Просмотр исходного текста страницы Минимизация ДКА, алгоритм Хопкрофта (сложность O(n log n))

Пусть дан автомат, распознающий определенный язык. Требуется найти [[ Эквивалентность_состояний_ДКА | эквивалентный автомат]] с наименьшим количеством состояний.

== Минимизация ДКА ==
Если в ДКА существуют два [[ Эквивалентность_состояний_ДКА | эквивалентных состояния]], то при их объединении мы получим [[ Эквивалентность_состояний_ДКА | эквивалентный ДКА]], так как распознаваемый язык не изменится. Основная идея минимизации состоит в разбиении множества состояний на классы эквивалентности, полученные классы и будут состояниями минимизированного ДКА. 

== Простой алгоритм ==
{{Определение
|definition =
Класс <tex>C</tex> '''разбивает''' класс <tex>R</tex> по символу <tex>a</tex> на <tex>R_1</tex> и <tex>R_2</tex>, если 
# <tex>\forall r \in R_1 \,\,\, \delta(r, a) \in C</tex> 
# <tex>\forall r \in R_2 \,\,\, \delta(r, a) \notin C</tex> 
}} 
Если класс <tex>R</tex> может быть разбит по символу <tex>a</tex>, то он содержит хотя бы одну пару неэквивалентных состояний (так как существует строка которая их различает). Если класс нельзя разбить, то он состоит из эквивалентных состояний.
Поэтому самый простой алгоритм состоит в том, чтобы разбивать классы текущего разбиения до тех пор пока это возможно. 

Итеративно строим разбиение множества состояний следующим образом.
# Первоначальное разбиение множества состояний {{---}} класс допускающих состояний <tex>F</tex> и класс недопускающих состояний (<tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ \mathtt{F, Q} \setminus \mathtt{F} \}</tex>).
# Перебираются символы алфавита <tex>c \in \Sigma</tex>, все пары <tex>(F, c)</tex> и <tex>(Q \setminus F, c)</tex> помещаются в очередь.
# Из очереди извлекается пара <tex>(C, a)</tex>, <tex>C</tex> далее именуется как сплиттер.
# Каждый класс <tex>R</tex> текущего разбиения разбиваются на 2 подкласса (один из которых может быть пустым). Первый состоит из состояний, которые по символу <tex>a</tex> переходят в сплиттер (<tex>R_1</tex>), а второй из всех оставшихся (<tex>R_2</tex>). 
# Если <tex>R</tex> разбился на два непустых подкласса (т.е. <tex> R_1 \ne \emptyset</tex> and <tex>R_2 \ne \emptyset </tex>).
## В разбиении <tex>P</tex> класс <tex>R</tex> заменяется на свои подклассы <tex>R_1</tex> и <tex>R_2</tex>.
## Перебираются символы алфавита <tex>c \in \Sigma</tex>, все пары <tex>(R_1, c)</tex> и <tex>(R_2, c)</tex> помещаются в очередь.
# Пока очередь не пуста, выполняем п.3 – п.5.

===Псевдокод===
<tex>Q</tex> {{---}} множество состояний ДКА.
<tex>F</tex> {{---}} множество терминальных состояний.
<tex>S</tex> {{---}} очередь пар <tex>(C, a)</tex>.
<tex>P</tex> {{---}} разбиение множества состояний ДКА.
<tex>R</tex> {{---}} класс состояний ДКА.

  <tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ \mathtt{F, Q} \setminus \mathtt{F} \}</tex>
  <tex>\mathtt{S} \leftarrow \varnothing </tex>
  '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
    '''insert''' <tex>(\mathtt{F}, c)</tex> '''in''' <tex>\mathtt{S}</tex>
    '''insert''' <tex>(\mathtt{Q} \setminus \mathtt{F}, c)</tex> '''in''' <tex>\mathtt{S}</tex>
  '''while''' <tex>\mathtt{S} \ne \varnothing</tex>
    <tex>(C, a) \leftarrow</tex> '''pop''' '''from''' <tex>\mathtt{S}</tex>
    '''for''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex> 
      <tex> R_1, R_2 \leftarrow </tex> '''split'''(<tex>R, C, a</tex>)
      '''if''' <tex> R_1 \ne \varnothing </tex> '''and''' <tex> R_2 \ne \varnothing </tex>
       '''replace''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex> '''with''' <tex>R_1</tex> '''and''' <tex>R_2</tex>
       '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
        '''insert''' <tex>(R_1, c)</tex> '''in''' <tex>\mathtt{S}</tex>
        '''insert''' <tex>(R_2, c)</tex> '''in''' <tex>\mathtt{S}</tex>
Когда очередь <tex>S</tex> станет пустой, будет получено разбиение на классы эквивалентности, так как больше ни один класс невозможно разбить.

