Минимизация ДКА, алгоритм Хопкрофта (сложность O(n log n)) — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 16: Строка 16:
 
Итеративно строим разбиение множества состояний следующим образом.
 
Итеративно строим разбиение множества состояний следующим образом.
 
# Первоначальное разбиение множества состояний {{---}} класс допускающих состояний <tex>F</tex> и класс недопускающих состояний (<tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F, \ Q \setminus F \}</tex>).
 
# Первоначальное разбиение множества состояний {{---}} класс допускающих состояний <tex>F</tex> и класс недопускающих состояний (<tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F, \ Q \setminus F \}</tex>).
# Перебираются символы алфавита <tex>c \in \Sigma</tex>, все пары <<tex>F,\ c</tex>> и <<tex>Q \setminus F, c</tex>> помещаются в очередь.
+
# Перебираются символы алфавита <tex>c \in \Sigma</tex>, все пары <tex>\langle F,\ c \rangle</tex> и <tex>\langle Q \setminus F, c \rangle</tex> помещаются в очередь.
# Из очереди извлекается пара <<tex>C,\ a</tex>>, <tex>C</tex> далее именуется как сплиттер.
+
# Из очереди извлекается пара <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>, <tex>C</tex> далее именуется как сплиттер.
 
# Каждый класс <tex>R</tex> текущего разбиения разбиваются на 2 подкласса (один из которых может быть пустым). Первый состоит из состояний, которые по символу <tex>a</tex> переходят в сплиттер (<tex>R_1</tex>), а второй из всех оставшихся (<tex>R_2</tex>).  
 
# Каждый класс <tex>R</tex> текущего разбиения разбиваются на 2 подкласса (один из которых может быть пустым). Первый состоит из состояний, которые по символу <tex>a</tex> переходят в сплиттер (<tex>R_1</tex>), а второй из всех оставшихся (<tex>R_2</tex>).  
 
# Если <tex>R</tex> разбился на два непустых подкласса (т.е. <tex> R_1 \ne \emptyset \ \land \  R_2 \ne \emptyset </tex>).
 
# Если <tex>R</tex> разбился на два непустых подкласса (т.е. <tex> R_1 \ne \emptyset \ \land \  R_2 \ne \emptyset </tex>).
 
## В разбиении <tex>P</tex> класс <tex>R</tex> заменяется на свои подклассы <tex>R_1</tex> и <tex>R_2</tex>.
 
## В разбиении <tex>P</tex> класс <tex>R</tex> заменяется на свои подклассы <tex>R_1</tex> и <tex>R_2</tex>.
## Перебираются символы алфавита <tex>c \in \Sigma</tex>, все пары <<tex>R_1, c</tex>> и <<tex>R_2, c</tex>> помещаются в очередь.
+
## Перебираются символы алфавита <tex>c \in \Sigma</tex>, все пары <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> и <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> помещаются в очередь.
 
# Пока очередь не пуста, выполняем п.3 – п.5.
 
# Пока очередь не пуста, выполняем п.3 – п.5.
  
Строка 27: Строка 27:
 
*<tex>Q</tex> {{---}} множество состояний ДКА.
 
*<tex>Q</tex> {{---}} множество состояний ДКА.
 
*<tex>F</tex> {{---}} множество терминальных состояний.
 
*<tex>F</tex> {{---}} множество терминальных состояний.
*<tex>\delta</tex> {{---}} функция перехода (<tex>\delta (r,\ a)</tex> - состояние, в которое можно совершить переход из <tex>r</tex> по символу <tex>a</tex>)
+
*<tex>\delta</tex> {{---}} функция перехода (<tex>\delta (r,\ a)</tex> {{---}} состояние, в которое можно совершить переход из <tex>r</tex> по символу <tex>a</tex>)
*<tex>S</tex> {{---}} очередь пар <<tex>C,\ a</tex>>.
+
*<tex>S</tex> {{---}} очередь пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>.
 
*<tex>P</tex> {{---}} разбиение множества состояний ДКА.
 
*<tex>P</tex> {{---}} разбиение множества состояний ДКА.
 
*<tex>R</tex> {{---}} класс состояний ДКА.
 
*<tex>R</tex> {{---}} класс состояний ДКА.
  
