Редактирование: Минимизация ДКА, алгоритм Хопкрофта (сложность O(n log n))

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 18: Строка 18:
 
# Перебираются символы алфавита <tex>c \in \Sigma</tex>, все пары <tex>\langle F,\ c \rangle</tex> и <tex>\langle Q \setminus F, c \rangle</tex> помещаются в очередь.
 
# Перебираются символы алфавита <tex>c \in \Sigma</tex>, все пары <tex>\langle F,\ c \rangle</tex> и <tex>\langle Q \setminus F, c \rangle</tex> помещаются в очередь.
 
# Из очереди извлекается пара <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>, <tex>C</tex> далее именуется как сплиттер.
 
# Из очереди извлекается пара <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>, <tex>C</tex> далее именуется как сплиттер.
# Каждый класс <tex>R</tex> текущего разбиения разбиваются на 2 подкласса (один из которых может быть пустым). Первый состоит из состояний, которые по символу <tex>a</tex> переходят в сплиттер <tex>(R_1)</tex>, а второй из всех оставшихся <tex>(R_2)</tex>.  
+
# Каждый класс <tex>R</tex> текущего разбиения разбиваются на 2 подкласса (один из которых может быть пустым). Первый состоит из состояний, которые по символу <tex>a</tex> переходят в сплиттер (<tex>R_1</tex>), а второй из всех оставшихся (<tex>R_2</tex>).  
# Если <tex>R</tex> разбился на два непустых подкласса (то есть <tex> R_1 \ne \emptyset \ \land \  R_2 \ne \emptyset </tex>).
+
# Если <tex>R</tex> разбился на два непустых подкласса (т.е. <tex> R_1 \ne \emptyset \ \land \  R_2 \ne \emptyset </tex>).
 
## В разбиении <tex>P</tex> класс <tex>R</tex> заменяется на свои подклассы <tex>R_1</tex> и <tex>R_2</tex>.
 
## В разбиении <tex>P</tex> класс <tex>R</tex> заменяется на свои подклассы <tex>R_1</tex> и <tex>R_2</tex>.
 
## Перебираются символы алфавита <tex>c \in \Sigma</tex>, все пары <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> и <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> помещаются в очередь.
 
## Перебираются символы алфавита <tex>c \in \Sigma</tex>, все пары <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> и <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> помещаются в очередь.
Строка 25: Строка 25:
  
 
===Псевдокод===
 
===Псевдокод===
*<tex>\mathtt{Q}</tex> {{---}} множество состояний ДКА,
+
*<tex>Q</tex> {{---}} множество состояний ДКА.
*<tex>\mathtt{F}</tex> {{---}} множество терминальных состояний,
+
*<tex>F</tex> {{---}} множество терминальных состояний.
*<tex>\mathtt{\delta}</tex> {{---}} функция перехода (<tex>\delta (r,\ a)</tex> {{---}} состояние, в которое можно совершить переход из <tex>r</tex> по символу <tex>a</tex>),
+
*<tex>\delta</tex> {{---}} функция перехода (<tex>\delta (r,\ a)</tex> {{---}} состояние, в которое можно совершить переход из <tex>r</tex> по символу <tex>a</tex>)
*<tex>\mathtt{S}</tex> {{---}} очередь пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>,
+
*<tex>S</tex> {{---}} очередь пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>.
*<tex>\mathtt{P}</tex> {{---}} разбиение множества состояний ДКА,
+
*<tex>P</tex> {{---}} разбиение множества состояний ДКА.
*<tex>\mathtt{R}</tex> {{---}} класс состояний ДКА.
+
*<tex>R</tex> {{---}} класс состояний ДКА.
  
   '''function''' findEquivalenceClasses<tex>(Q,\ F,\ \delta)</tex>: '''vector'''
+
   <tex>\mathtt{findEquivalenceClasses}(Q,\ F,\ \delta)</tex>:
 
     <tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F,\ Q \setminus F \}</tex>
 
     <tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F,\ Q \setminus F \}</tex>
 
     <tex>\mathtt{S} \leftarrow \varnothing </tex>
 
     <tex>\mathtt{S} \leftarrow \varnothing </tex>
 
     '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
 
     '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
       push <tex>\langle F,\ c \rangle</tex>, <tex>\langle Q \setminus F,\ c \rangle</tex> '''into''' <tex> \mathtt{S}</tex>
+
       '''push''' <tex>\langle F,\ c \rangle</tex>, <tex>\langle Q \setminus F,\ c \rangle</tex> '''into''' <tex> \mathtt{S}</tex>
 
     '''while''' <tex>\mathtt{S} \ne \varnothing</tex>
 
     '''while''' <tex>\mathtt{S} \ne \varnothing</tex>
       <tex>\langle C,\ a \rangle</tex> <tex>\leftarrow</tex> pop '''from''' <tex>\mathtt{S}</tex>
+
       <tex>\langle C,\ a \rangle</tex> <tex>\leftarrow</tex> '''pop''' '''from''' <tex>\mathtt{S}</tex>
 
       '''for''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex>  
 
       '''for''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex>  
 
         <tex> R_1, R_2 \leftarrow </tex> <tex>\mathtt{split}(R,\ C,\ a)</tex>
 
         <tex> R_1, R_2 \leftarrow </tex> <tex>\mathtt{split}(R,\ C,\ a)</tex>
 
         '''if''' <tex> R_1 \ne \varnothing </tex> '''and''' <tex> R_2 \ne \varnothing </tex>
 