===Время работы===
Время работы алгоритма оценивается как <tex>O(|\Sigma| \cdot n^2)</tex>, где <tex> n </tex> {{---}} количество состояний ДКА, а <tex> \Sigma </tex>{{---}} алфавит. Это следует из того, что если пара <tex>(C, a)</tex> попала в очередь, и класс <tex>C</tex> использовался в качестве сплиттера, то при последующем разбиении этого класса в очередь добавляется два класса <tex>C_1</tex> и <tex>C_2</tex>, причем можно гарантировать лишь следующее уменьшение размера: <tex>|C| \ge |C_i| + 1</tex>. Каждое состояние изначально принадлежит лишь одному классу в очереди, поэтому каждый переход в автомате будет просмотрен не более, чем <tex>O(n)</tex> раз. Учитывая, что ребер всего <tex>O(|\Sigma| \cdot n)</tex>, получаем указанную оценку.

== Алгоритм Хопкрофта==
Рассмотрим алгоритм, позволяющий решить задачу быстрее, чем за <tex> O(n^2) </tex>.

{{Лемма
|statement = Класс <tex>R = R_1 \cup R_2</tex> и <tex>R_1 \cap R_2 = \varnothing</tex>, тогда разбиение классов (текущего разбиения) по символу <tex>a</tex> любыми двумя классами из <tex>R, R_1, R_2</tex> эквивалентно разбиению классов по символу <tex>a</tex> всеми тремя классами <tex>R, R_1, R_2</tex>.
|proof = 
Разобьем все классы с помощью <tex>R </tex> и <tex> R_1</tex> по символу <tex>a</tex>, тогда для любого класса <tex>B</tex> из текущего разбиения выполняется
:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R</tex> and <tex> \delta(r, a) \in R_1</tex> or 
:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R</tex> and <tex> \delta(r, a) \notin R_1</tex> or 
:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R</tex> and <tex> \delta(r, a) \notin R_1</tex>  
А так как <tex>R = R_1 \cup R_2</tex> и <tex>R_1 \cap R_2 = \varnothing</tex> то выполняется
:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R_2 </tex> or 
:<tex> \forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R_2</tex> 
Из этого следует, что разбиение всех классов с помощью <tex>R_2</tex> никак не повлияет на текущее разбиение. <br/>
Аналогично доказывается и для разбиения с помощью <tex>R </tex> и <tex> R_2</tex> по символу <tex>a</tex>. <br/>
Разобьем все классы с помощью <tex>R_1</tex> и <tex> R_2</tex> по символу <tex>a</tex>, тогда для любого класса <tex>B</tex> из текущего разбиения выполняется
:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R_1</tex> and <tex> \delta(r, a) \notin R_2</tex> or 
:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R_1</tex> and <tex> \delta(r, a) \in R_2</tex> or 
:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R_1</tex> and <tex> \delta(r, a) \notin R_2</tex>  
А так как <tex>R = R_1 \cup R_2</tex> и <tex>R_1 \cap R_2 = \varnothing</tex> то выполняется
:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R </tex> or 
:<tex> \forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R</tex> 
Из этого следует, что разбиение всех классов с помощью <tex>R</tex> никак не повлияет на текущее разбиение.
}}

Алгоритм Хопкрофта отличается от простого тем, что иначе добавляет пары в очередь.
После замены класса <tex>R</tex> в разбиении <tex>P</tex> на его подклассы <tex>R_1</tex> и <tex>R_2</tex>, как и раньше перебираем символы алфавита <tex>c \in \Sigma</tex>.

Если пара <tex>(R, c)</tex> уже есть в очереди, то согласно лемме можно просто заменить её на пары <tex>(R_1, c)</tex> и <tex>(R_2, c)</tex>.

Если пары <tex>(R, c)</tex> нет в очереди, то достаточно добавить любую из пар <tex>(R_1, c)</tex> и <tex>(R_2, c)</tex>. Это следует из следующих соображений: <tex>R</tex> может быть в разбиении только если в очередь были положены пары <tex>(R, a)</tex> для <tex>\forall a \in \Sigma</tex>, а поскольку в очереди пары <tex>(R, c)</tex> нет, то  мы её уже успели рассмотреть, следовательно классы из разбиения <tex>P</tex> уже были разбиты по <tex>(R, c)</tex>.

=== Реализация ===
<tex>pushSetsToQueue(S, R_1, R_2, c)</tex> {{---}} функция, которая добавляет одно из <tex>(R_1, c)</tex>, <tex>(R_2, c)</tex> в очередь S.

<tex>Q</tex> {{---}} множество состояний ДКА.
<tex>F</tex> {{---}} множество терминальных состояний.
<tex>S</tex> {{---}} очередь пар <tex>(C, a)</tex>.
<tex>P</tex> {{---}} разбиение множества состояний ДКА.
<tex>R</tex> {{---}} класс состояний ДКА.

  <tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ \mathtt{F, Q} \setminus \mathtt{F} \}</tex>
  <tex>\mathtt{S} \leftarrow \varnothing </tex>
  '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
    <tex>pushSetsToQueue(S, F, Q \setminus F, c)</tex>
  '''while''' <tex>\mathtt{S} \ne \varnothing</tex>
    <tex>(C, a) \leftarrow</tex> '''pop''' '''from''' <tex>\mathtt{S}</tex>
    '''for''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex> 
      <tex> R_1, R_2 \leftarrow </tex> '''split'''(<tex>R, C, a</tex>)
      '''if''' <tex> R_1 \ne \varnothing </tex> '''and''' <tex> R_2 \ne \varnothing </tex>
       '''replace''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex> '''with''' <tex>R_1</tex> '''and''' <tex>R_2</tex>
       '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
        <tex>pushSetsToQueue(S, R_1, R_2, c)</tex>

Понятно, что нам нет никакой необходимости просматривать все классы в разбиении. Вполне достаточно рассмотреть лишь те классы, из состояний которых есть хотя бы одно ребро в состояния сплиттера. Обозначим множество таких классов за T' (его нужно будет эффективно находить для каждой пары <tex>(C, a)</tex>).

  <tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ \mathtt{F, Q} \setminus \mathtt{F} \}</tex>
  <tex>\mathtt{S} \leftarrow \varnothing </tex>
  '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
    <tex>pushSetsToQueue(S, F, Q \setminus F, c)</tex>
  '''while''' <tex>\mathtt{S} \ne \varnothing</tex>
    <tex>(C, a) \leftarrow</tex> '''pop''' '''from''' <tex>\mathtt{S}</tex>
    <tex>\mathtt{Inverse} \leftarrow \{r \ | \ r \in \mathtt{Q}, \ \delta(r, a) \in C\}</tex>
    <tex>T' \leftarrow \{R \ | \ R \in \mathtt{P}, \ R \cap \mathtt{Inverse} \neq \varnothing\}</tex>
    '''for''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>T'</tex> 
      <tex> R_1, R_2 \leftarrow </tex> '''split'''(<tex>R, C, a</tex>)
      '''if''' <tex> R_1 \ne \varnothing </tex> '''and''' <tex> R_2 \ne \varnothing </tex>
       '''replace''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex> '''with''' <tex>R_1</tex> '''and''' <tex>R_2</tex>
       '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
        <tex>pushSetsToQueue(S, R_1, R_2, c)</tex>


Каждая итерация цикла <tex> \mathrm{while} </tex> может быть выполнена за <tex> O(|Q| + |\mathtt{Inverse}|) </tex> для текущей пары <tex> (C,a)</tex>. Покажем, как можно достичь этой оценки.

Классы разбиения <tex>P</tex> будем поддерживать с помощью множеств на хэш-таблицах (само же разбиение - обычный вектор, индекс - номер класса). Это позволит нам эффективно переносить состояния из одного класса в другой (за O(1)).

*<tex>\mathtt{Class}[r]</tex> {{---}} номер класса, которому принадлежит состояние <tex>r</tex>
*<tex>\mathtt{Card}[i]</tex> {{---}} размер класса <tex>i</tex>
*<tex>\mathtt{Queue}</tex> {{---}} очередь пар <tex>(C, a)</tex>, где <tex>C</tex> - номер класса (сплиттера)
*<tex>\mathtt{InQueue}[C]</tex> {{---}} множество на хэш-таблице, содержащее символ <tex>a</tex>, если в очереди содержится пара <tex>(C, a)</tex>
*<tex>\mathtt{Inv}[r][a]</tex> {{---}} массив состояний, из которых есть ребра по символу <tex>a</tex> в состояние <tex>r</tex> (мы не меняем исходный автомат, потому может быть построен раз перед началом работы алгоритма)

Для обработки <tex>T'</tex> за <tex>O(|Q| + |\mathtt{Inverse}|)</tex> нам понадобится следующая структура:
*<tex>\mathtt{Counter}</tex> {{---}} количество классов;
*<tex>\mathtt{Involved}</tex> {{---}} список из номеров классов, содержащихся во множестве <tex>T'</tex>;
*<tex>\mathtt{Size}</tex> {{---}} целочисленный массив, где <tex>\mathtt{Size}[i]</tex> хранит количество состояний из класса <tex>i</tex>, которые содержатся в <tex>\mathtt{Inverse}</tex>;
*<tex>\mathtt{Twin}</tex> {{---}} массив, хранящий в <tex>\mathtt{Twin}[i]</tex> номер нового класса, образовавшегося при разбиении класса <tex>i</tex>. 

  //Добавим <tex> F, Q \setminus F </tex> в <tex> \mathtt{Queue} </tex>, <tex>\mathtt{InQueue}</tex>
  '''while''' <tex>\mathtt{Queue} \ne \varnothing</tex>
    <tex>(C, a) \leftarrow</tex> '''pop''' '''from''' <tex>\mathtt{Queue}</tex>
    <tex>\mathtt{Involved} \leftarrow \varnothing</tex>
    '''for''' <tex>q \in C</tex> '''and''' <tex>r \in \mathtt{Inv}[q][a]</tex>
      <tex>i = \mathtt{Class}[r]</tex>
      '''if''' <tex>\mathtt{Size}[i] == 0</tex>
        '''insert''' <tex>i</tex> '''in''' <tex>\mathtt{Involved}</tex>
      <tex>\mathtt{Size}[i]++</tex>
    '''for''' <tex> i \in \mathtt{Involved}</tex>
    	'''if''' <tex>\mathtt{Size}[i] < \mathtt{Card}[i]</tex>
    		<tex>\mathtt{Size}[i] = -1</tex> //Пометим сразу, т.к. в следующем цикле классы уже будут менятся
    '''for''' <tex>q \in C</tex> '''and''' <tex>r \in \mathtt{Inv}[q][a]</tex>
      <tex>i = \mathtt{Class}[r]</tex>
      '''if''' <tex>\mathtt{Size}[i] == -1</tex>
        '''if''' <tex>\mathtt{Twin}[i] == 0</tex>
          <tex>\mathtt{Counter}++</tex>
          <tex>\mathtt{Twin[i]} = \mathtt{Counter}</tex>
        '''move''' <tex>r</tex> '''from''' <tex>i</tex> '''to''' <tex>\mathtt{Twin}[i]</tex>
    '''for''' <tex> j \in \mathtt{Involved}</tex>
      '''if''' <tex> \mathtt{Twin}[j] \neq 0 </tex>
          '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
            <tex>pushSetsToQueue(\mathtt{Queue}, j, \mathtt{Twin}[j], c)</tex>
      <tex>\mathtt{Size}[j] = 0</tex>
      <tex>\mathtt{Twin}[j] = 0</tex>
    '''remove''' <tex>a</tex> '''from''' <tex>\mathtt{InQueue}[C]</tex>

Стоит отметить, что массивы <tex>\mathtt{Size}, \mathtt{Twin}</tex> аллоцируются ровно один раз при инициализации алгоритма.

Осталось только реализовать <tex>pushSetsToQueue</tex>. 
  <tex>pushSetsToQueue(\mathtt{Queue}, R_1, R_2, c)</tex>:
      <tex>cnt1  \leftarrow  \mathtt{Card}[R_1]</tex> 
      <tex>cnt2  \leftarrow  \mathtt{Card}[R_2]</tex> 
      '''if''' <tex> \lnot ( \mathtt{InQueue}[R_1] </tex> '''contains''' <tex> c) </tex> '''and''' <tex> cnt1 <= cnt2 </tex>
        '''push''' <tex>(R_1, c)</tex> '''to''' <tex>\mathtt{Queue}</tex>
        '''insert''' <tex> c </tex> '''into''' <tex>\mathtt{InQueue}[R_1]</tex>
      '''else'''
        '''push''' <tex>(R_2, c)</tex> '''to''' <tex>\mathtt{Queue}</tex>
        '''insert''' <tex> c </tex> '''into''' <tex>\mathtt{InQueue}[R_2]</tex>

===Время работы===

{{Лемма
|about = 1
|id = Лемма1
|statement =
Количество классов, созданных во время выполнения алгоритма, не превышает <tex>2 |Q| - 1</tex>.
|proof =
Представим дерево, которое соответствует операциям разделения классов на подклассы. Корнем этого дерева является все множество состояний <tex>Q</tex>. Листьями являются классы эквивалентности, оставшиеся после работы алгоритма. Так как дерево бинарное {{---}} каждый класс может породить лишь два новых, а количество листьев не может быть больше <tex>|Q|</tex>, то количество узлов этого дерева не может быть больше <tex>2 |Q| - 1</tex>, что доказывает утверждение леммы.
}}

{{Лемма
|about = 2
|id = Лемма2
|statement = 
Количество итераций цикла <tex>\mathrm{while}</tex> не превышает <tex> 2 |\Sigma| |Q| </tex>.
|proof =
Для доказательства этого утверждения достаточно показать, что количество пар <tex>(C,a)</tex> добавленных в очередь <tex>S</tex> не превосходит <tex> 2 |\Sigma| |Q| </tex>, так как на каждой итерации мы извлекаем одну пару из очереди.

По [[#Лемма1 | лемме(1)]] количество классов не превосходит <tex>2 |Q| - 1</tex>. Пусть <tex>C</tex> элемент текущего разбиения. Тогда количество пар <tex>(C,a), \ a \in \Sigma</tex> не может быть больше <tex>|\Sigma|</tex>. Отсюда следует, что всего различных пар, которые можно добавить в очередь, не превосходит <tex> 2 |\Sigma| |Q| </tex>.
}}

{{Лемма
|about = 3
|id = Лемма3
|statement = 
Пусть <tex>a \in \Sigma</tex> и <tex>p \in Q</tex>. Тогда количество пар <tex>(C,a)</tex>, где <tex>p \in C</tex>, которые мы удалим из очереди, не превосходит <tex>\log_2(|Q|)</tex> для фиксированных <tex>a</tex> и <tex>p</tex>.
|proof =
Рассмотрим пару <tex>(C,a)</tex>, где <tex>p \in C</tex>, которую мы удаляем из очереди. И пусть <tex>(C',a)</tex> следующая пара, где <tex>p \in C'</tex> и которую мы удалим из очереди. Согласно нашему алгоритму класс <tex>C'</tex> мог появиться в очереди только после операции <tex>\mathtt{replace}</tex>. Но после первого же разбиения класса <tex>C</tex> на подклассы мы добавим в очередь пару <tex>(C'', a)</tex>, где <tex>C''</tex> меньший из образовавшихся подклассов, то есть <tex>|C''| \leqslant |C| \ / \ 2</tex>. Так же заметим, что <tex>C' \subseteq C''</tex>, а следовательно <tex>|C'| \leqslant |C| \ / \ 2</tex>. Но тогда таких пар не может быть больше, чем <tex>\log_2(|Q|)</tex>. 
}}

{{Лемма
|about = 4
|id = Лемма4
|statement = 
<tex>\sum |\mathtt{Inverse}|</tex> по всем итерациям цикла <tex>\mathrm{while}</tex> не превосходит <tex>|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|)</tex>.
|proof =
Пусть <tex>x, y \in Q</tex>, <tex>a \in \Sigma</tex> и <tex> \delta(x, a) = y</tex>. Зафиксируем эту тройку. Заметим, что количество раз, которое <tex>x</tex> встречается в <tex>\mathtt{Inverse}</tex> при условии, что <tex> \delta(x, a) = y</tex>, совпадает с числом удаленных из очереди пар <tex>(C, a)</tex>, где <tex>y \in C</tex>. Но по [[#Лемма3 | лемме(3)]] эта величина не превосходит <tex>\log_2(|Q|)</tex>. Просуммировав по всем <tex> x \in Q </tex> и по всем <tex> a \in \Sigma</tex> мы получим утверждение леммы.
}}

{{Теорема
|statement =
Время работы алгоритма Хопкрофта равно <tex>O(|\Sigma| |Q| \log(|Q|)</tex>.
|proof =
Оценим, сколько времени занимает каждая часть алгоритма:

*Построение массива <tex>\mathtt{Inv}</tex> занимает <tex>O(|\Sigma| |Q|)</tex> времени. 

