Метрический тензор — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Пересадка формы из E^* в E)
(Пересадка формы из E* в E)
 
(не показано 7 промежуточных версий 3 участников)
Строка 1: Строка 1:
 +
__TOC__
 +
==Метрический тензор==
 +
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Рассмотрим <tex> \{\tilde{e_i}\}_{i=1}^{n}</tex> {{---}} не ОРТН базис: <tex>\left\langle x,y\right\rangle=\sum\limits_{i,k=1}^{n} \xi^i \overline{\tilde{\eta}^k}</tex><br>
 +
<tex>\left\langle \tilde{e_i},\tilde{e_k}\right\rangle=g_{ik}=\sum\limits_{i,k=1}^{n} g_{ik}\xi^i \overline{\eta^k}</tex> <br>
 +
<tex>g_{ik}</tex> называют '''метрическим тензором'''.
 +
}}
 +
 +
 
==Естественный изоморфизм евклидова пространства и его сопряжённого==
 
==Естественный изоморфизм евклидова пространства и его сопряжённого==
 
Рассмотрим отображение <tex>x \in E \longrightarrow f \in E^*</tex> по формуле <tex>\left\langle x,y\right\rangle = (f;y); \forall y \in E</tex>
 
Рассмотрим отображение <tex>x \in E \longrightarrow f \in E^*</tex> по формуле <tex>\left\langle x,y\right\rangle = (f;y); \forall y \in E</tex>
Строка 5: Строка 16:
 
|about = 1
 
|about = 1
 
|statement = Пусть <tex>x \rightarrow f_1</tex> и <tex>x \rightarrow f_2</tex>. Тогда <tex>f_1=f_2</tex>
 
|statement = Пусть <tex>x \rightarrow f_1</tex> и <tex>x \rightarrow f_2</tex>. Тогда <tex>f_1=f_2</tex>
|proof = По равенству <tex>(*): \left\langle x_1,y\right\rangle=(f;y)</tex> и <tex>\left\langle x_2,y\right\rangle=(f;y)</tex>
+
|proof = По равенству <tex>(*): \left\langle x,y\right\rangle=(f_1;y)</tex> и <tex>\left\langle x,y\right\rangle=(f_2;y)</tex>
  
Вычтя одно из другого, по линейности <tex>E^*</tex> получим: <tex>0 = (f_1-f_2;y); \forall y \in E \Longrightarrow f_1-f_2= 0_E^* \Longrightarrow f_1=f_2</tex>
+
Вычтя одно из другого, по линейности <tex>E^*</tex> получим: <tex>0 = (f_1-f_2;y); \forall y \in E \Longrightarrow f_1-f_2= 0_{E^*} \Longrightarrow f_1=f_2</tex>
 
Таким образом, вектору <tex>x</tex> соответствует единственная форма <tex>f</tex>
 
Таким образом, вектору <tex>x</tex> соответствует единственная форма <tex>f</tex>
 
}}
 
}}
Строка 13: Строка 24:
 
|about = 2
 
|about = 2
 
|statement = Пусть <tex>f \rightarrow x_1</tex> и <tex>f \rightarrow x_2</tex>. Тогда <tex>x_1=x_2</tex>
 
|statement = Пусть <tex>f \rightarrow x_1</tex> и <tex>f \rightarrow x_2</tex>. Тогда <tex>x_1=x_2</tex>
|proof = По равенству <tex>(*): \left\langle x,y\right\rangle=(f_1;y)</tex> и <tex>\left\langle x,y\right\rangle=(f_2;y)</tex>
+
|proof = По равенству <tex>(*): \left\langle x_1,y\right\rangle=(f;y)</tex> и <tex>\left\langle x_2,y\right\rangle=(f;y)</tex>
  
Вычтя одно из другого, по линейности <tex>E^*</tex> получим: <tex>\left\langle x_1-x_2,y\right\rangle = 0; \forall y \in E \Longrightarrow x_1-x_2= 0_E \Longrightarrow x_1=x_2</tex>
+
Вычтя одно из другого, по линейности <tex>\left\langle \right\rangle</tex> получим: <tex>\left\langle x_1-x_2,y\right\rangle = 0; \forall y \in E \Longrightarrow x_1-x_2= 0_E \Longrightarrow x_1=x_2</tex>
  
 
Таким образом, форме <tex>f</tex> соответствует единственный вектор <tex>x</tex>
 
Таким образом, форме <tex>f</tex> соответствует единственный вектор <tex>x</tex>
Строка 27: Строка 38:
 
