Редактирование: Минимизация ДКА, алгоритм Хопкрофта (сложность O(n log n))

Пусть дан автомат, распознающий определенный язык. Требуется найти [[ Эквивалентность_состояний_ДКА | эквивалентный автомат]] с наименьшим количеством состояний.

== Минимизация ДКА ==
Если в ДКА существуют два [[ Эквивалентность_состояний_ДКА | эквивалентных состояния]], то при их объединении мы получим [[ Эквивалентность_состояний_ДКА | эквивалентный ДКА]], так как распознаваемый язык не изменится. Основная идея минимизации состоит в разбиении множества состояний на классы эквивалентности, полученные классы и будут состояниями минимизированного ДКА. 

== Простой алгоритм ==
{{Определение
|definition =
Класс <tex>C</tex> '''разбивает''' класс <tex>R</tex> по символу <tex>a</tex> на <tex>R_1</tex> и <tex>R_2</tex>, если 
# <tex>\forall r \in R_1 \,\,\, \delta(r, a) \in C</tex> 
# <tex>\forall r \in R_2 \,\,\, \delta(r, a) \notin C</tex> 
}} 
Если класс <tex>R</tex> может быть разбит по символу <tex>a</tex>, то он содержит хотя бы одну пару неэквивалентных состояний (так как существует строка которая их различает). Если класс нельзя разбить, то он состоит из эквивалентных состояний.
Поэтому самый простой алгоритм состоит в том, чтобы разбивать классы текущего разбиения до тех пор пока это возможно. 

Итеративно строим разбиение множества состояний следующим образом.
# Первоначальное разбиение множества состояний {{---}} класс допускающих состояний <tex>F</tex> и класс недопускающих состояний (<tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F, \ Q \setminus F \}</tex>).
# Перебираются символы алфавита <tex>c \in \Sigma</tex>, все пары <tex>\langle F,\ c \rangle</tex> и <tex>\langle Q \setminus F, c \rangle</tex> помещаются в очередь.
# Из очереди извлекается пара <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>, <tex>C</tex> далее именуется как сплиттер.
# Каждый класс <tex>R</tex> текущего разбиения разбиваются на 2 подкласса (один из которых может быть пустым). Первый состоит из состояний, которые по символу <tex>a</tex> переходят в сплиттер (<tex>R_1</tex>), а второй из всех оставшихся (<tex>R_2</tex>). 
# Если <tex>R</tex> разбился на два непустых подкласса (т.е. <tex> R_1 \ne \emptyset \ \land \  R_2 \ne \emptyset </tex>).
## В разбиении <tex>P</tex> класс <tex>R</tex> заменяется на свои подклассы <tex>R_1</tex> и <tex>R_2</tex>.
## Перебираются символы алфавита <tex>c \in \Sigma</tex>, все пары <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> и <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> помещаются в очередь.
# Пока очередь не пуста, выполняем п.3 – п.5.

===Псевдокод===
*<tex>\mathtt{Q}</tex> {{---}} множество состояний ДКА,
*<tex>\mathtt{F}</tex> {{---}} множество терминальных состояний,
*<tex>\mathtt{\delta}</tex> {{---}} функция перехода (<tex>\delta (r,\ a)</tex> {{---}} состояние, в которое можно совершить переход из <tex>r</tex> по символу <tex>a</tex>),
*<tex>\mathtt{S}</tex> {{---}} очередь пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>,
*<tex>\mathtt{P}</tex> {{---}} разбиение множества состояний ДКА,
*<tex>\mathtt{R}</tex> {{---}} класс состояний ДКА.

  '''function''' findEquivalenceClasses<tex>(Q,\ F,\ \delta)</tex>: '''vector'''
    <tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F,\ Q \setminus F \}</tex>
    <tex>\mathtt{S} \leftarrow \varnothing </tex>
    '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
      push <tex>\langle F,\ c \rangle</tex>, <tex>\langle Q \setminus F,\ c \rangle</tex> '''into''' <tex> \mathtt{S}</tex>
    '''while''' <tex>\mathtt{S} \ne \varnothing</tex>
      <tex>\langle C,\ a \rangle</tex> <tex>\leftarrow</tex> pop '''from''' <tex>\mathtt{S}</tex>
      '''for''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex> 
        <tex> R_1, R_2 \leftarrow </tex> <tex>\mathtt{split}(R,\ C,\ a)</tex>
        '''if''' <tex> R_1 \ne \varnothing </tex> '''and''' <tex> R_2 \ne \varnothing </tex>
          replace <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex> with <tex>R_1</tex> '''and''' <tex>R_2</tex>
          '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
            insert <tex>\langle R_1,\ c \rangle</tex> '''in''' <tex>\mathtt{S}</tex>
            insert <tex>\langle R_2,\ c \rangle</tex> '''in''' <tex>\mathtt{S}</tex>
    '''return''' <tex>\mathtt{P}</tex>

