Редактирование: Минимизация ДКА, алгоритм Хопкрофта (сложность O(n log n))

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 146: Строка 146:
  
  
Каждая итерация цикла <tex> \mathrm{while} </tex> может быть выполнена за <tex> O(|Q| + |\mathtt{Inverse}|)\,</tex> для текущей пары <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>. Покажем, как можно достичь этой оценки.
+
Каждая итерация цикла <tex> \mathrm{while} </tex> может быть выполнена за <tex> O(|Q| + |\mathtt{Inverse}|) </tex> для текущей пары <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>. Покажем, как можно достичь этой оценки.
  
 
Классы разбиения <tex>P</tex> будем поддерживать с помощью множеств на [[Хеш-таблица | хэш-таблицах]] (само же разбиение {{---}} обычный вектор, индекс {{---}} номер класса). Это позволит нам эффективно переносить состояния из одного класса в другой (за <tex>O(1)</tex>).
 
Классы разбиения <tex>P</tex> будем поддерживать с помощью множеств на [[Хеш-таблица | хэш-таблицах]] (само же разбиение {{---}} обычный вектор, индекс {{---}} номер класса). Это позволит нам эффективно переносить состояния из одного класса в другой (за <tex>O(1)</tex>).
Строка 152: Строка 152:
 
*<tex>\mathtt{Class}[r]</tex> {{---}} номер класса, которому принадлежит состояние <tex>r</tex>,
 
*<tex>\mathtt{Class}[r]</tex> {{---}} номер класса, которому принадлежит состояние <tex>r</tex>,
 
*<tex>\mathtt{Queue}</tex> {{---}} очередь пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>, где <tex>C</tex> {{---}} номер класса (сплиттера),
 
*<tex>\mathtt{Queue}</tex> {{---}} очередь пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>, где <tex>C</tex> {{---}} номер класса (сплиттера),
*<tex>\mathtt{Inv}[r][a]</tex> {{---}} массив состояний, из которых есть ребра по символу <tex>a</tex> в состояние <tex>r</tex> (мы не меняем исходный автомат, потому может быть построен раз перед началом работы алгоритма).
+
*<tex>\mathtt{Inv}[r][a]</tex> {{---}} массив состояний, из которых есть ребра по символу <tex>a</tex> в состояние <tex>r</tex> (мы не меняем исходный автомат, потому может быть построен раз перед началом работы алгоритма),
  
Для обработки <tex>T'</tex> за <tex>O(|Q| + |\mathtt{Inverse}|)\,</tex> нам понадобится следующая структура:
+
Для обработки <tex>T'</tex> за <tex>O(|Q| + |\mathtt{Inverse}|)</tex> нам понадобится следующая структура:
 
*<tex>\mathtt{Involved}</tex> {{---}} список из номеров классов, содержащихся во множестве <tex>T'</tex>,
 
*<tex>\mathtt{Involved}</tex> {{---}} список из номеров классов, содержащихся во множестве <tex>T'</tex>,
 
*<tex>\mathtt{Count}</tex> {{---}} целочисленный массив, где <tex>\mathtt{Count}[i]</tex> хранит количество состояний из класса <tex>i</tex>, которые содержатся в <tex>\mathtt{Inverse}</tex>,
 
*<tex>\mathtt{Count}</tex> {{---}} целочисленный массив, где <tex>\mathtt{Count}[i]</tex> хранит количество состояний из класса <tex>i</tex>, которые содержатся в <tex>\mathtt{Inverse}</tex>,
*<tex>\mathtt{Twin}</tex> {{---}} массив, хранящий в <tex>\mathtt{Twin}[i]</tex> номер нового класса, образовавшегося при разбиении класса <tex>i</tex>.
+
*<tex>\mathtt{Twin}</tex> {{---}} массив, хранящий в <tex>\mathtt{Twin}[i]</tex> номер нового класса, образовавшегося при разбиении класса <tex>i</tex>,
  
 
   '''function''' findEquivalenceClasses<tex>(Q,\ F,\ \delta)</tex>: '''vector'''  
 
   '''function''' findEquivalenceClasses<tex>(Q,\ F,\ \delta)</tex>: '''vector'''  
Строка 195: Строка 195:
  
  
Стоит отметить, что массивы <tex>\mathtt{Count},\ \mathtt{Twin}\,</tex> аллоцируются ровно один раз при инициализации алгоритма.
+
Стоит отметить, что массивы <tex>\mathtt{Count},\ \mathtt{Twin}</tex> аллоцируются ровно один раз при инициализации алгоритма.
  
 
Также стоит отметить, что собственно наличие/отсутствие пары в очереди можно не проверять. Если для некоторого <tex>c</tex> пара <tex>\langle i, c \rangle</tex> уже была в очереди, то мы добавим её "вторую половинку" <tex>\langle \mathtt{Twin}[i], c \rangle</tex>. Если её в очереди не было, то мы вольны сами выбирать, какой подкласс добавлять в очередь, и таким образом добавляем опять же <tex>\langle \mathtt{Twin}[i], c \rangle</tex>.
 