         '''if''' <tex> R_1 \ne \varnothing </tex> '''and''' <tex> R_2 \ne \varnothing </tex>
          replace <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex> with <tex>R_1</tex> '''and''' <tex>R_2</tex>
+
        '''replace''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex> '''with''' <tex>R_1</tex> '''and''' <tex>R_2</tex>
          '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
+
        '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
            insert <tex>\langle R_1,\ c \rangle</tex> '''in''' <tex>\mathtt{S}</tex>
+
          '''insert''' <tex>\langle R_1,\ c \rangle</tex> '''in''' <tex>\mathtt{S}</tex>
            insert <tex>\langle R_2,\ c \rangle</tex> '''in''' <tex>\mathtt{S}</tex>
+
          '''insert''' <tex>\langle R_2,\ c \rangle</tex> '''in''' <tex>\mathtt{S}</tex>
 
     '''return''' <tex>\mathtt{P}</tex>
 
     '''return''' <tex>\mathtt{P}</tex>
  
Строка 86: Строка 86:
  
 
=== Реализация ===
 
=== Реализация ===
 +
<tex>\mathtt{pushSetsToQueue}(S,\ R_1,\ R_2,\ c)</tex> {{---}} функция, которая добавляет одну из пар <tex>\langle R_1, c \rangle</tex>, <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> в очередь S.
  
*<tex>\mathtt{Q}</tex> {{---}} множество состояний ДКА,
+
*<tex>Q</tex> {{---}} множество состояний ДКА.
*<tex>\mathtt{F}</tex> {{---}} множество терминальных состояний,
+
*<tex>F</tex> {{---}} множество терминальных состояний.
*<tex>\mathtt{\delta}</tex> {{---}} функция перехода (<tex>\delta (r,\ a)</tex> {{---}} состояние, в которое можно совершить переход из <tex>r</tex> по символу <tex>a</tex>),
+
*<tex>\delta</tex> {{---}} функция перехода (<tex>\delta (r,\ a)</tex> - состояние, в которое можно совершить переход из <tex>r</tex> по символу <tex>a</tex>)
*<tex>\mathtt{S}</tex> {{---}} очередь пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>,
+
*<tex>S</tex> {{---}} очередь пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>.
*<tex>\mathtt{P}</tex> {{---}} разбиение множества состояний ДКА,
+
*<tex>P</tex> {{---}} разбиение множества состояний ДКА.
*<tex>\mathtt{R}</tex> {{---}} класс состояний ДКА.
+
*<tex>R</tex> {{---}} класс состояний ДКА.
  
   '''function''' findEquivalenceClasses<tex>(Q,\ F,\ \delta)</tex>: '''vector'''
+
   <tex>\mathtt{findEquivalenceClasses}(Q,\ F,\ \delta)</tex>:
 
     <tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F, \ Q \setminus F \}</tex>
 
     <tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F, \ Q \setminus F \}</tex>
 
     <tex>\mathtt{S} \leftarrow \varnothing </tex>
 
     <tex>\mathtt{S} \leftarrow \varnothing </tex>
 
     '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
 
     '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
       push <tex>\langle F,\ c \rangle</tex>, <tex>\langle Q \setminus F,\ c \rangle</tex> '''into''' <tex> \mathtt{S}</tex>
+
       '''push''' <tex>\langle F,\ c \rangle</tex>, <tex>\langle Q \setminus F,\ c \rangle</tex> '''into''' <tex> \mathtt{S}</tex>
 
     '''while''' <tex>\mathtt{S} \ne \varnothing</tex>
 
     '''while''' <tex>\mathtt{S} \ne \varnothing</tex>
       <tex>\langle C,\ a \rangle</tex> <tex>\leftarrow</tex> pop '''from''' <tex>\mathtt{S}</tex>
+
       <tex>\langle C,\ a \rangle</tex> <tex>\leftarrow</tex> '''pop''' '''from''' <tex>\mathtt{S}</tex>
 
       '''for''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex>  
 
       '''for''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex>  
 
         <tex> R_1, R_2 \leftarrow </tex> <tex>\mathtt{split}(R,\ C,\ a)</tex>
 
         <tex> R_1, R_2 \leftarrow </tex> <tex>\mathtt{split}(R,\ C,\ a)</tex>
         '''if''' <tex> R_1 \ne \varnothing </tex> '''and''' <tex> R_2 \ne \varnothing </tex>  
+
         '''if''' <tex> R_1 \ne \varnothing </tex> '''and''' <tex> R_2 \ne \varnothing </tex>
         replace <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex> with' <tex>R_1</tex> '''and''' <tex>R_2</tex>
+
         '''replace''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex> '''with''' <tex>R_1</tex> '''and''' <tex>R_2</tex>
         '''if''' <tex>\langle R,\ c \rangle</tex> '''in''' <tex> \mathtt{S}</tex> <font color=darkgreen>// смотрим, есть ли пара <tex>\langle R,\ c \rangle</tex> в очереди </font>
+
         '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
          remove <tex>\langle R, c \rangle</tex> '''from''' <tex>\mathtt{S}</tex> <font color=darkgreen>// заменяем её на пары <tex>\langle R_1, c \rangle</tex>, <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> если пара есть </font>
+
          <tex>\mathtt{pushSetsToQueue}(S,\ R_1,\ R_2,\ c)</tex>
          push <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex>
 
          push <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex>
 
        '''else'''
 
            '''if''' <tex> |\mathtt{P}[R_1]| \leqslant |\mathtt{P}[R_2]| </tex> <font color=darkgreen>// вставляем любую иначе</font>
 
              push <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex>
 
            '''else'''
 
              push <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex>
 
 
     '''return''' <tex>\mathtt{P}</tex>
 
     '''return''' <tex>\mathtt{P}</tex>
 
 
 
       
 
  
 
Понятно, что нам нет никакой необходимости просматривать все классы в разбиении. Вполне достаточно рассмотреть лишь те классы, из состояний которых есть хотя бы одно ребро в состояния сплиттера. Обозначим множество таких классов за <tex>T'</tex> (его нужно будет эффективно находить для каждой пары <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>).
 