Когда очередь <tex>S</tex> станет пустой, будет получено разбиение на классы эквивалентности, так как больше ни один класс невозможно разбить.

===Время работы===
Время работы алгоритма оценивается как <tex>O(|\Sigma| \cdot n^2)</tex>, где <tex> n </tex> {{---}} количество состояний ДКА, а <tex> \Sigma </tex> {{---}} алфавит. Это следует из того, что если пара <tex>\langle C,\ a \rangle</tex> попала в очередь, и класс <tex>C</tex> использовался в качестве сплиттера, то при последующем разбиении этого класса в очередь добавляется два класса <tex>C_1</tex> и <tex>C_2</tex>, причем можно гарантировать лишь следующее уменьшение размера: <tex>|C| \geqslant |C_i| + 1</tex>. Каждое состояние изначально принадлежит лишь одному классу в очереди, поэтому каждый переход в автомате будет просмотрен не более, чем <tex>O(n)</tex> раз. Учитывая, что ребер всего <tex>O(|\Sigma| \cdot n)</tex>, получаем указанную оценку.

== Алгоритм Хопкрофта==
Рассмотрим алгоритм, позволяющий решить задачу быстрее, чем за <tex> O(n^2) </tex>.

{{Лемма
|statement = Класс <tex>R = R_1 \cup R_2</tex> и <tex>R_1 \cap R_2 = \varnothing</tex>, тогда разбиение всех классов (текущее разбиение) по символу <tex>a</tex> любыми двумя классами из <tex>R, R_1, R_2</tex> эквивалентно разбиению всех классов с помощью <tex>R, R_1, R_2</tex> по символу <tex>a</tex>.
|proof = 
Разобьем все классы с помощью <tex>R </tex> и <tex> R_1</tex> по символу <tex>a</tex>, тогда для любого класса <tex>B</tex> из текущего разбиения выполняется
:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R \ \land \  \delta(r, a) \in R_1 \ \lor</tex>
:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R \ \land \  \delta(r, a) \notin R_1 \ \lor</tex>
:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R \ \land \  \delta(r, a) \notin R_1</tex>  
А так как <tex>R = R_1 \cup R_2</tex> и <tex>R_1 \cap R_2 = \varnothing</tex> то выполняется
:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R_2  \ \lor</tex>
:<tex> \forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R_2</tex> 
Из этого следует, что разбиение всех классов с помощью <tex>R_2</tex> никак не повлияет на текущее разбиение. <br/>
Аналогично доказывается и для разбиения с помощью <tex>R </tex> и <tex> R_2</tex> по символу <tex>a</tex>. <br/>
Разобьем все классы с помощью <tex>R_1</tex> и <tex> R_2</tex> по символу <tex>a</tex>, тогда для любого класса <tex>B</tex> из текущего разбиения выполняется
:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R_1 \ \land \  \delta(r, a) \notin R_2 \ \lor</tex>
:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R_1 \ \land \  \delta(r, a) \in R_2 \ \lor</tex>
:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R_1 \ \land \  \delta(r, a) \notin R_2</tex>  
А так как <tex>R = R_1 \cup R_2</tex> и <tex>R_1 \cap R_2 = \varnothing</tex> то выполняется
:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R  \ \lor</tex>
:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R</tex> 
Из этого следует, что разбиение всех классов с помощью <tex>R</tex> никак не повлияет на текущее разбиение.
}}

Алгоритм Хопкрофта отличается от простого тем, что иначе добавляет пары в очередь.
После замены класса <tex>R</tex> в разбиении <tex>P</tex> на его подклассы <tex>R_1</tex> и <tex>R_2</tex>, как и раньше перебираем символы алфавита <tex>c \in \Sigma</tex>.