Также стоит отметить, что собственно наличие/отсутствие пары в очереди можно не проверять. Если для некоторого <tex>c</tex> пара <tex>\langle i, c \rangle</tex> уже была в очереди, то мы добавим её "вторую половинку" <tex>\langle \mathtt{Twin}[i], c \rangle</tex>. Если её в очереди не было, то мы вольны сами выбирать, какой подкласс добавлять в очередь, и таким образом добавляем опять же <tex>\langle \mathtt{Twin}[i], c \rangle</tex>.
Кроме того, вместо очереди можно использовать вообще произвольную структуру, хранящую элементы, в том числе стэк, множество, так как порядок извлечения нам по сути не важен.
+
Кроме того, вместо очереди можно использовать вообще произвольную структуру, хранящую элементы, в том числе стэк, множество, т.к. порядок извлечения нам по сути не важен.
  
 
===Время работы===
 
===Время работы===
Строка 237: Строка 237:
 
<tex>\sum |\mathtt{Inverse}|</tex> по всем итерациям цикла <tex>\mathrm{while}</tex> не превосходит <tex>|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|)</tex>.
 
<tex>\sum |\mathtt{Inverse}|</tex> по всем итерациям цикла <tex>\mathrm{while}</tex> не превосходит <tex>|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|)</tex>.
 
|proof =
 
|proof =
Пусть <tex>x, y \in Q</tex>, <tex>a \in \Sigma</tex> и <tex> \delta(x, a) = y</tex>. Зафиксируем эту тройку. Заметим, что количество раз, которое <tex>x</tex> встречается в <tex>\mathtt{Inverse}\,</tex> при условии, что <tex> \delta(x, a) = y</tex>, совпадает с числом удаленных из очереди пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>, где <tex>y \in C</tex>. Но по [[#Лемма3 | лемме(3)]] эта величина не превосходит <tex>\log_2(|Q|)</tex>. Просуммировав по всем <tex> x \in Q </tex> и по всем <tex> a \in \Sigma</tex> мы получим утверждение леммы.
+
Пусть <tex>x, y \in Q</tex>, <tex>a \in \Sigma</tex> и <tex> \delta(x, a) = y</tex>. Зафиксируем эту тройку. Заметим, что количество раз, которое <tex>x</tex> встречается в <tex>\mathtt{Inverse}</tex> при условии, что <tex> \delta(x, a) = y</tex>, совпадает с числом удаленных из очереди пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>, где <tex>y \in C</tex>. Но по [[#Лемма3 | лемме(3)]] эта величина не превосходит <tex>\log_2(|Q|)</tex>. Просуммировав по всем <tex> x \in Q </tex> и по всем <tex> a \in \Sigma</tex> мы получим утверждение леммы.
 
}}
 
}}
  
Строка 250: Строка 250:
 
*По [[#Лемма2 | второй лемме]] количество итераций цикла <tex>\mathrm{while}</tex> не превосходит <tex>O(|\Sigma| |Q|)</tex>.
 
*По [[#Лемма2 | второй лемме]] количество итераций цикла <tex>\mathrm{while}</tex> не превосходит <tex>O(|\Sigma| |Q|)</tex>.
  
*Операции с множеством <tex>T'</tex> и разбиение классов на подклассы требуют <tex>O(\sum(|\mathtt{Inverse}|))\,</tex> времени. Но по [[#Лемма4 | лемме(4)]] <tex>\sum(|\mathtt{Inverse}|)\,</tex> не превосходит <tex>|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|)</tex>, то есть данная часть алгоритма выполняется за <tex>O(|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|))</tex>.
+
*Операции с множеством <tex>T'</tex> и разбиение классов на подклассы требуют <tex>O(\sum(|\mathtt{Inverse}|))</tex> времени. Но по [[#Лемма4 | лемме(4)]] <tex>\sum(|\mathtt{Inverse}|)</tex> не превосходит <tex>|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|)</tex>, то есть данная часть алгоритма выполняется за <tex>O(|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|))</tex>.
  
 
*В [[#Лемма1 | лемме(1)]] мы показали, что в процессе работы алгоритма не может появится больше, чем <tex>2 |Q| - 1</tex> классов, из чего следует, что количество операций <tex>\mathtt{replace}</tex> равно <tex>O(|\Sigma| |Q|)</tex>.
 
*В [[#Лемма1 | лемме(1)]] мы показали, что в процессе работы алгоритма не может появится больше, чем <tex>2 |Q| - 1</tex> классов, из чего следует, что количество операций <tex>\mathtt{replace}</tex> равно <tex>O(|\Sigma| |Q|)</tex>.

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)