Понятно, что нам нет никакой необходимости просматривать все классы в разбиении. Вполне достаточно рассмотреть лишь те классы, из состояний которых есть хотя бы одно ребро в состояния сплиттера. Обозначим множество таких классов за <tex>T'</tex> (его нужно будет эффективно находить для каждой пары <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>).
  
   '''function''' findEquivalenceClasses<tex>(Q,\ F,\ \delta)</tex>: '''vector'''
+
   <tex>\mathtt{findEquivalenceClasses}(Q,\ F,\ \delta)</tex>:
 
     <tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F, \ Q \setminus F \}</tex>
 
     <tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F, \ Q \setminus F \}</tex>
 
     <tex>\mathtt{S} \leftarrow \varnothing </tex>
 
     <tex>\mathtt{S} \leftarrow \varnothing </tex>
 
     '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
 
     '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
       push <tex>\langle F,\ c \rangle</tex>, <tex>\langle Q \setminus F,\ c \rangle</tex> '''into''' <tex> \mathtt{S}</tex>
+
       '''push''' <tex>\langle F,\ c \rangle</tex>, <tex>\langle Q \setminus F,\ c \rangle</tex> '''into''' <tex> \mathtt{S}</tex>
 
     '''while''' <tex>\mathtt{S} \ne \varnothing</tex>
 
     '''while''' <tex>\mathtt{S} \ne \varnothing</tex>
       <tex>\langle C,\ a \rangle</tex> <tex>\leftarrow</tex> pop '''from''' <tex>\mathtt{S}</tex>
+
       <tex>\langle C,\ a \rangle</tex> <tex>\leftarrow</tex> '''pop''' '''from''' <tex>\mathtt{S}</tex>
 
       <tex>\mathtt{Inverse} \leftarrow \{r \ | \ r \in Q, \ \delta(r, a) \in C\}</tex>
 
       <tex>\mathtt{Inverse} \leftarrow \{r \ | \ r \in Q, \ \delta(r, a) \in C\}</tex>
       <tex>T' \leftarrow \{R \ | \ R \in \mathtt{P}, \ R \cap \mathtt{Inverse} \neq \varnothing\}</tex> <font color=darkgreen>// находим классы, из состояний которых есть ребро в состояния сплиттера </font>
+
       <tex>T' \leftarrow \{R \ | \ R \in \mathtt{P}, \ R \cap \mathtt{Inverse} \neq \varnothing\}</tex>
       '''for''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>T'</tex> <font color=darkgreen>// перебираем только классы входящие в <tex>T'</tex></font>
+
       '''for''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>T'</tex>  
 
         <tex> R_1, R_2 \leftarrow </tex> <tex>\mathtt{split}(R,\ C,\ a)</tex>
 
         <tex> R_1, R_2 \leftarrow </tex> <tex>\mathtt{split}(R,\ C,\ a)</tex>
 
         '''if''' <tex> R_1 \ne \varnothing </tex> '''and''' <tex> R_2 \ne \varnothing </tex>
 
         '''if''' <tex> R_1 \ne \varnothing </tex> '''and''' <tex> R_2 \ne \varnothing </tex>
         replace <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex> with <tex>R_1</tex> '''and''' <tex>R_2</tex>
+
         '''replace''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex> '''with''' <tex>R_1</tex> '''and''' <tex>R_2</tex>
        '''if''' <tex>\langle R,\ c \rangle</tex> '''in''' <tex> \mathtt{S}</tex>
+
        '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
          remove <tex>\langle R, c \rangle</tex> '''from''' <tex>\mathtt{S}</tex>
+
          <tex>\mathtt{pushSetsToQueue}(S,\ R_1,\ R_2,\ c)</tex>
          push <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex>
 
          push <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex>
 
        '''else'''
 
            '''if''' <tex> |\mathtt{P}[R_1]| \leqslant |\mathtt{P}[R_2]| </tex>
 
              push <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex>
 
            '''else'''
 
              push <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex>
 
 
     '''return''' <tex>\mathtt{P}</tex>
 
     '''return''' <tex>\mathtt{P}</tex>
  
  
Каждая итерация цикла <tex> \mathrm{while} </tex> может быть выполнена за <tex> O(|Q| + |\mathtt{Inverse}|)\,</tex> для текущей пары <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>. Покажем, как можно достичь этой оценки.
+
Каждая итерация цикла <tex> \mathrm{while} </tex> может быть выполнена за <tex> O(|Q| + |\mathtt{Inverse}|) </tex> для текущей пары <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>. Покажем, как можно достичь этой оценки.
  