   <tex>\mathtt{findEquivalenceClasses}(Q,\ F,\ \delta)</tex>
+
   <tex>\mathtt{findEquivalenceClasses}(Q,\ F,\ \delta)</tex>:
 
     <tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F,\ Q \setminus F \}</tex>
 
     <tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F,\ Q \setminus F \}</tex>
 
     <tex>\mathtt{S} \leftarrow \varnothing </tex>
 
     <tex>\mathtt{S} \leftarrow \varnothing </tex>
 
     '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
 
     '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
       '''push''' <<tex>F,\ c</tex>>, <<tex>Q \setminus F,\ c</tex>> '''into''' <tex> \mathtt{S}</tex>
+
       '''push''' <tex>\langle F,\ c \rangle</tex>, <tex>\langle Q \setminus F,\ c \rangle</tex> '''into''' <tex> \mathtt{S}</tex>
 
     '''while''' <tex>\mathtt{S} \ne \varnothing</tex>
 
     '''while''' <tex>\mathtt{S} \ne \varnothing</tex>
       <<tex>C,\ a</tex>> <tex>\leftarrow</tex> '''pop''' '''from''' <tex>\mathtt{S}</tex>
+
       <tex>\langle C,\ a \rangle</tex> <tex>\leftarrow</tex> '''pop''' '''from''' <tex>\mathtt{S}</tex>
 
       '''for''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex>  
 
       '''for''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex>  
 
         <tex> R_1, R_2 \leftarrow </tex> <tex>\mathtt{split}(R,\ C,\ a)</tex>
 
         <tex> R_1, R_2 \leftarrow </tex> <tex>\mathtt{split}(R,\ C,\ a)</tex>
Строка 44: Строка 44:
 
         '''replace''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex> '''with''' <tex>R_1</tex> '''and''' <tex>R_2</tex>
 
         '''replace''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex> '''with''' <tex>R_1</tex> '''and''' <tex>R_2</tex>
 
         '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
 
         '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
           '''insert''' <<tex>R_1,\ c</tex>> '''in''' <tex>\mathtt{S}</tex>
+
           '''insert''' <tex>\langle R_1,\ c \rangle</tex> '''in''' <tex>\mathtt{S}</tex>
           '''insert''' <<tex>R_2,\ c</tex>> '''in''' <tex>\mathtt{S}</tex>
+
           '''insert''' <tex>\langle R_2,\ c \rangle</tex> '''in''' <tex>\mathtt{S}</tex>
 
     '''return''' <tex>\mathtt{P}</tex>
 
     '''return''' <tex>\mathtt{P}</tex>
  
Строка 51: Строка 51:
  
 
===Время работы===
 
===Время работы===
Время работы алгоритма оценивается как <tex>O(|\Sigma| \cdot n^2)</tex>, где <tex> n </tex> {{---}} количество состояний ДКА, а <tex> \Sigma </tex> {{---}} алфавит. Это следует из того, что если пара <<tex>C,\ a</tex>> попала в очередь, и класс <tex>C</tex> использовался в качестве сплиттера, то при последующем разбиении этого класса в очередь добавляется два класса <tex>C_1</tex> и <tex>C_2</tex>, причем можно гарантировать лишь следующее уменьшение размера: <tex>|C| \ge |C_i| + 1</tex>. Каждое состояние изначально принадлежит лишь одному классу в очереди, поэтому каждый переход в автомате будет просмотрен не более, чем <tex>O(n)</tex> раз. Учитывая, что ребер всего <tex>O(|\Sigma| \cdot n)</tex>, получаем указанную оценку.
+
Время работы алгоритма оценивается как <tex>O(|\Sigma| \cdot n^2)</tex>, где <tex> n </tex> {{---}} количество состояний ДКА, а <tex> \Sigma </tex> {{---}} алфавит. Это следует из того, что если пара <tex>\langle C,\ a \rangle</tex> попала в очередь, и класс <tex>C</tex> использовался в качестве сплиттера, то при последующем разбиении этого класса в очередь добавляется два класса <tex>C_1</tex> и <tex>C_2</tex>, причем можно гарантировать лишь следующее уменьшение размера: <tex>|C| \ge |C_i| + 1</tex>. Каждое состояние изначально принадлежит лишь одному классу в очереди, поэтому каждый переход в автомате будет просмотрен не более, чем <tex>O(n)</tex> раз. Учитывая, что ребер всего <tex>O(|\Sigma| \cdot n)</tex>, получаем указанную оценку.
  
 
== Алгоритм Хопкрофта==
 
== Алгоритм Хопкрофта==
Строка 60: Строка 60:
 
|proof =  
 
|proof =  
 
Разобьем все классы с помощью <tex>R </tex> и <tex> R_1</tex> по символу <tex>a</tex>, тогда для любого класса <tex>B</tex> из текущего разбиения выполняется
 
Разобьем все классы с помощью <tex>R </tex> и <tex> R_1</tex> по символу <tex>a</tex>, тогда для любого класса <tex>B</tex> из текущего разбиения выполняется
:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R \ \land \  \delta(r, a) \in R_1</tex>
+
:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R \ \land \  \delta(r, a) \in R_1 \ \lor</tex>
:<tex> \ \lor \ \forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R \ \land \  \delta(r, a) \notin R_1</tex>
+
:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R \ \land \  \delta(r, a) \notin R_1 \ \lor</tex>
:<tex> \ \lor \ \forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R \ \land \  \delta(r, a) \notin R_1</tex>   
+
:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R \ \land \  \delta(r, a) \notin R_1</tex>   
 
А так как <tex>R = R_1 \cup R_2</tex> и <tex>R_1 \cap R_2 = \varnothing</tex> то выполняется
 
А так как <tex>R = R_1 \cup R_2</tex> и <tex>R_1 \cap R_2 = \varnothing</tex> то выполняется
:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R_2 </tex>
+
:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R_2 \ \lor</tex>
:<tex> \ \lor \  \forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R_2</tex>  
+
:<tex> \forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R_2</tex>  
 
Из этого следует, что разбиение всех классов с помощью <tex>R_2</tex> никак не повлияет на текущее разбиение. <br/>
 
Из этого следует, что разбиение всех классов с помощью <tex>R_2</tex> никак не повлияет на текущее разбиение. <br/>
 
Аналогично доказывается и для разбиения с помощью <tex>R </tex> и <tex> R_2</tex> по символу <tex>a</tex>. <br/>
 
Аналогично доказывается и для разбиения с помощью <tex>R </tex> и <tex> R_2</tex> по символу <tex>a</tex>. <br/>
 
Разобьем все классы с помощью <tex>R_1</tex> и <tex> R_2</tex> по символу <tex>a</tex>, тогда для любого класса <tex>B</tex> из текущего разбиения выполняется
 
Разобьем все классы с помощью <tex>R_1</tex> и <tex> R_2</tex> по символу <tex>a</tex>, тогда для любого класса <tex>B</tex> из текущего разбиения выполняется
:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R_1 \ \land \  \delta(r, a) \notin R_2</tex>
+
:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R_1 \ \land \  \delta(r, a) \notin R_2 \ \lor</tex>
:<tex> \ \lor \ \forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R_1 \ \land \  \delta(r, a) \in R_2</tex>
+
:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R_1 \ \land \  \delta(r, a) \in R_2 \ \lor</tex>
:<tex> \ \lor \ \forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R_1 \ \land \  \delta(r, a) \notin R_2</tex>   
+
:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R_1 \ \land \  \delta(r, a) \notin R_2</tex>   
 
А так как <tex>R = R_1 \cup R_2</tex> и <tex>R_1 \cap R_2 = \varnothing</tex> то выполняется
 
А так как <tex>R = R_1 \cup R_2</tex> и <tex>R_1 \cap R_2 = \varnothing</tex> то выполняется
:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R </tex>
+
:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R \ \lor</tex>
:<tex> \ \lor \  \forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R</tex>  
+
:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R</tex>  
 
Из этого следует, что разбиение всех классов с помощью <tex>R</tex> никак не повлияет на текущее разбиение.
 
Из этого следует, что разбиение всех классов с помощью <tex>R</tex> никак не повлияет на текущее разбиение.
 
}}
 
}}
Строка 81: Строка 81:
 
После замены класса <tex>R</tex> в разбиении <tex>P</tex> на его подклассы <tex>R_1</tex> и <tex>R_2</tex>, как и раньше перебираем символы алфавита <tex>c \in \Sigma</tex>.
 
