V_n[/math], [math]r_n \to 0[/math]. Тогда [math]\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \overline V_n \ne \varnothing[/math], и состоит из одной точки.
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]a_n[/math] — центр соответствующего шара, тогда из вложенности [math]\forall m \gt n: \rho(a_n, a_m) \lt r_n[/math], то есть последовательность центров сходится в себе, так как [math]r_n \to 0[/math], тогда по полноте пространства последовательность центров сходится к [math]a \in X[/math].

Покажем, что [math] a \in \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \overline V_n [/math], то есть [math]\forall n: a \in \overline V_n[/math]. Для любого [math]n[/math] шар [math]\overline V_n [/math] содержит все точки последовательности [math]\{a_n \}[/math], кроме конечного числа. Тогда оставшаяся последовательность центров содержится в [math]\overline V_n[/math] и также сходится к [math]a[/math], а так как [math] \overline V_n[/math] — замкнутое множество, оно содержит предел этой последовательности и [math]a \in \overline V_n[/math].

Также, кроме [math]a [/math] в пересечение ничего входить не может: пусть в него еще входит точка [math]b[/math],тогда [math]\rho(a, b) \gt 0[/math], возьмем шар в пересечении радиусом меньше [math]\rho(a, b) \over 2[/math] (такой есть по стремлению радиусов к [math]0[/math]), но в нем может лежать только одна из точек [math]a,b[/math].
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
[math]A[/math] всюду плотно в [math](X, \rho)[/math], если [math]\mathrm{Cl} A = X[/math]
Например, [math]\mathbb{Q}[/math] всюду плотно в [math]\mathbb{R}[/math], так как [math]\mathrm{Cl} \mathbb{Q} = \mathbb{R}[/math].

Если в пространстве существует счетное всюду плотное множество, такое пространство называют сепарабельным.

[math]A[/math] нигде не плотно в [math](X, \rho)[/math], если [math]\mathrm{Int} \mathrm{Cl} A = \varnothing[/math].

Например, [math]\mathbb{Z}[/math] нигде не плотно в [math]\mathbb{R}[/math].


Утверждение:
Пусть [math] A [/math] нигде не плотно в [math] (X, \rho) [/math]. Тогда в любом шаре есть шар, не содержащий точек [math]A[/math].
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math] B = \mathrm{Cl} A [/math], так как [math] A [/math] нигде не плотно в [math] X [/math], то [math] \mathrm{Int} B = \varnothing [/math].

Это значит, что [math]\bigcup\limits_{G \subset B} G = \varnothing [/math], то есть, любое непустое открытое [math] G [/math] не является подмножеством [math] B [/math].

Рассмотрим произвольный открытый шар [math] V [/math], [math] V = (V \cap B) \cup (V \cap \overline B) [/math]. Из наших рассуждений следует, что [math] V \cap \overline B [/math] непусто.

Но [math] \overline B [/math] — открытое множество, [math] \overline B = \bigcup\limits_{\alpha} V_{r_\alpha}(a_\alpha) [/math], [math] \exists V_1: V \cap V_1 \ne \varnothing [/math].

Тогда можно просто выбрать [math] V_r(a) \subset V \cap V_1 [/math], он и будет искомым шаром без точек [math] A [/math].
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
Подмножество [math]A[/math] топологического пространства [math]X[/math] имеет I категорию по Бэру в пространстве [math]X[/math], если оно является не более чем счетным объединением нигде не плотных в [math]X[/math] множеств. В противном случае оно имеет II категорию по Бэру.