Классы разбиения <tex>P</tex> будем поддерживать с помощью множеств на [[Хеш-таблица | хэш-таблицах]] (само же разбиение {{---}} обычный вектор, индекс {{---}} номер класса). Это позволит нам эффективно переносить состояния из одного класса в другой (за <tex>O(1)</tex>).
+
Классы разбиения <tex>P</tex> будем поддерживать с помощью множеств на [[Хеш-таблица | хэш-таблицах]] (само же разбиение - обычный вектор, индекс - номер класса). Это позволит нам эффективно переносить состояния из одного класса в другой (за O(1)).
  
*<tex>\mathtt{Class}[r]</tex> {{---}} номер класса, которому принадлежит состояние <tex>r</tex>,
+
*<tex>\mathtt{Class}[r]</tex> {{---}} номер класса, которому принадлежит состояние <tex>r</tex>
*<tex>\mathtt{Queue}</tex> {{---}} очередь пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>, где <tex>C</tex> {{---}} номер класса (сплиттера),
+
*<tex>\mathtt{Queue}</tex> {{---}} очередь пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>, где <tex>C</tex> {{---}} номер класса (сплиттера)
*<tex>\mathtt{Inv}[r][a]</tex> {{---}} массив состояний, из которых есть ребра по символу <tex>a</tex> в состояние <tex>r</tex> (мы не меняем исходный автомат, потому может быть построен раз перед началом работы алгоритма).
+
*<tex>\mathtt{InQueue}</tex> {{---}} двумерный массив булеанов, <tex>\mathtt{InQueue}[C][a] == </tex> ''true'', если <tex>\langle C,\ a \rangle</tex> находится в очереди <tex>\mathtt{Queue}</tex>
 +
*<tex>\mathtt{Inv}[r][a]</tex> {{---}} массив состояний, из которых есть ребра по символу <tex>a</tex> в состояние <tex>r</tex> (мы не меняем исходный автомат, потому может быть построен раз перед началом работы алгоритма)
  
Для обработки <tex>T'</tex> за <tex>O(|Q| + |\mathtt{Inverse}|)\,</tex> нам понадобится следующая структура:
+
Для обработки <tex>T'</tex> за <tex>O(|Q| + |\mathtt{Inverse}|)</tex> нам понадобится следующая структура:
*<tex>\mathtt{Involved}</tex> {{---}} список из номеров классов, содержащихся во множестве <tex>T'</tex>,
+
*<tex>\mathtt{Involved}</tex> {{---}} список из номеров классов, содержащихся во множестве <tex>T'</tex>;
*<tex>\mathtt{Count}</tex> {{---}} целочисленный массив, где <tex>\mathtt{Count}[i]</tex> хранит количество состояний из класса <tex>i</tex>, которые содержатся в <tex>\mathtt{Inverse}</tex>,
+
*<tex>\mathtt{Count}</tex> {{---}} целочисленный массив, где <tex>\mathtt{Count}[i]</tex> хранит количество состояний из класса <tex>i</tex>, которые содержатся в <tex>\mathtt{Inverse}</tex>;
*<tex>\mathtt{Twin}</tex> {{---}} массив, хранящий в <tex>\mathtt{Twin}[i]</tex> номер нового класса, образовавшегося при разбиении класса <tex>i</tex>.
+
*<tex>\mathtt{Twin}</tex> {{---}} массив, хранящий в <tex>\mathtt{Twin}[i]</tex> номер нового класса, образовавшегося при разбиении класса <tex>i</tex>.  
  
   '''function''' findEquivalenceClasses<tex>(Q,\ F,\ \delta)</tex>: '''vector'''
+
   <tex>\mathtt{findEquivalenceClasses}(Q,\ F,\ \delta)</tex>:
 
     <tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F, \ Q \setminus F \}</tex>
 
     <tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F, \ Q \setminus F \}</tex>
 
     '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
 
     '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
       push <tex>\langle F,\ c \rangle</tex>, <tex>\langle Q \setminus F,\ c \rangle</tex> '''into''' <tex> \mathtt{Queue}</tex>
+
       '''push''' <tex>\langle F,\ c \rangle</tex>, <tex>\langle Q \setminus F,\ c \rangle</tex> '''into''' <tex> \mathtt{Queue}</tex>
 +
      <tex>\mathtt{InQueue}[F][c] \  \leftarrow \  </tex> ''true''
 +
      <tex>\mathtt{InQueue}[Q \setminus F][c] \  \leftarrow \  </tex> ''true''
 
     '''while''' <tex>\mathtt{Queue} \ne \varnothing</tex>
 
     '''while''' <tex>\mathtt{Queue} \ne \varnothing</tex>
       <tex>\langle C,\ a \rangle</tex> <tex>\leftarrow</tex> pop '''from''' <tex>\mathtt{Queue}</tex>
+
       <tex>\langle C,\ a \rangle</tex> <tex>\leftarrow</tex> '''pop''' '''from''' <tex>\mathtt{Queue}</tex>
 
       <tex>\mathtt{Involved} \leftarrow \varnothing</tex>
 
       <tex>\mathtt{Involved} \leftarrow \varnothing</tex>
 
       '''for''' <tex>q \in C</tex> '''and''' <tex>r \in \mathtt{Inv}[q][a]</tex>
 
       '''for''' <tex>q \in C</tex> '''and''' <tex>r \in \mathtt{Inv}[q][a]</tex>
 
         <tex>i = \mathtt{Class}[r]</tex>
 
         <tex>i = \mathtt{Class}[r]</tex>
 
         '''if''' <tex>\mathtt{Count}[i] == 0</tex>
 
         '''if''' <tex>\mathtt{Count}[i] == 0</tex>
           insert <tex>i</tex> '''into''' <tex>\mathtt{Involved}</tex>
+
           '''insert''' <tex>i</tex> '''in''' <tex>\mathtt{Involved}</tex>
 
