Редактирование: Минимальная охватывающая окружность множества точек

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 6: Строка 6:
 
Сперва приведем алгоритм, корректность которого позднее будет доказана.
 
Сперва приведем алгоритм, корректность которого позднее будет доказана.
  
Рассмотрим метод <tex> MinDisc </tex>, который будет принимать на вход множество точек, а возвращать будет искомую охватывающую окружность. Идея метода в том, что он генерирует случайную перестановку из точек, которые поступили на вход и в получившимся порядке по одной добавляет их в текущую охватывающую окружность. Как будет доказано позднее, если на каком-то шаге алгоритма текущая точка оказалась вне текущей минимальной окружности, то утверждается, что она лежит на границе новой окружности, которая будет содержать в себе ее и все предыдущие точки. Опишем приведенный выше алгоритм псевдокодом:
+
Рассмотрим метод <tex> MinDisc </tex>, который будет принимать на вход множество точек, а возвращать будет искомую охватывающую окружность. Идея метода в том, что он генерирует случайную перестановку из точек, которые поступили на вход и в получившимся порядке по одной добавляет их в текущую охватывающую окружность. Как будет доказано позднее, если на каком-то шаге алгоритма текущая точка оказалась вне текущей минимальной окружности, то утверждается, что она лежит на границе новой окружности, которая будет содержать в себе ее и все предыдущие точки. Опишем приведенный выше алгоритм псевдоком:
  
 
  MinDisc(S)
 
  MinDisc(S)
Строка 28: Строка 28:
 
     return Dn
 
     return Dn
  
Как и в предыдущем случае мы использовали новый метод. <tex> MinDiscWith2Points </tex> аналогичен <tex> MinDiscWithPoint </tex>, но в нем уже передается две точки, которые будут лежать на построенной окружности. В этой функции шафлить инпут не требуется. Опишем его псевдоком:
+
Как и в предыдущем случае мы использовали новый метод. <tex> MinDiscWith2Points </tex> аналогичен <tex> MinDiscWithPoint </tex>, но в нем уже передается две точки, которые будут лежать на построенном окружности. В этой функции шафлить инпут не требуется. Опишем его псевдоком:
  
 
  MinDiscWith2Points(P, q1, q2)
 
  MinDiscWith2Points(P, q1, q2)
Строка 43: Строка 43:
 
Попробуем разобраться почему этот алгоритм действительно находит искомую окружность.  
 
Попробуем разобраться почему этот алгоритм действительно находит искомую окружность.  
  
Докажем несколько вспомогательных лемм. Для удобства введем общие обозначения. Пусть <tex> P </tex> и <tex> R </tex> - два '''непересекающихся''' множества точек на плоскости, Пусть <tex> p </tex> - некоторая точка из множества <tex> P </tex>.  
+
Докажем несколько вспомогательных лемм. Для удобства введем общие обозначения. Пусть <tex> P </tex> и <tex> R </tex> - два '''непересекающихся''' множества точек на плоскоти, Пусть <tex> p </tex> - некоторая точка из множества <tex> P </tex>.  
  
 
{{Лемма
 
{{Лемма
Строка 49: Строка 49:
 
|about=лемма 1
 
|about=лемма 1
 
|statement=
 
|statement=
Окружность минимального радиуса, содержащая все точки <tex> P </tex> внутри себя и все точки <tex> R </tex> на границе, ''уникальна''.
+
Окружность минимального радиуса, содержащая все точки <tex> P </tex> внутри себя и все точки <tex> R </tex> на границе ''уникальна''.
 
|proof=
 
|proof=
 
[[Файл:MiniDisc.png|right|310px]]
 