После замены класса <tex>R</tex> в разбиении <tex>P</tex> на его подклассы <tex>R_1</tex> и <tex>R_2</tex>, как и раньше перебираем символы алфавита <tex>c \in \Sigma</tex>.
  
Если пара <<tex>R,\ c</tex>> уже есть в очереди, то согласно лемме можно просто заменить её на пары <<tex>R_1, c</tex>> и <<tex>R_2, c</tex>>.
+
Если пара <tex>\langle R,\ c \rangle</tex> уже есть в очереди, то согласно лемме можно просто заменить её на пары <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> и <tex>\langle R_2, c \rangle</tex>.
  
Если пары <<tex>R,\ c</tex>> нет в очереди, то достаточно добавить любую из пар <<tex>R_1, c</tex>> и <<tex>R_2, c</tex>>. Это следует из следующих соображений: <tex>R</tex> может быть в разбиении только если в очередь были положены пары <<tex>R,\ a</tex>> для <tex>\forall a \in \Sigma</tex>, а поскольку в очереди пары <<tex>R,\ c</tex>> нет, то  мы её уже успели рассмотреть, следовательно классы из разбиения <tex>P</tex> уже были разбиты по <<tex>R,\ c</tex>>.
+
Если пары <tex>\langle R,\ c \rangle</tex> нет в очереди, то достаточно добавить любую из пар <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> и <tex>\langle R_2, c \rangle</tex>. Это следует из следующих соображений: <tex>R</tex> может быть в разбиении только если в очередь были положены пары <tex>\langle R,\ a \rangle</tex> для <tex>\forall a \in \Sigma</tex>, а поскольку в очереди пары <tex>\langle R,\ c \rangle</tex> нет, то  мы её уже успели рассмотреть, следовательно классы из разбиения <tex>P</tex> уже были разбиты по <tex>\langle R,\ c \rangle</tex>.
  
 
=== Реализация ===
 
=== Реализация ===
<tex>\mathtt{pushSetsToQueue}(S,\ R_1,\ R_2,\ c)</tex> {{---}} функция, которая добавляет одну из пар <<tex>R_1, c</tex>>, <<tex>R_2, c</tex>> в очередь S.
+
<tex>\mathtt{pushSetsToQueue}(S,\ R_1,\ R_2,\ c)</tex> {{---}} функция, которая добавляет одну из пар <tex>\langle R_1, c \rangle</tex>, <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> в очередь S.
  
 
*<tex>Q</tex> {{---}} множество состояний ДКА.
 
*<tex>Q</tex> {{---}} множество состояний ДКА.
 
*<tex>F</tex> {{---}} множество терминальных состояний.
 
*<tex>F</tex> {{---}} множество терминальных состояний.
 
*<tex>\delta</tex> {{---}} функция перехода (<tex>\delta (r,\ a)</tex> - состояние, в которое можно совершить переход из <tex>r</tex> по символу <tex>a</tex>)
 
*<tex>\delta</tex> {{---}} функция перехода (<tex>\delta (r,\ a)</tex> - состояние, в которое можно совершить переход из <tex>r</tex> по символу <tex>a</tex>)
*<tex>S</tex> {{---}} очередь пар <<tex>C,\ a</tex>>.
+
*<tex>S</tex> {{---}} очередь пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>.
 
*<tex>P</tex> {{---}} разбиение множества состояний ДКА.
 
*<tex>P</tex> {{---}} разбиение множества состояний ДКА.
 
*<tex>R</tex> {{---}} класс состояний ДКА.
 
*<tex>R</tex> {{---}} класс состояний ДКА.
  
   <tex>\mathtt{findEquivalenceClasses}(Q,\ F,\ \delta)</tex>
+
   <tex>\mathtt{findEquivalenceClasses}(Q,\ F,\ \delta)</tex>:
 
     <tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F, \ Q \setminus F \}</tex>
 
     <tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F, \ Q \setminus F \}</tex>
 
     <tex>\mathtt{S} \leftarrow \varnothing </tex>
 
     <tex>\mathtt{S} \leftarrow \varnothing </tex>
 
     '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
 
     '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
       '''push''' <<tex>F,\ c</tex>>, <<tex>Q \setminus F,\ c</tex>> '''into''' <tex> \mathtt{S}</tex>
+
       '''push''' <tex>\langle F,\ c \rangle</tex>, <tex>\langle Q \setminus F,\ c \rangle</tex> '''into''' <tex> \mathtt{S}</tex>
 
     '''while''' <tex>\mathtt{S} \ne \varnothing</tex>
 
     '''while''' <tex>\mathtt{S} \ne \varnothing</tex>
       <<tex>C,\ a</tex>> <tex>\leftarrow</tex> '''pop''' '''from''' <tex>\mathtt{S}</tex>
+
       <tex>\langle C,\ a \rangle</tex> <tex>\leftarrow</tex> '''pop''' '''from''' <tex>\mathtt{S}</tex>
 
       '''for''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex>  
 
       '''for''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex>  
 
         <tex> R_1, R_2 \leftarrow </tex> <tex>\mathtt{split}(R,\ C,\ a)</tex>
 
         <tex> R_1, R_2 \leftarrow </tex> <tex>\mathtt{split}(R,\ C,\ a)</tex>
Строка 110: Строка 110:
 
     '''return''' <tex>\mathtt{P}</tex>
 
     '''return''' <tex>\mathtt{P}</tex>
  
Понятно, что нам нет никакой необходимости просматривать все классы в разбиении. Вполне достаточно рассмотреть лишь те классы, из состояний которых есть хотя бы одно ребро в состояния сплиттера. Обозначим множество таких классов за T' (его нужно будет эффективно находить для каждой пары <<tex>C,\ a</tex>>).
+
Понятно, что нам нет никакой необходимости просматривать все классы в разбиении. Вполне достаточно рассмотреть лишь те классы, из состояний которых есть хотя бы одно ребро в состояния сплиттера. Обозначим множество таких классов за <tex>T'</tex> (его нужно будет эффективно находить для каждой пары <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>).
  
   <tex>\mathtt{findEquivalenceClasses}(Q,\ F,\ \delta)</tex>
+
   <tex>\mathtt{findEquivalenceClasses}(Q,\ F,\ \delta)</tex>:
 
     <tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F, \ Q \setminus F \}</tex>
 
     <tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F, \ Q \setminus F \}</tex>
 
     <tex>\mathtt{S} \leftarrow \varnothing </tex>
 
     <tex>\mathtt{S} \leftarrow \varnothing </tex>
 
     '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
 
     '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
       '''push''' <<tex>F,\ c</tex>>, <<tex>Q \setminus F,\ c</tex>> '''into''' <tex> \mathtt{S}</tex>
+
       '''push''' <tex>\langle F,\ c \rangle</tex>, <tex>\langle Q \setminus F,\ c \rangle</tex> '''into''' <tex> \mathtt{S}</tex>
 
     '''while''' <tex>\mathtt{S} \ne \varnothing</tex>
 
     '''while''' <tex>\mathtt{S} \ne \varnothing</tex>
       <<tex>C,\ a</tex>> <tex>\leftarrow</tex> '''pop''' '''from''' <tex>\mathtt{S}</tex>
+
       <tex>\langle C,\ a \rangle</tex> <tex>\leftarrow</tex> '''pop''' '''from''' <tex>\mathtt{S}</tex>
 
       <tex>\mathtt{Inverse} \leftarrow \{r \ | \ r \in Q, \ \delta(r, a) \in C\}</tex>
 
       <tex>\mathtt{Inverse} \leftarrow \{r \ | \ r \in Q, \ \delta(r, a) \in C\}</tex>
 
       <tex>T' \leftarrow \{R \ | \ R \in \mathtt{P}, \ R \cap \mathtt{Inverse} \neq \varnothing\}</tex>
 
       <tex>T' \leftarrow \{R \ | \ R \in \mathtt{P}, \ R \cap \mathtt{Inverse} \neq \varnothing\}</tex>
Строка 130: Строка 130:
  
  
Каждая итерация цикла <tex> \mathrm{while} </tex> может быть выполнена за <tex> O(|Q| + |\mathtt{Inverse}|) </tex> для текущей пары <<tex>C,\ a</tex>>. Покажем, как можно достичь этой оценки.
+
Каждая итерация цикла <tex> \mathrm{while} </tex> может быть выполнена за <tex> O(|Q| + |\mathtt{Inverse}|) </tex> для текущей пары <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>. Покажем, как можно достичь этой оценки.
  
 
Классы разбиения <tex>P</tex> будем поддерживать с помощью множеств на [[Хеш-таблица | хэш-таблицах]] (само же разбиение - обычный вектор, индекс - номер класса). Это позволит нам эффективно переносить состояния из одного класса в другой (за O(1)).
 
Классы разбиения <tex>P</tex> будем поддерживать с помощью множеств на [[Хеш-таблица | хэш-таблицах]] (само же разбиение - обычный вектор, индекс - номер класса). Это позволит нам эффективно переносить состояния из одного класса в другой (за O(1)).
Строка 136: Строка 136:
 
*<tex>\mathtt{Class}[r]</tex> {{---}} номер класса, которому принадлежит состояние <tex>r</tex>
 
*<tex>\mathtt{Class}[r]</tex> {{---}} номер класса, которому принадлежит состояние <tex>r</tex>
 
*<tex>\mathtt{Card}[i]</tex> {{---}} размер класса <tex>i</tex>
 
*<tex>\mathtt{Card}[i]</tex> {{---}} размер класса <tex>i</tex>
*<tex>\mathtt{Queue}</tex> {{---}} очередь пар <<tex>C,\ a</tex>>, где <tex>C</tex> {{---}} номер класса (сплиттера)
+
*<tex>\mathtt{Queue}</tex> {{---}} очередь пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>, где <tex>C</tex> {{---}} номер класса (сплиттера)
*<tex>\mathtt{InQueue}</tex> {{---}} двумерный массив булеанов, <tex>\mathtt{InQueue}[C][a] == true</tex>, если <<tex>C,\ a</tex>> находится в очереди <tex>\mathtt{Queue}</tex>
+
*<tex>\mathtt{InQueue}</tex> {{---}} двумерный массив булеанов, <tex>\mathtt{InQueue}[C][a] == true</tex>, если <tex>\langle C,\ a \rangle</tex> находится в очереди <tex>\mathtt{Queue}</tex>
 
*<tex>\mathtt{Inv}[r][a]</tex> {{---}} массив состояний, из которых есть ребра по символу <tex>a</tex> в состояние <tex>r</tex> (мы не меняем исходный автомат, потому может быть построен раз перед началом работы алгоритма)
 
*<tex>\mathtt{Inv}[r][a]</tex> {{---}} массив состояний, из которых есть ребра по символу <tex>a</tex> в состояние <tex>r</tex> (мы не меняем исходный автомат, потому может быть построен раз перед началом работы алгоритма)
  
Строка 146: Строка 146:
 
*<tex>\mathtt{Twin}</tex> {{---}} массив, хранящий в <tex>\mathtt{Twin}[i]</tex> номер нового класса, образовавшегося при разбиении класса <tex>i</tex>.  
 
*<tex>\mathtt{Twin}</tex> {{---}} массив, хранящий в <tex>\mathtt{Twin}[i]</tex> номер нового класса, образовавшегося при разбиении класса <tex>i</tex>.  
  
   <tex>\mathtt{findEquivalenceClasses}(Q,\ F,\ \delta)</tex>
+
   <tex>\mathtt{findEquivalenceClasses}(Q,\ F,\ \delta)</tex>:
 
     <tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F, \ Q \setminus F \}</tex>
 
     <tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F, \ Q \setminus F \}</tex>
 
     '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
 
     '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
       '''push''' <<tex>F,\ c</tex>>, <<tex>Q \setminus F,\ c</tex>> '''into''' <tex> \mathtt{Queue}</tex>
+
       '''push''' <tex>\langle F,\ c \rangle</tex>, <tex>\langle Q \setminus F,\ c \rangle</tex> '''into''' <tex> \mathtt{Queue}</tex>
 