         <tex>\mathtt{Count}[i]++</tex>
 
         <tex>\mathtt{Count}[i]++</tex>
 
       '''for''' <tex> i \in \mathtt{Involved}</tex>
 
       '''for''' <tex> i \in \mathtt{Involved}</tex>
         '''if''' <tex>\mathtt{Count}[i] < |\mathtt{P}[i]|</tex>
+
         '''if''' <tex>\mathtt{Count}[i] <</tex> '''size of''' <tex>\mathtt{P}[i]</tex>
             insert <tex>\{\}</tex> '''into''' <tex>\mathtt{P}</tex> <font color=darkgreen>// создадим пустой класс в разбиении <tex>\mathtt{P}</tex></font>
+
             '''insert''' <tex>\{\}</tex> '''into''' <tex>\mathtt{P}</tex> //Создадим пустой класс в разбиении <tex>\mathtt{P}</tex>
             <tex>\mathtt{Twin}[i] = |\mathtt{P}|</tex> <font color=darkgreen> //запишем в <tex>\mathtt{Twin[i]}</tex> индекс нового класса</font>
+
             <tex>\mathtt{Twin[i]} = </tex> '''size of''' <tex>\mathtt{P}</tex> //Запишем в <tex>\mathtt{Twin[i]}</tex> индекс нового класса
 
       '''for''' <tex>q \in C</tex> '''and''' <tex>r \in \mathtt{Inv}[q][a]</tex>
 
       '''for''' <tex>q \in C</tex> '''and''' <tex>r \in \mathtt{Inv}[q][a]</tex>
 
         <tex>i = \mathtt{Class}[r]</tex>
 
         <tex>i = \mathtt{Class}[r]</tex>
         <tex>j = \mathtt{Twin}[i]</tex>
+
         '''if''' <tex>\mathtt{Twin}[i] \neq 0</tex>
        '''if''' <tex>j \neq 0</tex>
+
            '''remove''' <tex>r</tex> '''from''' <tex>\mathtt{P}[i]</tex>
            remove <tex>r</tex> '''from''' <tex>\mathtt{P}[i]</tex>
+
             '''add''' <tex>r</tex> '''to''' <tex>\mathtt{P}[\mathtt{Twin}[i]]</tex>
             add <tex>r</tex> '''to''' <tex>\mathtt{P}[j]</tex>
+
       '''for''' <tex> j \in \mathtt{Involved}</tex>
       '''for''' <tex> i \in \mathtt{Involved}</tex>
+
         '''if''' <tex> \mathtt{Twin}[j] \neq 0 </tex>
        <tex>j = \mathtt{Twin}[i]</tex>
+
            '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
         '''if''' <tex> j \neq 0 </tex>
+
              <tex>\mathtt{pushSetsToQueue}(\mathtt{Queue},\ j,\ \mathtt{Twin}[j],\ c)</tex>
          '''if''' <tex>|\mathtt{P}[j]| > |\mathtt{P}[i]|</tex>  <font color=darkgreen>// парный класс должен быть меньшего размера</font>
+
        <tex>\mathtt{Count}[j] = 0</tex>
            <tex>\mathtt{swap}(\mathtt{P}[i],\ \mathtt{P}[j])</tex> <font color=darkgreen>// swap за <tex>\mathtt{O(1)}</tex> {{---}} просто переставить указатели</font>
+
         <tex>\mathtt{Twin}[j] = 0</tex>
          '''for''' <tex>r \in \mathtt{P}[j]</tex> <font color=darkgreen> // обновляем номера классов для вершин, у которых они изменились</font>
+
      <tex>\mathtt{InQueue}[C][a] \  \leftarrow </tex> ''false''
            <tex>\mathtt{Class}[r] = j</tex>
 
          '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
 
            push <tex>\langle j, c \rangle</tex> '''to''' <tex>\mathtt{Queue}</tex>
 
         <tex>\mathtt{Count}[i] = 0</tex>
 
        <tex>\mathtt{Twin}[i] = 0</tex>
 
 
     '''return''' <tex>\mathtt{P}</tex>
 
     '''return''' <tex>\mathtt{P}</tex>
  
 +
Стоит отметить, что массивы <tex>\mathtt{Count}, \mathtt{Twin}</tex> аллоцируются ровно один раз при инициализации алгоритма.
  
Стоит отметить, что массивы <tex>\mathtt{Count},\ \mathtt{Twin}\,</tex> аллоцируются ровно один раз при инициализации алгоритма.
+
Осталось только реализовать <tex>\mathtt{pushSetsToQueue}</tex>.
 