[[Файл:MiniDisc.png|right|310px]]
Пусть это не так и существует две такие окружности <tex> D_0 </tex> и <tex> D_1 </tex>. Очевидно, что в таком случае все точки из <tex> P </tex> должны лежать внутри <tex> D_0 \cap D_1 </tex>. Пусть <tex> z </tex> - точка пересечения окружностей (смотри рисунок). Рассмотрим некоторое семейство окружностей <tex> D(\lambda), 0<=\lambda <= 1 </tex>. При этом центры этих окружностей лежат на отрезке, соединяющем центры <tex> D_0 </tex> и <tex> D_1 </tex>, и перемещаются очевидным образом в зависимости от параметра <tex>\lambda </tex>. При этом радиус каждой из этих окружностей - расстояние от центра до точки <tex> z </tex>, описанной выше. Рассмотрим окружность <tex> D(1/2) </tex>. Заметим, что <tex> D_0 \cap D_1 </tex> лежит целиком внутри нее (по построению окружности <tex> D(1/2) </tex>), а так как <tex> D(1/2) </tex> проходит через пересечение окружностей <tex> D_0 </tex> и <tex> D_1 </tex>, то она проходит через все точки <tex> R </tex> (так все точки <tex> R </tex> лежат на <tex> \partial D_0 \cap \partial D_1 </tex>.). Из этого следует, что эта окружность явлется допустимой для нашей теоремы и при этом обладает '''меньшим''' радиусом, то наше предположение неверно и искомая окружность единственная.
+
Пусть это не так и существует две такие окружности <tex> D_0 </tex> и <tex> D_1 </tex>. Очевидно, что в таком случае все точки из <tex> P </tex> должны лежать внутри <tex> D_0 \cap D_1 </tex>. Пусть <tex> z </tex> - точка пересечения окружностей (смотри рисунок). Рассмотрим некоторое семейство окружностей <tex> D(\lambda), 0<=\lambda <= 1 </tex>. При этом центры этих окружностей лежат на отрезке, соединяющем центры <tex> D_0 </tex> и <tex> D_1 </tex>, и перемещаются очвеидным образом в зависимости от параметра <tex>\lambda </tex>. При этом радиус каждой из этих окружностей - расстояние от центра до точки <tex> z </tex>, описанной выше. Рассмотрим окружность <tex> D(1/2) </tex>. Заметим, что <tex> D_0 \cap D_1 </tex> лежит целиком внутри нее (по построению окружности <tex> D(1/2) </tex>), а так как <tex> D(1/2) </tex> проходит через пересечение окружностей <tex> D_0 </tex> и <tex> D_1 </tex>, то она проходит через все точки <tex> R </tex> (так все точки <tex> R </tex> лежат на <tex> \partial D_0 \cap \partial D_1 </tex>.). Из этого следует, что эта окружность явлется допустимой для нашей теоремы и при этом обладает '''меньшим''' радиусом, то наше предположение неверно и искомая окружность единственная.
  
  
Строка 85: Строка 85:
 
Рассмотрим некоторое множество <tex> P = \{p_1, ... p_i \} </tex> и точку <tex> q </tex>, которая лежит на границе построенной охватывающей окружности.  Тогда попробуем удалить одну точку из набора <tex> P </tex>. Искомая окружность может измениться только в том случае, когда эта удаленная точка лежала на границе, а вероятность этого <tex> 2 / i </tex> (так как точек, которые образуют нашу окружность не более трех. при этом одна из этих трех точек - <tex> q </tex>).   
 
Рассмотрим некоторое множество <tex> P = \{p_1, ... p_i \} </tex> и точку <tex> q </tex>, которая лежит на границе построенной охватывающей окружности.  Тогда попробуем удалить одну точку из набора <tex> P </tex>. Искомая окружность может измениться только в том случае, когда эта удаленная точка лежала на границе, а вероятность этого <tex> 2 / i </tex> (так как точек, которые образуют нашу окружность не более трех. при этом одна из этих трех точек - <tex> q </tex>).   
  
То оценим время работы MinDiscWithPoint c помощью доказанного выше факта.  На каждой итерации цикла будет происходить проверка, которая пройдет в "else" с вероятностью <tex> 2 / i </tex>. А сложность работы каждого "else" - <tex> O(i) </tex>. То суммарное время работы MinDiscWithPoint вычисляется следующим образом:
+
То оценим время работы MinDiscWithPoint c помощью доказанного выше факта.  На каждой итераций цикла будет происходить проверка, которая пройдет в "else" с вероятностью <tex> 2 / i </tex>. А сложность работы каждого "else" - <tex> O(i) </tex>. То суммарное время работы MinDiscWithPoint вычисляется следующим образом:
  
 
<tex> O(n) + \sum_{i=1}^{n} O(i) * (2 / i ) = O(n) </tex>.
 
<tex> O(n) + \sum_{i=1}^{n} O(i) * (2 / i ) = O(n) </tex>.

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, используемые на этой странице: