Редактирование: Минимизация ДКА, алгоритм Хопкрофта (сложность O(n log n))

# Первоначальное разбиение множества состояний {{---}} класс допускающих состояний <tex>F</tex> и класс недопускающих состояний (<tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F, \ Q \setminus F \}</tex>).

# Перебираются символы алфавита <tex>c \in \Sigma</tex>, все пары <tex>\langle F,\ c \rangle</tex> и <tex>\langle Q \setminus F, c \rangle</tex> помещаются в очередь.

# Из очереди извлекается пара <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>, <tex>C</tex> далее именуется как сплиттер.

# Каждый класс <tex>R</tex> текущего разбиения разбиваются на 2 подкласса (один из которых может быть пустым). Первый состоит из состояний, которые по символу <tex>a</tex> переходят в сплиттер <tex>(R_1)</tex>, а второй из всех оставшихся <tex>(R_2)</tex>.  

# Если <tex>R</tex> разбился на два непустых подкласса (то есть <tex> R_1 \ne \emptyset \ \land \  R_2 \ne \emptyset </tex>).

## Перебираются символы алфавита <tex>c \in \Sigma</tex>, все пары <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> и <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> помещаются в очередь.

*<tex>\mathtt{Q}</tex> {{---}} множество состояний ДКА,

*<tex>\mathtt{F}</tex> {{---}} множество терминальных состояний,

*<tex>\mathtt{S}</tex> {{---}} очередь пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>,

*<tex>\mathtt{P}</tex> {{---}} разбиение множества состояний ДКА,

*<tex>\mathtt{R}</tex> {{---}} класс состояний ДКА.

 

Время работы алгоритма оценивается как <tex>O(|\Sigma| \cdot n^2)</tex>, где <tex> n </tex> {{---}} количество состояний ДКА, а <tex> \Sigma </tex> {{---}} алфавит. Это следует из того, что если пара <tex>\langle C,\ a \rangle</tex> попала в очередь, и класс <tex>C</tex> использовался в качестве сплиттера, то при последующем разбиении этого класса в очередь добавляется два класса <tex>C_1</tex> и <tex>C_2</tex>, причем можно гарантировать лишь следующее уменьшение размера: <tex>|C| \geqslant |C_i| + 1</tex>. Каждое состояние изначально принадлежит лишь одному классу в очереди, поэтому каждый переход в автомате будет просмотрен не более, чем <tex>O(n)</tex> раз. Учитывая, что ребер всего <tex>O(|\Sigma| \cdot n)</tex>, получаем указанную оценку.

:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R \ \land \  \delta(r, a) \in R_1 \ \lor</tex>

:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R \ \land \  \delta(r, a) \notin R_1 \ \lor</tex>

:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R \ \land \  \delta(r, a) \notin R_1</tex>   

:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R_2 \ \lor</tex>

:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R_1 \ \land \  \delta(r, a) \notin R_2 \ \lor</tex>

:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R_1 \ \land \  \delta(r, a) \in R_2 \ \lor</tex>

:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R_1 \ \land \  \delta(r, a) \notin R_2</tex>   

:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R \ \lor</tex>

:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R</tex>  

Если пара <tex>\langle R,\ c \rangle</tex> уже есть в очереди, то согласно лемме можно просто заменить её на пары <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> и <tex>\langle R_2, c \rangle</tex>.

Если пары <tex>\langle R,\ c \rangle</tex> нет в очереди, то достаточно добавить любую из пар <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> и <tex>\langle R_2, c \rangle</tex>. Это следует из следующих соображений: <tex>R</tex> может быть в разбиении только если в очередь были положены пары <tex>\langle R,\ a \rangle</tex> для <tex>\forall a \in \Sigma</tex>, а поскольку в очереди пары <tex>\langle R,\ c \rangle</tex> нет, то  мы её уже успели рассмотреть, следовательно классы из разбиения <tex>P</tex> уже были разбиты по <tex>\langle R,\ c \rangle</tex>.

*<tex>\mathtt{Q}</tex> {{---}} множество состояний ДКА,

*<tex>\mathtt{F}</tex> {{---}} множество терминальных состояний,

*<tex>\mathtt{S}</tex> {{---}} очередь пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>,

*<tex>\mathtt{P}</tex> {{---}} разбиение множества состояний ДКА,

*<tex>\mathtt{R}</tex> {{---}} класс состояний ДКА.

   '''function''' findEquivalenceClasses<tex>(Q,\ F,\ \delta)</tex>: '''vector'''

    <tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F, \ Q \setminus F \}</tex>

    <tex>\mathtt{S} \leftarrow \varnothing </tex>

    '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>

      push <tex>\langle F,\ c \rangle</tex>, <tex>\langle Q \setminus F,\ c \rangle</tex> '''into''' <tex> \mathtt{S}</tex>

    '''while''' <tex>\mathtt{S} \ne \varnothing</tex>

      <tex>\langle C,\ a \rangle</tex> <tex>\leftarrow</tex> pop '''from''' <tex>\mathtt{S}</tex>

      '''for''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex>  

        <tex> R_1, R_2 \leftarrow </tex> <tex>\mathtt{split}(R,\ C,\ a)</tex>

        '''if''' <tex> R_1 \ne \varnothing </tex> '''and''' <tex> R_2 \ne \varnothing </tex>  

        replace <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex> with' <tex>R_1</tex> '''and''' <tex>R_2</tex>

        '''if''' <tex>\langle R,\ c \rangle</tex> '''in''' <tex> \mathtt{S}</tex> <font color=darkgreen>// смотрим, есть ли пара <tex>\langle R,\ c \rangle</tex> в очереди </font>

          remove <tex>\langle R, c \rangle</tex> '''from''' <tex>\mathtt{S}</tex> <font color=darkgreen>// заменяем её на пары <tex>\langle R_1, c \rangle</tex>, <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> если пара есть </font>

          push <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex>

          push <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex>

        '''else'''

            '''if''' <tex> |\mathtt{P}[R_1]| \leqslant |\mathtt{P}[R_2]| </tex> <font color=darkgreen>// вставляем любую иначе</font>

              push <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex>

              push <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex>

    '''return''' <tex>\mathtt{P}</tex>

Понятно, что нам нет никакой необходимости просматривать все классы в разбиении. Вполне достаточно рассмотреть лишь те классы, из состояний которых есть хотя бы одно ребро в состояния сплиттера. Обозначим множество таких классов за <tex>T'</tex> (его нужно будет эффективно находить для каждой пары <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>).

Каждая итерация цикла <tex> \mathrm{while} </tex> может быть выполнена за <tex> O(|Q| + |\mathtt{Inverse}|)\,</tex> для текущей пары <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>. Покажем, как можно достичь этой оценки.

Классы разбиения <tex>P</tex> будем поддерживать с помощью множеств на [[Хеш-таблица | хэш-таблицах]] (само же разбиение {{---}} обычный вектор, индекс {{---}} номер класса). Это позволит нам эффективно переносить состояния из одного класса в другой (за <tex>O(1)</tex>).

*<tex>\mathtt{Class}[r]</tex> {{---}} номер класса, которому принадлежит состояние <tex>r</tex>,

*<tex>\mathtt{Queue}</tex> {{---}} очередь пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>, где <tex>C</tex> {{---}} номер класса (сплиттера),

*<tex>\mathtt{Inv}[r][a]</tex> {{---}} массив состояний, из которых есть ребра по символу <tex>a</tex> в состояние <tex>r</tex> (мы не меняем исходный автомат, потому может быть построен раз перед началом работы алгоритма).

Для обработки <tex>T'</tex> за <tex>O(|Q| + |\mathtt{Inverse}|)\,</tex> нам понадобится следующая структура:

*<tex>\mathtt{Involved}</tex> {{---}} список из номеров классов, содержащихся во множестве <tex>T'</tex>,

*<tex>\mathtt{Count}</tex> {{---}} целочисленный массив, где <tex>\mathtt{Count}[i]</tex> хранит количество состояний из класса <tex>i</tex>, которые содержатся в <tex>\mathtt{Inverse}</tex>,

*<tex>\mathtt{Twin}</tex> {{---}} массив, хранящий в <tex>\mathtt{Twin}[i]</tex> номер нового класса, образовавшегося при разбиении класса <tex>i</tex>.

 

   '''function''' findEquivalenceClasses<tex>(Q,\ F,\ \delta)</tex>: '''vector'''

    '''while''' <tex>\mathtt{Queue} \ne \varnothing</tex>

      <tex>\langle C,\ a \rangle</tex> <tex>\leftarrow</tex> pop '''from''' <tex>\mathtt{Queue}</tex>

      <tex>\mathtt{Involved} \leftarrow \varnothing</tex>

      '''for''' <tex>q \in C</tex> '''and''' <tex>r \in \mathtt{Inv}[q][a]</tex>

        <tex>i = \mathtt{Class}[r]</tex>

        '''if''' <tex>\mathtt{Count}[i] == 0</tex>

          insert <tex>i</tex> '''into''' <tex>\mathtt{Involved}</tex>

        <tex>\mathtt{Count}[i]++</tex>

      '''for''' <tex> i \in \mathtt{Involved}</tex>

        '''if''' <tex>\mathtt{Count}[i] < |\mathtt{P}[i]|</tex>

            insert <tex>\{\}</tex> '''into''' <tex>\mathtt{P}</tex> <font color=darkgreen>// создадим пустой класс в разбиении <tex>\mathtt{P}</tex></font>

            <tex>\mathtt{Twin}[i] = |\mathtt{P}|</tex> <font color=darkgreen> //запишем в <tex>\mathtt{Twin[i]}</tex> индекс нового класса</font>

      '''for''' <tex>q \in C</tex> '''and''' <tex>r \in \mathtt{Inv}[q][a]</tex>

        <tex>i = \mathtt{Class}[r]</tex>

        '''if''' <tex>j \neq 0</tex>

            remove <tex>r</tex> '''from''' <tex>\mathtt{P}[i]</tex>

            add <tex>r</tex> '''to''' <tex>\mathtt{P}[j]</tex>

      '''for''' <tex> i \in \mathtt{Involved}</tex>

        <tex>j = \mathtt{Twin}[i]</tex>

        '''if''' <tex> j \neq 0 </tex>

          '''if''' <tex>|\mathtt{P}[j]| > |\mathtt{P}[i]|</tex> <font color=darkgreen>// парный класс должен быть меньшего размера</font>

            <tex>\mathtt{swap}(\mathtt{P}[i],\ \mathtt{P}[j])</tex> <font color=darkgreen>// swap за <tex>\mathtt{O(1)}</tex> {{---}} просто переставить указатели</font>

          '''for''' <tex>r \in \mathtt{P}[j]</tex> <font color=darkgreen> // обновляем номера классов для вершин, у которых они изменились</font>

            <tex>\mathtt{Class}[r] = j</tex>

          '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>

            push <tex>\langle j, c \rangle</tex> '''to''' <tex>\mathtt{Queue}</tex>

        <tex>\mathtt{Count}[i] = 0</tex>

        <tex>\mathtt{Twin}[i] = 0</tex>

    '''return''' <tex>\mathtt{P}</tex>

Стоит отметить, что массивы <tex>\mathtt{Count},\ \mathtt{Twin}\,</tex> аллоцируются ровно один раз при инициализации алгоритма.

 

Также стоит отметить, что собственно наличие/отсутствие пары в очереди можно не проверять. Если для некоторого <tex>c</tex> пара <tex>\langle i, c \rangle</tex> уже была в очереди, то мы добавим её "вторую половинку" <tex>\langle \mathtt{Twin}[i], c \rangle</tex>. Если её в очереди не было, то мы вольны сами выбирать, какой подкласс добавлять в очередь, и таким образом добавляем опять же <tex>\langle \mathtt{Twin}[i], c \rangle</tex>.

Для доказательства этого утверждения достаточно показать, что количество пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex> добавленных в очередь <tex>S</tex> не превосходит <tex> 2 |\Sigma| |Q| </tex>, так как на каждой итерации мы извлекаем одну пару из очереди.

По [[#Лемма1 | лемме(1)]] количество классов не превосходит <tex>2 |Q| - 1</tex>. Пусть <tex>C</tex> элемент текущего разбиения. Тогда количество пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>, <tex>\ a \in \Sigma</tex> не может быть больше <tex>|\Sigma|</tex>. Отсюда следует, что всего различных пар, которые можно добавить в очередь, не превосходит <tex> 2 |\Sigma| |Q| </tex>.

Пусть <tex>a \in \Sigma</tex> и <tex>p \in Q</tex>. Тогда количество пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>, где <tex>p \in C</tex>, которые мы удалим из очереди, не превосходит <tex>\log_2(|Q|)</tex> для фиксированных <tex>a</tex> и <tex>p</tex>.

Рассмотрим пару <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>, где <tex>p \in C</tex>, которую мы удаляем из очереди. И пусть <tex>\langle C',a \rangle</tex> следующая пара, где <tex>p \in C'</tex> и которую мы удалим из очереди. Согласно нашему алгоритму класс <tex>C'</tex> мог появиться в очереди только после операции <tex>\mathtt{replace}</tex>. Но после первого же разбиения класса <tex>C</tex> на подклассы мы добавим в очередь пару <tex>\langle C'', a \rangle</tex>, где <tex>C''</tex> меньший из образовавшихся подклассов, то есть <tex>|C''| \leqslant |C| \ / \ 2</tex>. Так же заметим, что <tex>C' \subseteq C''</tex>, а следовательно <tex>|C'| \leqslant |C| \ / \ 2</tex>. Но тогда таких пар не может быть больше, чем <tex>\log_2(|Q|)</tex>.  

Пусть <tex>x, y \in Q</tex>, <tex>a \in \Sigma</tex> и <tex> \delta(x, a) = y</tex>. Зафиксируем эту тройку. Заметим, что количество раз, которое <tex>x</tex> встречается в <tex>\mathtt{Inverse}\,</tex> при условии, что <tex> \delta(x, a) = y</tex>, совпадает с числом удаленных из очереди пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>, где <tex>y \in C</tex>. Но по [[#Лемма3 | лемме(3)]] эта величина не превосходит <tex>\log_2(|Q|)</tex>. Просуммировав по всем <tex> x \in Q </tex> и по всем <tex> a \in \Sigma</tex> мы получим утверждение леммы.

*Операции с множеством <tex>T'</tex> и разбиение классов на подклассы требуют <tex>O(\sum(|\mathtt{Inverse}|))\,</tex> времени. Но по [[#Лемма4 | лемме(4)]] <tex>\sum(|\mathtt{Inverse}|)\,</tex> не превосходит <tex>|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|)</tex>, то есть данная часть алгоритма выполняется за <tex>O(|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|))</tex>.

=== Альтернативная реализация ===

Все классы разбиения будем по-прежнему хранить в векторе хэш-сетов <tex>\mathtt{P}</tex>.

*<tex>\mathtt{Class}[r]</tex> {{---}} индекс класса в <tex>\mathtt{P}</tex>, которому принадлежит состояние <tex>r</tex>,

*<tex>\mathtt{Queue}</tex> {{---}} очередь из пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>,

*<tex>\mathtt{Inv}[r][a]</tex> {{---}} массив состояний, из которых есть ребра по символу <tex>a</tex> в состояние <tex>r</tex> (мы не меняем исходный автомат, потому может быть построен раз перед началом работы алгоритма),

*<tex>\mathtt{Involved}</tex> {{---}} ассоциативный массив из номеров классов в векторы из номеров вершин.

  <tex>\mathtt{findEquivalenceClasses}(Q,\ F,\ \delta)</tex>:

== См. также ==

== Источники информации ==

* [http://i.stanford.edu/pub/cstr/reports/cs/tr/71/190/CS-TR-71-190.pdf ''John Hopcroft'' An O(nlogn) algorithm for minimizing states in a finite automation]