Если пара <tex>\langle R,\ c \rangle</tex> уже есть в очереди, то согласно лемме можно просто заменить её на пары <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> и <tex>\langle R_2, c \rangle</tex>.

Если пары <tex>\langle R,\ c \rangle</tex> нет в очереди, то достаточно добавить любую из пар <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> и <tex>\langle R_2, c \rangle</tex>. Это следует из следующих соображений: <tex>R</tex> может быть в разбиении только если в очередь были положены пары <tex>\langle R,\ a \rangle</tex> для <tex>\forall a \in \Sigma</tex>, а поскольку в очереди пары <tex>\langle R,\ c \rangle</tex> нет, то  мы её уже успели рассмотреть, следовательно классы из разбиения <tex>P</tex> уже были разбиты по <tex>\langle R,\ c \rangle</tex>.

=== Реализация ===

*<tex>\mathtt{Q}</tex> {{---}} множество состояний ДКА,
*<tex>\mathtt{F}</tex> {{---}} множество терминальных состояний,
*<tex>\mathtt{\delta}</tex> {{---}} функция перехода (<tex>\delta (r,\ a)</tex> {{---}} состояние, в которое можно совершить переход из <tex>r</tex> по символу <tex>a</tex>),
*<tex>\mathtt{S}</tex> {{---}} очередь пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>,
*<tex>\mathtt{P}</tex> {{---}} разбиение множества состояний ДКА,
*<tex>\mathtt{R}</tex> {{---}} класс состояний ДКА.

  '''function''' findEquivalenceClasses<tex>(Q,\ F,\ \delta)</tex>: '''vector''' 
    <tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F, \ Q \setminus F \}</tex>
    <tex>\mathtt{S} \leftarrow \varnothing </tex>
    '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
      push <tex>\langle F,\ c \rangle</tex>, <tex>\langle Q \setminus F,\ c \rangle</tex> '''into''' <tex> \mathtt{S}</tex>
    '''while''' <tex>\mathtt{S} \ne \varnothing</tex>
      <tex>\langle C,\ a \rangle</tex> <tex>\leftarrow</tex> pop '''from''' <tex>\mathtt{S}</tex>
      '''for''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex> 
        <tex> R_1, R_2 \leftarrow </tex> <tex>\mathtt{split}(R,\ C,\ a)</tex>
        '''if''' <tex> R_1 \ne \varnothing </tex> '''and''' <tex> R_2 \ne \varnothing </tex> 
         replace <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex> with' <tex>R_1</tex> '''and''' <tex>R_2</tex>
         '''if''' <tex>\langle R,\ c \rangle</tex> '''in''' <tex> \mathtt{S}</tex> <font color=darkgreen>// смотрим, есть ли пара <tex>\langle R,\ c \rangle</tex> в очереди </font>
           remove <tex>\langle R, c \rangle</tex> '''from''' <tex>\mathtt{S}</tex> <font color=darkgreen>// заменяем её на пары <tex>\langle R_1, c \rangle</tex>, <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> если пара есть </font>
           push <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex>
           push <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex>
         '''else'''
            '''if''' <tex> |\mathtt{P}[R_1]| \leqslant |\mathtt{P}[R_2]| </tex> <font color=darkgreen>// вставляем любую иначе</font>
              push <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex>
            '''else'''
              push <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex>
    '''return''' <tex>\mathtt{P}</tex>

   
         

Понятно, что нам нет никакой необходимости просматривать все классы в разбиении. Вполне достаточно рассмотреть лишь те классы, из состояний которых есть хотя бы одно ребро в состояния сплиттера. Обозначим множество таких классов за <tex>T'</tex> (его нужно будет эффективно находить для каждой пары <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>).