}}
 
}}
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|statement=Формула <tex>(*): \left\langle x,y\right\rangle = (f;y); \forall y \in E</tex> определяет обратимый линейный оператор <tex>\mathcal{G}: E \Longrightarrow E^*(G\cdot x=f); \; \exists \mathcal{G}^{-1}: E^* \Longrightarrow E(G^{-1}\cdot f=x)</tex>
+
|statement=Формула <tex>(*): \left\langle x,y\right\rangle = (f;y); \forall y \in E</tex> определяет обратимый линейный оператор <tex>\mathcal{G}: E \longrightarrow E^*</tex> т.е. <tex>(\mathcal{G}\cdot x=f); \; \exists \mathcal{G}^{-1}: E^* \longrightarrow E</tex> т.е. <tex>(\mathcal{G}^{-1}\cdot f=x)</tex>
 
}}
 
}}
Изоморфизм конечномерного Евклидова пространства является естественным изоморфизмом.
+
Изоморфизм конечномерного Евклидова пространства и его сопряженного является естественным изоморфизмом.
==Пересадка формы из <tex>E^*</tex> в <tex>E</tex>==
+
 
 +
==Пересадка формы из E* в E==
 
Рассмотрим <tex>{\{e_i\}}_{i=1}^n</tex> - базис <tex>E</tex>; <tex>{\{f^k\}}_{k=1}^n</tex> - базис <tex>E^*</tex>
 
Рассмотрим <tex>{\{e_i\}}_{i=1}^n</tex> - базис <tex>E</tex>; <tex>{\{f^k\}}_{k=1}^n</tex> - базис <tex>E^*</tex>
  
 
<tex>(f^k;e_i) = \delta^k_i</tex>(сопряжённые базисы)
 
<tex>(f^k;e_i) = \delta^k_i</tex>(сопряжённые базисы)
  
Рассмотрим <tex>G^{-1}f^k = e_i \in E</tex>
+
Рассмотрим <tex>\mathcal{G}^{-1}f^k = e^k \in E</tex>
 
{{Лемма
 
{{Лемма
 
|about = 1
 
|about = 1
 
|statement=  <tex>{\{e^k\}}_{k=1}^n</tex> - базис <tex>E</tex>;
 
|statement=  <tex>{\{e^k\}}_{k=1}^n</tex> - базис <tex>E</tex>;
|proof=ЛНЗ набор <tex>\{ f^1, ... , f^n\}</tex> под действием <tex>G^{-1}</tex> переходит в <tex>\{ e^1, ... , e^n\}</tex>
+
|proof=ЛНЗ набор <tex>\{ f^1, ... , f^n\}</tex> под действием <tex>\mathcal{G}^{-1}</tex> переходит в <tex>\{ e^1, ... , e^n\}</tex>
 
Значит, <tex>{\{e^k\}}_{k=1}^n</tex> - базис <tex>E</tex>
 
Значит, <tex>{\{e^k\}}_{k=1}^n</tex> - базис <tex>E</tex>
 
}}
 
}}
 
{{Лемма
 
{{Лемма
 
|about = 2
 
|about = 2
|statement=  <tex>\left\langle e^k;e^i\right\rangle=\left\langle e^i;e^k\right\rangle = \delta^k_i</tex>;
+
|statement=  <tex>\left\langle e^k;e_i\right\rangle=\left\langle e_i;e^k\right\rangle = \delta^k_i</tex>;
|proof= <tex>\left\langle e^k;y\right\rangle = (f^k;y); \forall y \in E</tex> Пусть <tex>y=e_i</tex>, тогда <tex>\left\langle e^k;e_i\right\rangle=(f^k;e_i)=\delta^k_i</tex>
+
|proof= <tex>\left\langle e^k;y\right\rangle = (f^k;y); \forall y \in E</tex> <br>
Рассмотрим <tex>\left\langle e_i;e^k\right\rangle=\overline{\left\langle e^k;e_i\right\rangle}=\overline{\delta^k_i} = \delta^i_k</tex>
+
Пусть <tex>y=e_i</tex>, тогда <tex>\left\langle e^k;e_i\right\rangle=(f^k;e_i)=\delta^k_i</tex>
 +
Рассмотрим <tex>\left\langle e_i;e^k\right\rangle=\overline{\left\langle e^k;e_i\right\rangle}=\overline{\delta^k_i} = \delta^k_i</tex>
 
}}
 
}}
 
{{Определение
 
{{Определение
Строка 55: Строка 68:
 
<tex>G = \Vert g_{ik}\Vert; \left\langle x,y\right\rangle = \sum\limits^n_{i,k=1}{\xi^{i}g_{ik}\eta^k}</tex>
 