*По [[#Лемма2 | второй лемме]] количество итераций цикла <tex>\mathrm{while}</tex> не превосходит <tex>O(|\Sigma| |Q|)</tex>.

*Операции с множеством <tex>T'</tex> и разбиение классов на подклассы требуют <tex>O(\sum(|\mathtt{Inverse}|))</tex> времени. Но по [[#Лемма4 | лемме(4)]] <tex>\sum(|\mathtt{Inverse}|)</tex> не превосходит <tex>|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|)</tex>, то есть данная часть алгоритма выполняется за <tex>O(|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|))</tex>.

*В [[#Лемма1 | лемме(1)]] мы показали, что в процессе работы алгоритма не может появится больше, чем <tex>2 |Q| - 1</tex> классов, из чего следует, что количество операций <tex>\mathtt{replace}</tex> равно <tex>O(|\Sigma| |Q|)</tex>.

Итого, получается, что время работы алгоритма Хопкрофта не превышает <tex> O(|\Sigma| |Q|) + O(|\Sigma| |Q|) + O(|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|)) + O(|\Sigma| |Q|) = O(|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|))</tex>.
}}

== Сравнение с алгоритмом из оригинальной статьи Хопкрафта ==

В [http://i.stanford.edu/pub/cstr/reports/cs/tr/71/190/CS-TR-71-190.pdf оригинальной статье] использовалась дополнительная структура, которую мы обозначим, как <tex>\mathtt{ClassInv}</tex>, в <tex>\mathtt{ClassInv}[C][a]</tex> будем хранить множество состояний, из которых есть ребро по символу <tex>a</tex> в состояние <tex>C</tex> (аналогично <tex>Inv</tex>, только для классов).

<tex>\mathtt{ClassInv}[C][a] = \{ s | \mathtt{Class}[s] == C </tex> and <tex> \delta^{-1} (s, a) \neq \emptyset \}</tex>

<tex>pushSetsToQueue</tex> реализуем так:

<tex>pushSetsToQueue(\mathtt{Queue}, R_1, R_2, c)</tex>:
  <tex>cnt1  \leftarrow  \mathtt{ClassInv}[R_1][c]</tex> 
  <tex>cnt2  \leftarrow  \mathtt{ClassInv}[R_2][c]</tex> 
  '''if''' <tex> \lnot ( \mathtt{InQueue}[R_1] </tex> '''contains''' <tex> c) </tex> '''and''' <tex> cnt1 <= cnt2 </tex>
    '''push''' <tex>(R_1, c)</tex> '''to''' <tex>\mathtt{Queue}</tex>
    '''insert''' <tex> c </tex> '''into''' <tex>\mathtt{InQueue}[R_1]</tex>
  '''else'''
    '''push''' <tex>(R_2, c)</tex> '''to''' <tex>\mathtt{Queue}</tex>
    '''insert''' <tex> c </tex> '''into''' <tex>\mathtt{InQueue}[R_2]</tex>

Циклы

	'''for''' <tex>q \in C</tex> '''and''' <tex>r \in \mathtt{Inv}[q][a]</tex>
		<tex>(...)</tex>

реализуются

	'''for''' <tex>q \in \mathtt{ClassInv}[C][a]</tex> '''and''' <tex>r \in \mathtt{Inv}[q][a]</tex>
		<tex>(...)</tex>'

Тогда время работы внутреннего цикла можно будет оценить как <tex>O(|\mathtt{ClassInv}[C][a]| + |\mathtt{Inverse}|)</tex>. А реализация <tex>pushSetsToQueue</tex> выбирает множество, на котором <tex>O(|\mathtt{ClassInv}[C][a]|)</tex> будет меньшим.

Кроме того, вместо хэш-таблиц для хранения множеств (<tex>\mathtt{ClassInv}</tex>, разбиение <tex>P</tex>) можно использовать комбинацию из двусвязного списка и вектора (добавление/удаление через список, поиск через вектор). Что и используется в оригинальной статье.

== Литература ==
* ''Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.'' Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2002. — С. 177 — ISBN 5-8459-0261-4 (рус.)
* ''D. Gries.'' Describing an algorithm by Hopcroft. Technical Report TR-72-151, Cornell University, December 1972.
* ''Hang Zhou.'' Implementation of Hopcroft's Algorithm, 19 December 2009.
* [http://i.stanford.edu/pub/cstr/reports/cs/tr/71/190/CS-TR-71-190.pdf Оригинальная статья Хопкрофта]

[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Автоматы и регулярные языки]]