+
  <tex>\mathtt{pushSetsToQueue}(\mathtt{Queue},\ R_1,\ R_2,\ c)</tex>:
Также стоит отметить, что собственно наличие/отсутствие пары в очереди можно не проверять. Если для некоторого <tex>c</tex> пара <tex>\langle i, c \rangle</tex> уже была в очереди, то мы добавим её "вторую половинку" <tex>\langle \mathtt{Twin}[i], c \rangle</tex>. Если её в очереди не было, то мы вольны сами выбирать, какой подкласс добавлять в очередь, и таким образом добавляем опять же <tex>\langle \mathtt{Twin}[i], c \rangle</tex>.
+
      <tex>cnt1  \leftarrow </tex> '''size of''' <tex>\mathtt{P}[R_1]</tex>
Кроме того, вместо очереди можно использовать вообще произвольную структуру, хранящую элементы, в том числе стэк, множество, так как порядок извлечения нам по сути не важен.
+
      <tex>cnt2  \leftarrow </tex> '''size of''' <tex>\mathtt{P}[R_2]</tex>
 +
      '''if''' <tex> \mathtt{InQueue}[R_1][c] ==  </tex> ''false'' '''and''' <tex> cnt1 \leqslant cnt2 </tex>
 +
        '''push''' <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> '''to''' <tex>\mathtt{Queue}</tex>
 +
        <tex>\mathtt{InQueue}[R_1][c] \  \leftarrow \  </tex> ''true''
 +
      '''else'''
 +
        '''push''' <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> '''to''' <tex>\mathtt{Queue}</tex>
 +
        <tex>\mathtt{InQueue}[R_2][c] \  \leftarrow \ </tex> ''true''
  
 
===Время работы===
 
===Время работы===
Строка 237: Строка 226:
 
<tex>\sum |\mathtt{Inverse}|</tex> по всем итерациям цикла <tex>\mathrm{while}</tex> не превосходит <tex>|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|)</tex>.
 
<tex>\sum |\mathtt{Inverse}|</tex> по всем итерациям цикла <tex>\mathrm{while}</tex> не превосходит <tex>|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|)</tex>.
 
|proof =
 
|proof =
Пусть <tex>x, y \in Q</tex>, <tex>a \in \Sigma</tex> и <tex> \delta(x, a) = y</tex>. Зафиксируем эту тройку. Заметим, что количество раз, которое <tex>x</tex> встречается в <tex>\mathtt{Inverse}\,</tex> при условии, что <tex> \delta(x, a) = y</tex>, совпадает с числом удаленных из очереди пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>, где <tex>y \in C</tex>. Но по [[#Лемма3 | лемме(3)]] эта величина не превосходит <tex>\log_2(|Q|)</tex>. Просуммировав по всем <tex> x \in Q </tex> и по всем <tex> a \in \Sigma</tex> мы получим утверждение леммы.
+
Пусть <tex>x, y \in Q</tex>, <tex>a \in \Sigma</tex> и <tex> \delta(x, a) = y</tex>. Зафиксируем эту тройку. Заметим, что количество раз, которое <tex>x</tex> встречается в <tex>\mathtt{Inverse}</tex> при условии, что <tex> \delta(x, a) = y</tex>, совпадает с числом удаленных из очереди пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>, где <tex>y \in C</tex>. Но по [[#Лемма3 | лемме(3)]] эта величина не превосходит <tex>\log_2(|Q|)</tex>. Просуммировав по всем <tex> x \in Q </tex> и по всем <tex> a \in \Sigma</tex> мы получим утверждение леммы.
 
}}
 
}}
  
Строка 250: Строка 239:
 
*По [[#Лемма2 | второй лемме]] количество итераций цикла <tex>\mathrm{while}</tex> не превосходит <tex>O(|\Sigma| |Q|)</tex>.
 
*По [[#Лемма2 | второй лемме]] количество итераций цикла <tex>\mathrm{while}</tex> не превосходит <tex>O(|\Sigma| |Q|)</tex>.
  
*Операции с множеством <tex>T'</tex> и разбиение классов на подклассы требуют <tex>O(\sum(|\mathtt{Inverse}|))\,</tex> времени. Но по [[#Лемма4 | лемме(4)]] <tex>\sum(|\mathtt{Inverse}|)\,</tex> не превосходит <tex>|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|)</tex>, то есть данная часть алгоритма выполняется за <tex>O(|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|))</tex>.
+
*Операции с множеством <tex>T'</tex> и разбиение классов на подклассы требуют <tex>O(\sum(|\mathtt{Inverse}|))</tex> времени. Но по [[#Лемма4 | лемме(4)]] <tex>\sum(|\mathtt{Inverse}|)</tex> не превосходит <tex>|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|)</tex>, то есть данная часть алгоритма выполняется за <tex>O(|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|))</tex>.
  
 
*В [[#Лемма1 | лемме(1)]] мы показали, что в процессе работы алгоритма не может появится больше, чем <tex>2 |Q| - 1</tex> классов, из чего следует, что количество операций <tex>\mathtt{replace}</tex> равно <tex>O(|\Sigma| |Q|)</tex>.
 
*В [[#Лемма1 | лемме(1)]] мы показали, что в процессе работы алгоритма не может появится больше, чем <tex>2 |Q| - 1</tex> классов, из чего следует, что количество операций <tex>\mathtt{replace}</tex> равно <tex>O(|\Sigma| |Q|)</tex>.
Строка 257: Строка 246:
 
}}
 
}}
  
=== Альтернативная реализация ===
+
== Альтернативная реализация ==
 
Вообще, алгоритм можно реализовать и с меньшим количеством используемых структур (что делает код на порядок читабельнее).
 
Вообще, алгоритм можно реализовать и с меньшим количеством используемых структур (что делает код на порядок читабельнее).
  
Все классы разбиения будем по-прежнему хранить в векторе хэш-сетов <tex>\mathtt{P}</tex>.
+
Заметим, что вообще нам не важен порядок доставания элементов из "очереди", потому вместо очереди <tex>\mathtt{Queue}</tex> и массива <tex>\mathtt{InQueue}</tex> можно обойтись одним множеством пар (оставим название <tex>\mathtt{Queue}</tex>).
  