<tex>G = \Vert g_{ik}\Vert; \left\langle x,y\right\rangle = \sum\limits^n_{i,k=1}{\xi^{i}g_{ik}\eta^k}</tex>
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|statement= <tex>e^k= \sum\limits^n_{i=1}{g^{ki}e_i} (1)</tex>;  <tex>e_k= \sum\limits^n_{i=1}{g_{ki}e^i} (2)</tex>, где <tex>\Vert g^{ki}\Vert=\Vert g_{ki}\Vert^{-1}</tex>
+
|statement= <tex>e^k= \sum\limits^n_{i=1}{g^{ki}e_i} (1)</tex>;<br> <tex>e_k= \sum\limits^n_{i=1}{g_{ki}e^i} (2)</tex>, где <tex>\Vert g^{ki}\Vert=\Vert g_{ki}\Vert^{-1}</tex>
 
|proof= <tex>{\{e^i\}}_{i=1}^n</tex> - базис <tex>E \Longrightarrow e_k = \sum\limits^n_{i=1}{\alpha_{ki}e^i}</tex>(разложение единственно)
 
|proof= <tex>{\{e^i\}}_{i=1}^n</tex> - базис <tex>E \Longrightarrow e_k = \sum\limits^n_{i=1}{\alpha_{ki}e^i}</tex>(разложение единственно)
  
Строка 62: Строка 75:
 
<tex>\left\langle e_k;e_j\right\rangle = g_{kj}</tex>, т.е <tex>g_{kj}=\alpha_{kj}</tex>
 
<tex>\left\langle e_k;e_j\right\rangle = g_{kj}</tex>, т.е <tex>g_{kj}=\alpha_{kj}</tex>
  
Переход от <tex>(2) к (1)</tex> производится путём умножения на обратную матрицу:
+
Переход от <tex>(2)</tex> к <tex>(1)</tex> производится путём умножения на обратную матрицу:
  
<tex>G^{-1} \vert e_{(k)} = G\cdot e^{(i)}</tex> - и приводим к равенству <tex>(1)</tex>
+
<tex>G^{-1} \vert e_{(k)} = G\cdot e^{(i)}</tex> - и приходим к равенству <tex>(1)</tex>
 
}}
 
}}
 +
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]

Текущая версия на 11:10, 14 июня 2013

Метрический тензор[править]

Определение:
Рассмотрим [math] \{\tilde{e_i}\}_{i=1}^{n}[/math] — не ОРТН базис: [math]\left\langle x,y\right\rangle=\sum\limits_{i,k=1}^{n} \xi^i \overline{\tilde{\eta}^k}[/math]

[math]\left\langle \tilde{e_i},\tilde{e_k}\right\rangle=g_{ik}=\sum\limits_{i,k=1}^{n} g_{ik}\xi^i \overline{\eta^k}[/math]

[math]g_{ik}[/math] называют метрическим тензором.


Естественный изоморфизм евклидова пространства и его сопряжённого[править]

Рассмотрим отображение [math]x \in E \longrightarrow f \in E^*[/math] по формуле [math]\left\langle x,y\right\rangle = (f;y); \forall y \in E[/math] Назовём это равенство [math](*)[/math]

Лемма (1):
Пусть [math]x \rightarrow f_1[/math] и [math]x \rightarrow f_2[/math]. Тогда [math]f_1=f_2[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

По равенству [math](*): \left\langle x,y\right\rangle=(f_1;y)[/math] и [math]\left\langle x,y\right\rangle=(f_2;y)[/math]

Вычтя одно из другого, по линейности [math]E^*[/math] получим: [math]0 = (f_1-f_2;y); \forall y \in E \Longrightarrow f_1-f_2= 0_{E^*} \Longrightarrow f_1=f_2[/math]

Таким образом, вектору [math]x[/math] соответствует единственная форма [math]f[/math]
[math]\triangleleft[/math]
Лемма (2):
Пусть [math]f \rightarrow x_1[/math] и [math]f \rightarrow x_2[/math]. Тогда [math]x_1=x_2[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

По равенству [math](*): \left\langle x_1,y\right\rangle=(f;y)[/math] и [math]\left\langle x_2,y\right\rangle=(f;y)[/math]

Вычтя одно из другого, по линейности [math]\left\langle \right\rangle[/math] получим: [math]\left\langle x_1-x_2,y\right\rangle = 0; \forall y \in E \Longrightarrow x_1-x_2= 0_E \Longrightarrow x_1=x_2[/math]