  '''function''' findEquivalenceClasses<tex>(Q,\ F,\ \delta)</tex>: '''vector''' 
    <tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F, \ Q \setminus F \}</tex>
    <tex>\mathtt{S} \leftarrow \varnothing </tex>
    '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
      push <tex>\langle F,\ c \rangle</tex>, <tex>\langle Q \setminus F,\ c \rangle</tex> '''into''' <tex> \mathtt{S}</tex>
    '''while''' <tex>\mathtt{S} \ne \varnothing</tex>
      <tex>\langle C,\ a \rangle</tex> <tex>\leftarrow</tex> pop '''from''' <tex>\mathtt{S}</tex>
      <tex>\mathtt{Inverse} \leftarrow \{r \ | \ r \in Q, \ \delta(r, a) \in C\}</tex>
      <tex>T' \leftarrow \{R \ | \ R \in \mathtt{P}, \ R \cap \mathtt{Inverse} \neq \varnothing\}</tex> <font color=darkgreen>// находим классы, из состояний которых есть ребро в состояния сплиттера </font>
      '''for''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>T'</tex> <font color=darkgreen>// перебираем только классы входящие в <tex>T'</tex></font>
        <tex> R_1, R_2 \leftarrow </tex> <tex>\mathtt{split}(R,\ C,\ a)</tex>
        '''if''' <tex> R_1 \ne \varnothing </tex> '''and''' <tex> R_2 \ne \varnothing </tex>
         replace <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex> with <tex>R_1</tex> '''and''' <tex>R_2</tex>
         '''if''' <tex>\langle R,\ c \rangle</tex> '''in''' <tex> \mathtt{S}</tex>
           remove <tex>\langle R, c \rangle</tex> '''from''' <tex>\mathtt{S}</tex>
           push <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex>
           push <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex>
         '''else'''
            '''if''' <tex> |\mathtt{P}[R_1]| \leqslant |\mathtt{P}[R_2]| </tex>
              push <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex>
            '''else'''
              push <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex>
    '''return''' <tex>\mathtt{P}</tex>


Каждая итерация цикла <tex> \mathrm{while} </tex> может быть выполнена за <tex> O(|Q| + |\mathtt{Inverse}|) </tex> для текущей пары <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>. Покажем, как можно достичь этой оценки.

Классы разбиения <tex>P</tex> будем поддерживать с помощью множеств на [[Хеш-таблица | хэш-таблицах]] (само же разбиение {{---}} обычный вектор, индекс {{---}} номер класса). Это позволит нам эффективно переносить состояния из одного класса в другой (за <tex>O(1)</tex>).

*<tex>\mathtt{Class}[r]</tex> {{---}} номер класса, которому принадлежит состояние <tex>r</tex>,
*<tex>\mathtt{Queue}</tex> {{---}} очередь пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>, где <tex>C</tex> {{---}} номер класса (сплиттера),
*<tex>\mathtt{Inv}[r][a]</tex> {{---}} массив состояний, из которых есть ребра по символу <tex>a</tex> в состояние <tex>r</tex> (мы не меняем исходный автомат, потому может быть построен раз перед началом работы алгоритма),

Для обработки <tex>T'</tex> за <tex>O(|Q| + |\mathtt{Inverse}|)</tex> нам понадобится следующая структура:
*<tex>\mathtt{Involved}</tex> {{---}} список из номеров классов, содержащихся во множестве <tex>T'</tex>,
*<tex>\mathtt{Count}</tex> {{---}} целочисленный массив, где <tex>\mathtt{Count}[i]</tex> хранит количество состояний из класса <tex>i</tex>, которые содержатся в <tex>\mathtt{Inverse}</tex>,
*<tex>\mathtt{Twin}</tex> {{---}} массив, хранящий в <tex>\mathtt{Twin}[i]</tex> номер нового класса, образовавшегося при разбиении класса <tex>i</tex>,

  '''function''' findEquivalenceClasses<tex>(Q,\ F,\ \delta)</tex>: '''vector''' 
     <tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F, \ Q \setminus F \}</tex>
     '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
       push <tex>\langle F,\ c \rangle</tex>, <tex>\langle Q \setminus F,\ c \rangle</tex> '''into''' <tex> \mathtt{Queue}</tex>
     '''while''' <tex>\mathtt{Queue} \ne \varnothing</tex>
       <tex>\langle C,\ a \rangle</tex> <tex>\leftarrow</tex> pop '''from''' <tex>\mathtt{Queue}</tex>
       <tex>\mathtt{Involved} \leftarrow \varnothing</tex>
       '''for''' <tex>q \in C</tex> '''and''' <tex>r \in \mathtt{Inv}[q][a]</tex>
         <tex>i = \mathtt{Class}[r]</tex>
         '''if''' <tex>\mathtt{Count}[i] == 0</tex>
           insert <tex>i</tex> '''into''' <tex>\mathtt{Involved}</tex>
         <tex>\mathtt{Count}[i]++</tex>
       '''for''' <tex> i \in \mathtt{Involved}</tex>
         '''if''' <tex>\mathtt{Count}[i] < |\mathtt{P}[i]|</tex>
             insert <tex>\{\}</tex> '''into''' <tex>\mathtt{P}</tex> <font color=darkgreen>// создадим пустой класс в разбиении <tex>\mathtt{P}</tex></font>
             <tex>\mathtt{Twin}[i] = |\mathtt{P}|</tex> <font color=darkgreen> //запишем в <tex>\mathtt{Twin[i]}</tex> индекс нового класса</font>
       '''for''' <tex>q \in C</tex> '''and''' <tex>r \in \mathtt{Inv}[q][a]</tex>
         <tex>i = \mathtt{Class}[r]</tex>
         <tex>j = \mathtt{Twin}[i]</tex>
         '''if''' <tex>j \neq 0</tex>
            remove <tex>r</tex> '''from''' <tex>\mathtt{P}[i]</tex>
            add <tex>r</tex> '''to''' <tex>\mathtt{P}[j]</tex>
       '''for''' <tex> i \in \mathtt{Involved}</tex>
         <tex>j = \mathtt{Twin}[i]</tex>
         '''if''' <tex> j \neq 0 </tex>
           '''if''' <tex>|\mathtt{P}[j]| > |\mathtt{P}[i]|</tex>  <font color=darkgreen>// парный класс должен быть меньшего размера</font>
             <tex>\mathtt{swap}(\mathtt{P}[i],\ \mathtt{P}[j])</tex> <font color=darkgreen>// swap за <tex>\mathtt{O(1)}</tex> {{---}} просто переставить указатели</font>
           '''for''' <tex>r \in \mathtt{P}[j]</tex> <font color=darkgreen> // обновляем номера классов для вершин, у которых они изменились</font>
             <tex>\mathtt{Class}[r] = j</tex>
           '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
             push <tex>\langle j, c \rangle</tex> '''to''' <tex>\mathtt{Queue}</tex>
         <tex>\mathtt{Count}[i] = 0</tex>
         <tex>\mathtt{Twin}[i] = 0</tex>
     '''return''' <tex>\mathtt{P}</tex>


Стоит отметить, что массивы <tex>\mathtt{Count},\ \mathtt{Twin}</tex> аллоцируются ровно один раз при инициализации алгоритма.

Также стоит отметить, что собственно наличие/отсутствие пары в очереди можно не проверять. Если для некоторого <tex>c</tex> пара <tex>\langle i, c \rangle</tex> уже была в очереди, то мы добавим её "вторую половинку" <tex>\langle \mathtt{Twin}[i], c \rangle</tex>. Если её в очереди не было, то мы вольны сами выбирать, какой подкласс добавлять в очередь, и таким образом добавляем опять же <tex>\langle \mathtt{Twin}[i], c \rangle</tex>.
Кроме того, вместо очереди можно использовать вообще произвольную структуру, хранящую элементы, в том числе стэк, множество, т.к. порядок извлечения нам по сути не важен.

===Время работы===

{{Лемма
|about = 1
|id = Лемма1
|statement =
Количество классов, созданных во время выполнения алгоритма, не превышает <tex>2 |Q| - 1</tex>.
|proof =
Представим дерево, которое соответствует операциям разделения классов на подклассы. Корнем этого дерева является все множество состояний <tex>Q</tex>. Листьями являются классы эквивалентности, оставшиеся после работы алгоритма. Так как дерево бинарное {{---}} каждый класс может породить лишь два новых, а количество листьев не может быть больше <tex>|Q|</tex>, то количество узлов этого дерева не может быть больше <tex>2 |Q| - 1</tex>, что доказывает утверждение леммы.
}}

{{Лемма
|about = 2
|id = Лемма2
|statement = 
Количество итераций цикла <tex>\mathrm{while}</tex> не превышает <tex> 2 |\Sigma| |Q| </tex>.
|proof =
Для доказательства этого утверждения достаточно показать, что количество пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex> добавленных в очередь <tex>S</tex> не превосходит <tex> 2 |\Sigma| |Q| </tex>, так как на каждой итерации мы извлекаем одну пару из очереди.

По [[#Лемма1 | лемме(1)]] количество классов не превосходит <tex>2 |Q| - 1</tex>. Пусть <tex>C</tex> элемент текущего разбиения. Тогда количество пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>, <tex>\ a \in \Sigma</tex> не может быть больше <tex>|\Sigma|</tex>. Отсюда следует, что всего различных пар, которые можно добавить в очередь, не превосходит <tex> 2 |\Sigma| |Q| </tex>.
}}

{{Лемма
|about = 3
|id = Лемма3
|statement = 
Пусть <tex>a \in \Sigma</tex> и <tex>p \in Q</tex>. Тогда количество пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>, где <tex>p \in C</tex>, которые мы удалим из очереди, не превосходит <tex>\log_2(|Q|)</tex> для фиксированных <tex>a</tex> и <tex>p</tex>.
|proof =
Рассмотрим пару <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>, где <tex>p \in C</tex>, которую мы удаляем из очереди. И пусть <tex>\langle C',a \rangle</tex> следующая пара, где <tex>p \in C'</tex> и которую мы удалим из очереди. Согласно нашему алгоритму класс <tex>C'</tex> мог появиться в очереди только после операции <tex>\mathtt{replace}</tex>. Но после первого же разбиения класса <tex>C</tex> на подклассы мы добавим в очередь пару <tex>\langle C'', a \rangle</tex>, где <tex>C''</tex> меньший из образовавшихся подклассов, то есть <tex>|C''| \leqslant |C| \ / \ 2</tex>. Так же заметим, что <tex>C' \subseteq C''</tex>, а следовательно <tex>|C'| \leqslant |C| \ / \ 2</tex>. Но тогда таких пар не может быть больше, чем <tex>\log_2(|Q|)</tex>. 
}}

{{Лемма
|about = 4
|id = Лемма4
|statement = 
<tex>\sum |\mathtt{Inverse}|</tex> по всем итерациям цикла <tex>\mathrm{while}</tex> не превосходит <tex>|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|)</tex>.
|proof =
Пусть <tex>x, y \in Q</tex>, <tex>a \in \Sigma</tex> и <tex> \delta(x, a) = y</tex>. Зафиксируем эту тройку. Заметим, что количество раз, которое <tex>x</tex> встречается в <tex>\mathtt{Inverse}</tex> при условии, что <tex> \delta(x, a) = y</tex>, совпадает с числом удаленных из очереди пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>, где <tex>y \in C</tex>. Но по [[#Лемма3 | лемме(3)]] эта величина не превосходит <tex>\log_2(|Q|)</tex>. Просуммировав по всем <tex> x \in Q </tex> и по всем <tex> a \in \Sigma</tex> мы получим утверждение леммы.
}}

{{Теорема
|statement =
Время работы алгоритма Хопкрофта равно <tex>O(|\Sigma| |Q| \log(|Q|)</tex>.
|proof =
Оценим, сколько времени занимает каждая часть алгоритма:

*Построение массива <tex>\mathtt{Inv}</tex> занимает <tex>O(|\Sigma| |Q|)</tex> времени. 

*По [[#Лемма2 | второй лемме]] количество итераций цикла <tex>\mathrm{while}</tex> не превосходит <tex>O(|\Sigma| |Q|)</tex>.

*Операции с множеством <tex>T'</tex> и разбиение классов на подклассы требуют <tex>O(\sum(|\mathtt{Inverse}|))</tex> времени. Но по [[#Лемма4 | лемме(4)]] <tex>\sum(|\mathtt{Inverse}|)</tex> не превосходит <tex>|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|)</tex>, то есть данная часть алгоритма выполняется за <tex>O(|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|))</tex>.

*В [[#Лемма1 | лемме(1)]] мы показали, что в процессе работы алгоритма не может появится больше, чем <tex>2 |Q| - 1</tex> классов, из чего следует, что количество операций <tex>\mathtt{replace}</tex> равно <tex>O(|\Sigma| |Q|)</tex>.

Итого, получается, что время работы алгоритма Хопкрофта не превышает <tex> O(|\Sigma| |Q|) + O(|\Sigma| |Q|) + O(|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|)) + O(|\Sigma| |Q|) = O(|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|))</tex>.
}}

=== Альтернативная реализация ===
Вообще, алгоритм можно реализовать и с меньшим количеством используемых структур (что делает код на порядок читабельнее).