*<tex>\mathtt{Class}[r]</tex> {{---}} индекс класса в <tex>\mathtt{P}</tex>, которому принадлежит состояние <tex>r</tex>,
+
*<tex>\mathtt{Class}[r]</tex> {{---}} номер класса, которому принадлежит состояние <tex>r</tex>
*<tex>\mathtt{Queue}</tex> {{---}} очередь из пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>,
+
*<tex>\mathtt{Queue}</tex> {{---}} множество пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>
*<tex>\mathtt{Inv}[r][a]</tex> {{---}} массив состояний, из которых есть ребра по символу <tex>a</tex> в состояние <tex>r</tex> (мы не меняем исходный автомат, потому может быть построен раз перед началом работы алгоритма),
+
*<tex>\mathtt{Inv}[r][a]</tex> {{---}} массив состояний, из которых есть ребра по символу <tex>a</tex> в состояние <tex>r</tex> (мы не меняем исходный автомат, потому может быть построен раз перед началом работы алгоритма)
*<tex>\mathtt{Involved}</tex> {{---}} ассоциативный массив из номеров классов в векторы из номеров вершин.
+
*<tex>\mathtt{Involved}</tex> {{---}} хэш-таблица из номеров классов в векторы из номеров вершин.
  
 
   <tex>\mathtt{findEquivalenceClasses}(Q,\ F,\ \delta)</tex>:
 
   <tex>\mathtt{findEquivalenceClasses}(Q,\ F,\ \delta)</tex>:
 
     <tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F, \ Q \setminus F \}</tex>
 
     <tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F, \ Q \setminus F \}</tex>
 
     '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
 
     '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
       insert <tex>\langle F,\ c \rangle</tex>, <tex>\langle Q \setminus F,\ c \rangle</tex> '''into''' <tex> \mathtt{Queue}</tex>
+
       '''insert''' <tex>\langle F,\ c \rangle</tex>, <tex>\langle Q \setminus F,\ c \rangle</tex> '''into''' <tex> \mathtt{Queue}</tex>
 
     '''while''' <tex>\mathtt{Queue} \ne \varnothing</tex>
 
     '''while''' <tex>\mathtt{Queue} \ne \varnothing</tex>
       <tex>\langle C,\ a \rangle</tex> <tex>\leftarrow</tex> pop '''from''' <tex>\mathtt{Queue}</tex>
+
       <tex>\langle C,\ a \rangle</tex> <tex>\leftarrow</tex> '''take any from''' <tex>\mathtt{Queue}</tex> //Взять любую пару из <tex>\mathtt{Queue}</tex>, не удаляя (!)
       <tex>\mathtt{Involved} = \{\}</tex>
+
       <tex>\mathtt{Involved} \leftarrow \varnothing</tex>
 
       '''for''' <tex>q \in C</tex> '''and''' <tex>r \in \mathtt{Inv}[q][a]</tex>
 
       '''for''' <tex>q \in C</tex> '''and''' <tex>r \in \mathtt{Inv}[q][a]</tex>
 
         <tex>i = \mathtt{Class}[r]</tex>
 
         <tex>i = \mathtt{Class}[r]</tex>
 
         '''if''' <tex>\mathtt{Involved}[i] == \varnothing</tex>
 
         '''if''' <tex>\mathtt{Involved}[i] == \varnothing</tex>
            <tex>\mathtt{Involved}[i] = \{\}</tex>
+
          <tex>\mathtt{Involved}[i] = \{\}</tex>
         add <tex>r</tex> '''to''' <tex>\mathtt{Involved}[i]</tex>
+
         '''add''' <tex>r</tex> '''to''' <tex>\mathtt{Involved}[i]</tex>
       '''for''' <tex> i \in \mathtt{Involved}</tex> <font color=darkgreen>//Перебираем ключи <tex>\mathtt{Involved}</tex></font>
+
       '''for''' <tex> i \in \mathtt{Involved}</tex> //Перебираем ключи <tex>\mathtt{Involved}</tex>
         '''if''' <tex>|\mathtt{Involved}[i]| < |\mathtt{P}[i]|</tex>
+
         '''if''' '''size of''' <tex>\mathtt{Involved}[i] <</tex> '''size of''' <tex>\mathtt{P}[i]</tex>
             '''insert''' <tex>\{\}</tex> '''into''' <tex>\mathtt{P}</tex> <font color=darkgreen>//Создадим пустой класс в разбиении <tex>\mathtt{P}</tex></font>
+
             '''insert''' <tex>\{\}</tex> '''into''' <tex>\mathtt{P}</tex> //Создадим пустой класс в разбиении <tex>\mathtt{P}</tex>
             <tex>j = |\mathtt{P}|</tex> <font color=darkgreen>//Запишем в <tex>j</tex> индекс нового класса</font>
+
             <tex>j = </tex> '''size of''' <tex>\mathtt{P}</tex> //Запишем в <tex>j</tex> индекс нового класса
 
             '''for''' <tex>r</tex> '''in''' <tex>\mathtt{Involved}[i]</tex>
 
             '''for''' <tex>r</tex> '''in''' <tex>\mathtt{Involved}[i]</tex>
              remove <tex>r</tex> '''from''' <tex>\mathtt{P}[i]</tex>
+
                '''remove''' <tex>r</tex> '''from''' <tex>\mathtt{P}[i]</tex>
              add <tex>r</tex> '''to''' <tex>\mathtt{P}[j]</tex>
+
                '''add''' <tex>r</tex> '''to''' <tex>\mathtt{P}[j]</tex>
            '''if''' <tex>|\mathtt{P}[j]| > |\mathtt{P}[i]|</tex> <font color=darkgreen>//Парный класс должен быть меньшего размера</font>
 
