Метрическое пространство — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
м
Строка 31: Строка 31:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|about=
 
|about=
Свойство шаров
+
Основное свойство шаров
 
|statement=
 
|statement=
 
Пусть <tex> b \in V_{r1}(a_1) \cap V_{r2}(a_2)</tex>. Тогда <tex> \exists r > 0: V_r(b) \in V_{r1}(a_1) \cap V_{r2}(a_2)</tex> <br \>
 
Пусть <tex> b \in V_{r1}(a_1) \cap V_{r2}(a_2)</tex>. Тогда <tex> \exists r > 0: V_r(b) \in V_{r1}(a_1) \cap V_{r2}(a_2)</tex> <br \>
Строка 63: Строка 63:
 
: <tex> G_1 = \bigcup\limits_{\alpha}V_{\alpha}; G_2 = \bigcup\limits_{\beta}V_{\beta} </tex>
 
: <tex> G_1 = \bigcup\limits_{\alpha}V_{\alpha}; G_2 = \bigcup\limits_{\beta}V_{\beta} </tex>
 
: <tex> G_1 \cap G_2 = \bigcup\limits_{\alpha, \beta}(V_{\alpha} \cap V_{\beta}) </tex>
 
: <tex> G_1 \cap G_2 = \bigcup\limits_{\alpha, \beta}(V_{\alpha} \cap V_{\beta}) </tex>
 +
: По основному свойству шаров : <tex> b \in V_\alpha \cap V_\beta \Rightarrow V(b) \in V_\alpha \cap V_\beta </tex>
 
: <tex> V_{\alpha} \cap V_{\beta} </tex> - открытый шар <tex> \Rightarrow G_1 \cap G_2 </tex> - объединение открытых шаров - принадлежит <tex>\tau </tex> по 2 свойству.
 
: <tex> V_{\alpha} \cap V_{\beta} </tex> - открытый шар <tex> \Rightarrow G_1 \cap G_2 </tex> - объединение открытых шаров - принадлежит <tex>\tau </tex> по 2 свойству.
  
 +
Обычно <tex> \tau </tex> является (метрической) топологией на множестве X.
  
 +
Если в X выделен класс множеств <tex> \tau </tex>, удовлетворяющий всем трем свойствам, то <tex> \forall A \in \tau </tex> - открытое, а пара <tex>(X, \tau)</tex> - '''топологическое пространство(ТП)'''. В этом смысле МП - частный случай ТП.
 
{{В разработке}}
 
{{В разработке}}
  
 
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
 
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]

Версия 08:49, 20 ноября 2010

Пусть X - абстрактное множество.

[math] X \times X = \{ (x_1, x_2): x_i \in X \} [/math] - является прямым произведением множества X на себя


Определение:
[math] \rho : X \times X \rightarrow \mathbb{R^+} [/math] является метрикой на X, если выполнимы аксиомы
  1. [math] \rho (x, y) \ge 0 ; \rho (x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y [/math]
  2. [math] \rho (x, y) = \rho (y, x) [/math]
  3. [math] \rho (x, y) \le \rho (x, z) + \rho (z, y) [/math] - неравенство треугольника

Пара ([math] X, \rho[/math]) является метрическим пространством(МП) (при соблюдении аксиом 1-3)

Примеры:

Числовая ось: [math] x, y \in \mathbb{R} \Rightarrow \rho (x, y) = |x - y| [/math]

[math] R^n = \underbrace{R \times R \times \dots \times R}_{n} ; \overrightarrow{x} = (x_1, \dots, x_n) [/math]

  1. [math] \rho_1 (x, y) = \sum\limits_{k = 1}^n |x_k - y_k| [/math]
  2. [math] \rho_2 (x, y) = \max\limits_{k = 1 \dots n} |x_k - y_k| [/math]

То есть, одно и то же множество можно по-разному превращать в метрическое пространство. Для метрических пространств основное значение имеет множество, являющееся открытым шаром([math] V_r [/math]).


Определение:
Пусть [math] (X, \rho) [/math] - метрическое пространство, [math] r \gt 0, a \in X [/math], тогда [math] V_r(a) = \{x: \rho(x, a) \lt r \} [/math]


[math] X = R: V_r(a) = (a - r; a + r) [/math]

Теорема (Основное свойство шаров):
Пусть [math] b \in V_{r1}(a_1) \cap V_{r2}(a_2)[/math]. Тогда [math] \exists r \gt 0: V_r(b) \in V_{r1}(a_1) \cap V_{r2}(a_2)[/math]
Простым языком: Если два открытых шара пересекаются, то существует открытый шар, принадлежащий их пересечению(вроде так?).
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Замечание - для X = R - очевидно(перечечение двух интервалов тоже есть интервал).

Пусть [math] y \in V_{r}(b)[/math]
[math] \rho (b, a_j) \lt r_j, j = 1,2 [/math]
[math] \exists r \gt 0: \rho (y, b) \lt r \Rightarrow \rho (y, a_j) \lt r_j, j = 1,2.[/math]
  1. [math] \rho (y, a_1) \le \rho (y, b) + \rho (b, a_1) \lt r_1 \Rightarrow \rho (y, b) \lt r_1 - \rho(b, a_1) = d_1, d_1 \gt 0 [/math]
  2. [math] \rho (y, a_2) \le \rho (y, b) + \rho (b, a_2) \lt r_2 \Rightarrow \rho (y, b) \lt r_2 - \rho(b, a_2) = d_2, d_2 \gt 0 [/math]
[math] r = min(d_1, d_2) \Rightarrow \rho(y, b) \lt r \Rightarrow y[/math] войдет в оба шара
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
[math] G \in X [/math] явяется открытым в метрическом пространстве, если его можно записать как некоторое объединение открытых шаров (в обзем случае объединение может состоять из несчетного числа шаров).
[math] \tau [/math] - класс открытых множеств.
[math] \tau [/math] = { G - открытые в МП[math](X, \rho)[/math] }


Свойства открытых множеств:

  1. [math] X = \varnothing \in \tau [/math] - пустое множество открыто
  2. [math] G_{\alpha} \in \tau, \alpha \in A \Rightarrow \bigcup\limits_{\alpha \in A} \in \tau [/math] - очевидно
  3. [math] G_1 \dots G_n \in \tau \Rightarrow \bigcap\limits_{j = 1}^n G_j \in \tau [/math]

Доказательство свойства 3:

[math] G_1 = \bigcup\limits_{\alpha}V_{\alpha}; G_2 = \bigcup\limits_{\beta}V_{\beta} [/math]
[math] G_1 \cap G_2 = \bigcup\limits_{\alpha, \beta}(V_{\alpha} \cap V_{\beta}) [/math]
По основному свойству шаров : [math] b \in V_\alpha \cap V_\beta \Rightarrow V(b) \in V_\alpha \cap V_\beta [/math]
[math] V_{\alpha} \cap V_{\beta} [/math] - открытый шар [math] \Rightarrow G_1 \cap G_2 [/math] - объединение открытых шаров - принадлежит [math]\tau [/math] по 2 свойству.

Обычно [math] \tau [/math] является (метрической) топологией на множестве X.

Если в X выделен класс множеств [math] \tau [/math], удовлетворяющий всем трем свойствам, то [math] \forall A \in \tau [/math] - открытое, а пара [math](X, \tau)[/math] - топологическое пространство(ТП). В этом смысле МП - частный случай ТП.

Эта статья находится в разработке!