Теорема (Бэр):
Полное МП является множеством II категории в себе.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Пусть [math]X[/math] — полное и является множеством I категории, то есть представимо как [math]\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} M_n[/math], где [math]M_n[/math] — нигде не плотно в [math]X[/math]. Возьмем замкнутый шар [math]\overline V_0[/math], например, радиуса 1. Так как [math]M_1[/math] нигде не плотно в [math]X[/math], оно также нигде не плотно в [math]\overline V_0[/math], а, значит, существует замкнутый шар [math]\overline V_1[/math] радиуса меньше [math]1 \over 2[/math], содержащийся в [math]\overline V_0[/math] и не пересекающийся с [math]M_1[/math] ([math]M_1 \cap \overline V_1 = \varnothing[/math]). Аналогично, [math]M_2[/math] нигде не плотно в [math]\overline V_1[/math], и так далее действуя таким образом, построим систему вложенных замкнутых шаров ([math]\overline V_{n+1} \subset \overline V_n[/math]) со стремящимся к нулю радиусом. В силу теоремы о вложенных шарах пересечение этих шаров должно содержать какую-то точку [math]x[/math], но эта точка не может лежать ни в одном из множеств [math]M_n[/math] по построению, то есть, получили противоречие, и [math]X[/math] не является множеством первой категории.
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение (следствие из т. Бэра):
Полное МП без изолированных точек несчетно.
[math]\triangleright[/math]
Пусть [math](X, \rho)[/math] — МП без изолированных точек (то есть в любой окрестности любой точки найдутся точки, отличные от нее). Пусть [math]X[/math] — счетно, то есть, можно занумеровать его элементы как [math]\{ x_1 \dots x_n \dots \}[/math] и представить [math]X[/math] как [math]\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \{ x_n \}[/math]. Но одноточечные множества нигде не плотны в [math]X[/math]: рассмотрим шар [math] V_r(p) [/math], если [math] p = x_n [/math], то внутри шара есть шар с центром не в [math] x_n [/math] меньшего радиуса, так как [math] x_n [/math] не является изолированной точкой; для остальных шаров можно взять шар радиуса, меньшего, чем [math] \rho(x, p) [/math] с центром также в [math] p [/math]. Тогда [math] X [/math] является множеством I категории, что противоречит теореме Бэра. Следовательно, [math]X[/math] должно быть несчетно.
[math]\triangleleft[/math]

Это следствие объясняет природу несчетности вещественной оси.


Определение:
Замкнутое [math]K \subset X[/math] называют компактом, если из любой последовательности точек в [math]K[/math] можно выделить сходящуюся подпоследовательность, предел которой также принадлежит [math] K [/math].


Определение:
[math]A \subset X[/math] называют вполне ограниченным, если для него при любом [math]\varepsilon[/math] существует конечная [math]\varepsilon[/math]-сеть, то есть [math]\forall \varepsilon \gt 0\ \exists x_1, x_2 \dots x_n: A \subset \bigcup\limits_{i=1}^n V_{\varepsilon}(x_i)[/math].


Теорема (Хаусдорф):
В полном метрическом пространстве множество является компактом тогда и только тогда, когда оно замкнуто и вполне ограничено.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Теорема Хаусдорфа об ε-сетях
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
Пример: [math]R^{\infty}[/math] — полное.
[math]\triangleright[/math]

Нужно установить равносильность сходимости [math] \overline x^{(n)} \in R^{\infty} [/math] и ее сходимости в себе.

[math] \implies [/math]:

Пусть [math] \lim\limits_{n \to \infty} x^{(n)} = x [/math].

Так как [math] \rho(x^{(n)}, x^{(m)}) \le \rho(x^{(n)}, x) + \rho(x^{(m)}, x) [/math], и при [math] n, m \to \infty [/math] каждое из слагаемых в правой части стремится к [math] 0 [/math], то [math] x^{(n)} [/math] сходится в себе по определению.

[math] \Longleftarrow [/math]:

Пусть [math] x^{(n)} [/math] сходится в себе. Так же, как в предыдущих доказательствах, обозначим [math]f(t) = \frac{t}{1+t}[/math]. Так как [math]\forall k:\ f(|x^{(n)}_k - x^{(m)}_k|) \le 2^k \rho(x^{(n)}, x^{(m)}) \to 0 [/math], а [math]|x^{(n)}_k - x^{(m)}_k| = \frac{1}{1 - f(|x^{(n)}_k - x^{(m)}_k|)} - 1[/math], то [math] x^{(n)} [/math] сходится в себе также и покоординатно.