Все классы разбиения будем по-прежнему хранить в векторе хэш-сетов <tex>\mathtt{P}</tex>.

*<tex>\mathtt{Class}[r]</tex> {{---}} индекс класса в <tex>\mathtt{P}</tex>, которому принадлежит состояние <tex>r</tex>,
*<tex>\mathtt{Queue}</tex> {{---}} очередь из пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>,
*<tex>\mathtt{Inv}[r][a]</tex> {{---}} массив состояний, из которых есть ребра по символу <tex>a</tex> в состояние <tex>r</tex> (мы не меняем исходный автомат, потому может быть построен раз перед началом работы алгоритма),
*<tex>\mathtt{Involved}</tex> {{---}} ассоциативный массив из номеров классов в векторы из номеров вершин.

  <tex>\mathtt{findEquivalenceClasses}(Q,\ F,\ \delta)</tex>:
     <tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F, \ Q \setminus F \}</tex>
     '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
       insert <tex>\langle F,\ c \rangle</tex>, <tex>\langle Q \setminus F,\ c \rangle</tex> '''into''' <tex> \mathtt{Queue}</tex>
     '''while''' <tex>\mathtt{Queue} \ne \varnothing</tex>
       <tex>\langle C,\ a \rangle</tex> <tex>\leftarrow</tex> pop '''from''' <tex>\mathtt{Queue}</tex>
       <tex>\mathtt{Involved} = \{\}</tex>
       '''for''' <tex>q \in C</tex> '''and''' <tex>r \in \mathtt{Inv}[q][a]</tex>
         <tex>i = \mathtt{Class}[r]</tex>
         '''if''' <tex>\mathtt{Involved}[i] == \varnothing</tex>
             <tex>\mathtt{Involved}[i] = \{\}</tex>
         add <tex>r</tex> '''to''' <tex>\mathtt{Involved}[i]</tex>
       '''for''' <tex> i \in \mathtt{Involved}</tex> <font color=darkgreen>//Перебираем ключи <tex>\mathtt{Involved}</tex></font>
         '''if''' <tex>|\mathtt{Involved}[i]| < |\mathtt{P}[i]|</tex>
             '''insert''' <tex>\{\}</tex> '''into''' <tex>\mathtt{P}</tex> <font color=darkgreen>//Создадим пустой класс в разбиении <tex>\mathtt{P}</tex></font>
             <tex>j = |\mathtt{P}|</tex> <font color=darkgreen>//Запишем в <tex>j</tex> индекс нового класса</font>
             '''for''' <tex>r</tex> '''in''' <tex>\mathtt{Involved}[i]</tex>
               remove <tex>r</tex> '''from''' <tex>\mathtt{P}[i]</tex>
               add <tex>r</tex> '''to''' <tex>\mathtt{P}[j]</tex>
             '''if''' <tex>|\mathtt{P}[j]| > |\mathtt{P}[i]|</tex>  <font color=darkgreen>//Парный класс должен быть меньшего размера</font>
                <tex>\mathtt{swap}(\mathtt{P}[i],\ \mathtt{P}[j])</tex> <font color=darkgreen>//swap за <tex>\mathtt{O(1)}</tex> {{---}} просто переставить указатели</font>
             '''for''' <tex>r \in \mathtt{P}[j]</tex> <font color=darkgreen>//Обновляем номера классов для вершин, у которых они изменились</font>
               <tex>\mathtt{Class}[r] = j</tex>
             '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
               push <tex>\langle j, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{Queue}</tex>
     '''return''' <tex>\mathtt{P}</tex>

== См. также ==

* [[Алгоритм Бржозовского]]

== Источники информации ==
* ''Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.'' Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2002. — С. 177 — ISBN 5-8459-0261-4 (рус.)
* ''D. Gries.'' Describing an algorithm by Hopcroft. Technical Report TR-72-151, Cornell University, December 1972.
* ''Hang Zhou.'' Implementation of Hopcroft's Algorithm, 19 December 2009.
* [http://i.stanford.edu/pub/cstr/reports/cs/tr/71/190/CS-TR-71-190.pdf ''John Hopcroft'' An O(nlogn) algorithm for minimizing states in a finite automation]


[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Автоматы и регулярные языки]]