Таким образом, форме [math]f[/math] соответствует единственный вектор [math]x[/math]
[math]\triangleleft[/math]
Лемма (3, о линейности изоморфизма):
Если [math]x_1 \longleftrightarrow f_1[/math] и [math] x_2 \longleftrightarrow f_2[/math], то [math] \Longrightarrow x_1+x_2 \longleftrightarrow f_1+f_2[/math] и [math] \alpha x_1 \longleftrightarrow \alpha f_1[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Линейность изоморфизма напрямую следует из линейности обоих пространств:

[math]\left\langle \alpha x_1,y\right\rangle = \alpha\left\langle x_1,y\right\rangle = \alpha(f_1,y)= ( \alpha f_1, y);[/math]
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Формула [math](*): \left\langle x,y\right\rangle = (f;y); \forall y \in E[/math] определяет обратимый линейный оператор [math]\mathcal{G}: E \longrightarrow E^*[/math] т.е. [math](\mathcal{G}\cdot x=f); \; \exists \mathcal{G}^{-1}: E^* \longrightarrow E[/math] т.е. [math](\mathcal{G}^{-1}\cdot f=x)[/math]

Изоморфизм конечномерного Евклидова пространства и его сопряженного является естественным изоморфизмом.

Пересадка формы из E* в E[править]

Рассмотрим [math]{\{e_i\}}_{i=1}^n[/math] - базис [math]E[/math]; [math]{\{f^k\}}_{k=1}^n[/math] - базис [math]E^*[/math]

[math](f^k;e_i) = \delta^k_i[/math](сопряжённые базисы)

Рассмотрим [math]\mathcal{G}^{-1}f^k = e^k \in E[/math]

Лемма (1):
[math]{\{e^k\}}_{k=1}^n[/math] - базис [math]E[/math];
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

ЛНЗ набор [math]\{ f^1, ... , f^n\}[/math] под действием [math]\mathcal{G}^{-1}[/math] переходит в [math]\{ e^1, ... , e^n\}[/math]

Значит, [math]{\{e^k\}}_{k=1}^n[/math] - базис [math]E[/math]
[math]\triangleleft[/math]
Лемма (2):
[math]\left\langle e^k;e_i\right\rangle=\left\langle e_i;e^k\right\rangle = \delta^k_i[/math];
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]\left\langle e^k;y\right\rangle = (f^k;y); \forall y \in E[/math]
Пусть [math]y=e_i[/math], тогда [math]\left\langle e^k;e_i\right\rangle=(f^k;e_i)=\delta^k_i[/math]

Рассмотрим [math]\left\langle e_i;e^k\right\rangle=\overline{\left\langle e^k;e_i\right\rangle}=\overline{\delta^k_i} = \delta^k_i[/math]
[math]\triangleleft[/math]
Определение:
Наборы векторов [math]{\{e^k\}}_{k=1}^n[/math] и [math]{\{e_i\}}_{i=1}^n[/math] называются биортогональными базисами

NB:[math]G(x,y)=\left\langle x,y\right\rangle \longleftrightarrow g_{ik}=\left\langle e_i,e_k\right\rangle[/math]

[math]G = \Vert g_{ik}\Vert; \left\langle x,y\right\rangle = \sum\limits^n_{i,k=1}{\xi^{i}g_{ik}\eta^k}[/math]

Теорема:
[math]e^k= \sum\limits^n_{i=1}{g^{ki}e_i} (1)[/math];
[math]e_k= \sum\limits^n_{i=1}{g_{ki}e^i} (2)[/math], где [math]\Vert g^{ki}\Vert=\Vert g_{ki}\Vert^{-1}[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]{\{e^i\}}_{i=1}^n[/math] - базис [math]E \Longrightarrow e_k = \sum\limits^n_{i=1}{\alpha_{ki}e^i}[/math](разложение единственно)

Тогда [math]\left\langle e_k;e_j\right\rangle = \left\langle \sum\limits^n_{i=1}{\alpha_{ki}e^i};e_j\right\rangle = \sum\limits^n_{i=1}{\alpha_{ki}\left\langle e^i;e_j\right\rangle} = \alpha_{kj}[/math] (т.к. [math]\left\langle e^i;e_j\right\rangle = \delta^i_j[/math])

[math]\left\langle e_k;e_j\right\rangle = g_{kj}[/math], т.е [math]g_{kj}=\alpha_{kj}[/math]

Переход от [math](2)[/math] к [math](1)[/math] производится путём умножения на обратную матрицу:

[math]G^{-1} \vert e_{(k)} = G\cdot e^{(i)}[/math] - и приходим к равенству [math](1)[/math]
[math]\triangleleft[/math]