                <tex>\mathtt{swap}(\mathtt{P}[i],\ \mathtt{P}[j])</tex> <font color=darkgreen>//swap за <tex>\mathtt{O(1)}</tex> {{---}} просто переставить указатели</font>
 
            '''for''' <tex>r \in \mathtt{P}[j]</tex> <font color=darkgreen>//Обновляем номера классов для вершин, у которых они изменились</font>
 
              <tex>\mathtt{Class}[r] = j</tex>
 
 
             '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
 
             '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
               push <tex>\langle j, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{Queue}</tex>
+
               <tex>\mathtt{pushSetsToQueue}(\mathtt{Queue},\ i,\ j,\ c)</tex>
 +
      '''remove''' <tex>\langle C,\ a \rangle</tex> '''from''' <tex> \mathtt{Queue}</tex>
 
     '''return''' <tex>\mathtt{P}</tex>
 
     '''return''' <tex>\mathtt{P}</tex>
 +
 +
  <tex>\mathtt{pushSetsToQueue}(\mathtt{Queue},\ R_1,\ R_2,\ c)</tex>:
 +
      <tex>cnt1  \leftarrow </tex> '''size of''' <tex>\mathtt{P}[R_1]</tex>
 +
      <tex>cnt2  \leftarrow </tex> '''size of''' <tex>\mathtt{P}[R_2]</tex>
 +
      '''if''' \lnot(<tex>\langle R_1, c \rangle</tex> '''in''' <tex>\mathtt{Queue}</tex>) '''and''' <tex> cnt1 \leqslant cnt2 </tex>
 +
        '''insert''' <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{Queue}</tex>
 +
      '''else'''
 +
        '''insert''' <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{Queue}</tex>
 +
 +
== Сравнение с алгоритмом из оригинальной статьи Хопкрофта ==
 +
 +
В оригинальной статье <ref>[http://i.stanford.edu/pub/cstr/reports/cs/tr/71/190/CS-TR-71-190.pdf ''John Hopcroft'' An O(nlogn) algorithm for minimizing states in a finite automation]</ref> использовалась дополнительная структура, которую мы обозначим, как <tex>\mathtt{ClassInv}</tex>, в <tex>\mathtt{ClassInv}[C][a]</tex> будем хранить множество состояний, из которых есть ребро по символу <tex>a</tex> в состояние <tex>C</tex> (аналогично <tex>Inv</tex>, только для классов).
 +
 +
<tex>\mathtt{ClassInv}[C][a] = \{ s\ |\ \mathtt{Class}[s] == C  \ \land \  \delta^{-1} (s, a) \neq \emptyset \}</tex>
 +
 +
<tex>\mathtt{pushSetsToQueue}</tex> реализуем так:
 +
 +
  <tex>\mathtt{pushSetsToQueue}(\mathtt{Queue},\ R_1,\ R_2,\ c)</tex>:
 +
    <tex>cnt1  \leftarrow  \mathtt{ClassInv}[R_1][c]</tex>
 +
    <tex>cnt2  \leftarrow  \mathtt{ClassInv}[R_2][c]</tex>
 +
    '''if''' <tex> \mathtt{InQueue}[R_1][c] ==</tex> ''false'' '''and''' <tex> cnt1 \leqslant cnt2 </tex>
 +
      '''push''' <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> '''to''' <tex>\mathtt{Queue}</tex>
 +
      '''insert''' <tex> c </tex> '''into''' <tex>\mathtt{InQueue}[R_1]</tex>
 +
    '''else'''
 +
      '''push''' <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> '''to''' <tex>\mathtt{Queue}</tex>
 +
      '''insert''' <tex> c </tex> '''into''' <tex>\mathtt{InQueue}[R_2]</tex>
 +
 +
Циклы
 +
 +
  '''for''' <tex>q \in C</tex> '''and''' <tex>r \in \mathtt{Inv}[q][a]</tex>
 +
      (...)
 +
 +
реализуются так:
 +
 +
  '''for''' <tex>q \in \mathtt{ClassInv}[C][a]</tex> '''and''' <tex>r \in \mathtt{Inv}[q][a]</tex>
 +
      (...)
 +
 +
Тогда время работы внутреннего цикла можно будет оценить как <tex>O(|\mathtt{ClassInv}[C][a]| + |\mathtt{Inverse}|)</tex>. А реализация <tex>\mathtt{pushSetsToQueue}</tex> выбирает множество, на котором <tex>O(|\mathtt{ClassInv}[C][a]|)</tex> будет меньшим.
 +
 +
Кроме того, вместо [[Хеш-таблица | хэш-таблиц]] для хранения множеств (<tex>\mathtt{ClassInv}</tex>, разбиение <tex>P</tex>) можно использовать комбинацию из двусвязного списка и вектора (добавление/удаление через список, поиск через вектор). Что и используется в оригинальной статье.
  
 
== См. также ==
 
== См. также ==
  
 
* [[Алгоритм Бржозовского]]
 
* [[Алгоритм Бржозовского]]
 +
 +
== Примечания ==
 +
 +
<references/>
  
 
== Источники информации ==
 
== Источники информации ==

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)