Редактирование: Метрический тензор

__TOC__
==Метрический тензор==

{{Определение
|definition=
Рассмотрим <tex> \{\tilde{e_i}\}_{i=1}^{n}</tex> {{---}} не ОРТН базис: <tex>\left\langle x,y\right\rangle=\sum\limits_{i,k=1}^{n} \xi^i \overline{\tilde{\eta}^k}</tex><br>
<tex>\left\langle \tilde{e_i},\tilde{e_k}\right\rangle=g_{ik}=\sum\limits_{i,k=1}^{n} g_{ik}\xi^i \overline{\eta^k}</tex> <br>
<tex>g_{ik}</tex> называют '''метрическим тензором'''.
}}


==Естественный изоморфизм евклидова пространства и его сопряжённого==
Рассмотрим отображение <tex>x \in E \longrightarrow f \in E^*</tex> по формуле <tex>\left\langle x,y\right\rangle = (f;y); \forall y \in E</tex>
Назовём это равенство <tex>(*)</tex>
{{Лемма
|about = 1
|statement = Пусть <tex>x \rightarrow f_1</tex> и <tex>x \rightarrow f_2</tex>. Тогда <tex>f_1=f_2</tex>
|proof = По равенству <tex>(*): \left\langle x,y\right\rangle=(f_1;y)</tex> и <tex>\left\langle x,y\right\rangle=(f_2;y)</tex>

Вычтя одно из другого, по линейности <tex>E^*</tex> получим: <tex>0 = (f_1-f_2;y); \forall y \in E \Longrightarrow f_1-f_2= 0_{E^*} \Longrightarrow f_1=f_2</tex>
Таким образом, вектору <tex>x</tex> соответствует единственная форма <tex>f</tex>
}}
{{Лемма
|about = 2
|statement = Пусть <tex>f \rightarrow x_1</tex> и <tex>f \rightarrow x_2</tex>. Тогда <tex>x_1=x_2</tex>
|proof = По равенству <tex>(*): \left\langle x_1,y\right\rangle=(f;y)</tex> и <tex>\left\langle x_2,y\right\rangle=(f;y)</tex>

Вычтя одно из другого, по линейности <tex>\left\langle \right\rangle</tex> получим: <tex>\left\langle x_1-x_2,y\right\rangle = 0; \forall y \in E \Longrightarrow x_1-x_2= 0_E \Longrightarrow x_1=x_2</tex>

Таким образом, форме <tex>f</tex> соответствует единственный вектор <tex>x</tex>
}}
{{Лемма
|about = 3, о линейности изоморфизма
|statement = Если <tex>x_1 \longleftrightarrow f_1</tex> и <tex> x_2 \longleftrightarrow f_2</tex>, то <tex> \Longrightarrow x_1+x_2 \longleftrightarrow f_1+f_2</tex> и <tex> \alpha x_1 \longleftrightarrow \alpha f_1</tex>
|proof= Линейность изоморфизма напрямую следует из линейности обоих пространств:

<tex>\left\langle \alpha x_1,y\right\rangle =  \alpha\left\langle x_1,y\right\rangle =  \alpha(f_1,y)= ( \alpha f_1, y);</tex>
}}
{{Теорема
|statement=Формула <tex>(*): \left\langle x,y\right\rangle = (f;y); \forall y \in E</tex> определяет обратимый линейный оператор <tex>\mathcal{G}: E \longrightarrow E^*</tex> т.е. <tex>(\mathcal{G}\cdot x=f); \; \exists \mathcal{G}^{-1}: E^* \longrightarrow E</tex> т.е. <tex>(\mathcal{G}^{-1}\cdot f=x)</tex>
}}
Изоморфизм конечномерного Евклидова пространства и его сопряженного является естественным изоморфизмом.

==Пересадка формы из E* в E==
Рассмотрим <tex>{\{e_i\}}_{i=1}^n</tex> - базис <tex>E</tex>; <tex>{\{f^k\}}_{k=1}^n</tex> - базис <tex>E^*</tex>

<tex>(f^k;e_i) = \delta^k_i</tex>(сопряжённые базисы)

Рассмотрим <tex>\mathcal{G}^{-1}f^k = e^k \in E</tex>
{{Лемма
|about = 1
|statement=  <tex>{\{e^k\}}_{k=1}^n</tex> - базис <tex>E</tex>;
|proof=ЛНЗ набор <tex>\{ f^1, ... , f^n\}</tex> под действием <tex>\mathcal{G}^{-1}</tex> переходит в <tex>\{ e^1, ... , e^n\}</tex>
Значит, <tex>{\{e^k\}}_{k=1}^n</tex> - базис <tex>E</tex>
}}
{{Лемма
|about = 2
|statement=  <tex>\left\langle e^k;e_i\right\rangle=\left\langle e_i;e^k\right\rangle = \delta^k_i</tex>;
|proof= <tex>\left\langle e^k;y\right\rangle = (f^k;y); \forall y \in E</tex> Пусть <tex>y=e_i</tex>, тогда <tex>\left\langle e^k;e_i\right\rangle=(f^k;e_i)=\delta^k_i</tex>
Рассмотрим <tex>\left\langle e_i;e^k\right\rangle=\overline{\left\langle e^k;e_i\right\rangle}=\overline{\delta^k_i} = \delta^k_i</tex>
}}
{{Определение
|definition= Наборы векторов  <tex>{\{e^k\}}_{k=1}^n</tex> и <tex>{\{e_i\}}_{i=1}^n</tex> называются '''биортогональными базисами'''
}}
NB:<tex>G(x,y)=\left\langle x,y\right\rangle \longleftrightarrow g_{ik}=\left\langle e_i,e_k\right\rangle</tex>

<tex>G = \Vert g_{ik}\Vert; \left\langle x,y\right\rangle = \sum\limits^n_{i,k=1}{\xi^{i}g_{ik}\eta^k}</tex>
{{Теорема
|statement= <tex>e^k= \sum\limits^n_{i=1}{g^{ki}e_i} (1)</tex>;<br>  <tex>e_k= \sum\limits^n_{i=1}{g_{ki}e^i} (2)</tex>, где <tex>\Vert g^{ki}\Vert=\Vert g_{ki}\Vert^{-1}</tex>
|proof= <tex>{\{e^i\}}_{i=1}^n</tex> - базис <tex>E \Longrightarrow e_k = \sum\limits^n_{i=1}{\alpha_{ki}e^i}</tex>(разложение единственно)

Тогда <tex>\left\langle e_k;e_j\right\rangle = \left\langle \sum\limits^n_{i=1}{\alpha_{ki}e^i};e_j\right\rangle =  \sum\limits^n_{i=1}{\alpha_{ki}\left\langle e^i;e_j\right\rangle} = \alpha_{kj}</tex>  (т.к. <tex>\left\langle e^i;e_j\right\rangle = \delta^i_j</tex>)

<tex>\left\langle e_k;e_j\right\rangle = g_{kj}</tex>, т.е <tex>g_{kj}=\alpha_{kj}</tex>

Переход от <tex>(2)</tex> к <tex>(1)</tex> производится путём умножения на обратную матрицу:

<tex>G^{-1} \vert e_{(k)} = G\cdot e^{(i)}</tex> - и приходим к равенству <tex>(1)</tex>
}}
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]