Но по полноте [math] \mathbb R [/math], каждая из последовательностей по отдельной координате сходится: [math] \forall k:\ x^{(n)}_k \to x_k [/math].

Так как покоординатная сходимость в метрике [math] \mathbb R^{\infty} [/math] равносильна просто сходимости, то [math] x^{(n)} \to x = (x_1, x_2, \ldots x_n, \ldots) [/math].
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение (компактность прямоугольника в R^infty):
[math]\Pi = [a_1, b_1] \times \dots \times [a_n, b_n] \dots[/math] — компакт в [math]R^{\infty}[/math].
[math]\triangleright[/math]

[math]\rho(\overline x, \overline y) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} {|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|}[/math], где [math]{|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|} \le 1[/math], также [math]\forall \varepsilon \gt 0 \exists n_0: \sum\limits_{n = n_0 + 1}^{\infty} {1 \over 2^n} \lt \varepsilon[/math]. Таким образом, для каждого [math]\varepsilon[/math] можно выбрать номер координаты [math]n_0[/math], такой, что все координаты с большими [math]n_0[/math] номерами суммарно влияют на метрику не больше, чем на [math]\varepsilon[/math].

Расмотрим [math]\Pi_{n_0} = [a_1, b_1] \times \dots \times [a_{n_0}, b_{n_0}] \subset R^{n_0}[/math] — для него можно составить конечную [math]\varepsilon[/math]-сеть [math]A[/math] (понятно, что по каждой координате это сделать легко, а дальше возьмем декартово произведение). Сделаем сеть [math]A'[/math] для [math]\Pi[/math] следующим образом: к каждой [math]n_0[/math]-мерной точке из [math]A[/math] допишем произвольные координаты [math]x_{n_0 + 1}, x_{n_0 + 2} \dots[/math].

  • По выбору [math]\varepsilon[/math]: [math]\forall x' \in \Pi\ \exists x \in \Pi_{n_0}: \rho (x', x) \lt \varepsilon[/math].
  • По определению [math]\varepsilon[/math]-сети для [math]A[/math]: [math]\forall \varepsilon \gt 0\ \forall x \in \Pi_{n_0} \exists a \in A: \rho(x, a) \lt \varepsilon[/math].
  • По построению [math]A'[/math] и выбору [math]\varepsilon[/math], [math]\forall a \in A\ \exists a' \in A': \rho(a, a') \lt \varepsilon[/math].
Таким образом, [math]\forall \varepsilon \gt 0\ \forall x' \in \Pi\ \exists a' \in A': \rho(x', a') \le \rho(x', x) + \rho(x, a) + \rho(a, a') \le 3 \varepsilon[/math], то есть построили конечную [math]3\varepsilon[/math]-сеть.
[math]\triangleleft[/math]

А еще зачем-то можно рассмотреть для пространства с мерой на сигма-алгебре [math] (X, \mathcal A, \mu) [/math] пространство измеримых на [math] E \in \mathcal A [/math] вещественнозначных функций. Если ввести на нем метрику [math]\rho(f, g) = \int\limits_E {|f - g| \over 1 + |f - g|} d \mu[/math], то сходимость последовательности функций в ней будет равносильна сходимости по мере.

Примечания

  1. Кому интересно: метрическое пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности, а она не может выполняться в [math]X = \mathbb{I}^{\mathbb{I}}[/math], которое понятно как сводится к [math]X = \mathbb{R}^{\mathbb{I}}[/math]: Why is [math][0,1]^{[0,1]}[/math] not first countable?
  2. В конспекте только в прямую сторону, но вообще, вроде, это критерий. Док-во есть в Колмогорове, элементы теории функции и функана, 6 издание, страница 107.

Ссылки