       <tex>\mathtt{InQueue}[F][c] \  \leftarrow \  true</tex>
 
       <tex>\mathtt{InQueue}[F][c] \  \leftarrow \  true</tex>
 
       <tex>\mathtt{InQueue}[Q \setminus F][c] \  \leftarrow \  true</tex>
 
       <tex>\mathtt{InQueue}[Q \setminus F][c] \  \leftarrow \  true</tex>
 
     '''while''' <tex>\mathtt{Queue} \ne \varnothing</tex>
 
     '''while''' <tex>\mathtt{Queue} \ne \varnothing</tex>
       <<tex>C,\ a</tex>> <tex>\leftarrow</tex> '''pop''' '''from''' <tex>\mathtt{Queue}</tex>
+
       <tex>\langle C,\ a \rangle</tex> <tex>\leftarrow</tex> '''pop''' '''from''' <tex>\mathtt{Queue}</tex>
 
       <tex>\mathtt{Involved} \leftarrow \varnothing</tex>
 
       <tex>\mathtt{Involved} \leftarrow \varnothing</tex>
 
       '''for''' <tex>q \in C</tex> '''and''' <tex>r \in \mathtt{Inv}[q][a]</tex>
 
       '''for''' <tex>q \in C</tex> '''and''' <tex>r \in \mathtt{Inv}[q][a]</tex>
Строка 186: Строка 186:
 
       <tex>cnt2  \leftarrow  \mathtt{Card}[R_2]</tex>  
 
       <tex>cnt2  \leftarrow  \mathtt{Card}[R_2]</tex>  
 
       '''if''' <tex> \mathtt{InQueue}[R_1][c] == false </tex> '''and''' <tex> cnt1 \leqslant cnt2 </tex>
 
       '''if''' <tex> \mathtt{InQueue}[R_1][c] == false </tex> '''and''' <tex> cnt1 \leqslant cnt2 </tex>
         '''push''' <<tex>R_1, c</tex>> '''to''' <tex>\mathtt{Queue}</tex>
+
         '''push''' <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> '''to''' <tex>\mathtt{Queue}</tex>
 
         <tex>\mathtt{InQueue}[R_1][c] \  \leftarrow \  true</tex>
 
         <tex>\mathtt{InQueue}[R_1][c] \  \leftarrow \  true</tex>
 
       '''else'''
 
       '''else'''
         '''push''' <<tex>R_2, c</tex>> '''to''' <tex>\mathtt{Queue}</tex>
+
         '''push''' <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> '''to''' <tex>\mathtt{Queue}</tex>
 
         <tex>\mathtt{InQueue}[R_2][c] \  \leftarrow \  true</tex>
 
         <tex>\mathtt{InQueue}[R_2][c] \  \leftarrow \  true</tex>
  
Строка 209: Строка 209:
 
Количество итераций цикла <tex>\mathrm{while}</tex> не превышает <tex> 2 |\Sigma| |Q| </tex>.
 
Количество итераций цикла <tex>\mathrm{while}</tex> не превышает <tex> 2 |\Sigma| |Q| </tex>.
 
|proof =
 
|proof =
Для доказательства этого утверждения достаточно показать, что количество пар <<tex>C,\ a</tex>> добавленных в очередь <tex>S</tex> не превосходит <tex> 2 |\Sigma| |Q| </tex>, так как на каждой итерации мы извлекаем одну пару из очереди.
+
Для доказательства этого утверждения достаточно показать, что количество пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex> добавленных в очередь <tex>S</tex> не превосходит <tex> 2 |\Sigma| |Q| </tex>, так как на каждой итерации мы извлекаем одну пару из очереди.
  
По [[#Лемма1 | лемме(1)]] количество классов не превосходит <tex>2 |Q| - 1</tex>. Пусть <tex>C</tex> элемент текущего разбиения. Тогда количество пар <<tex>C,\ a</tex>>, <tex>\ a \in \Sigma</tex> не может быть больше <tex>|\Sigma|</tex>. Отсюда следует, что всего различных пар, которые можно добавить в очередь, не превосходит <tex> 2 |\Sigma| |Q| </tex>.
+
По [[#Лемма1 | лемме(1)]] количество классов не превосходит <tex>2 |Q| - 1</tex>. Пусть <tex>C</tex> элемент текущего разбиения. Тогда количество пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>, <tex>\ a \in \Sigma</tex> не может быть больше <tex>|\Sigma|</tex>. Отсюда следует, что всего различных пар, которые можно добавить в очередь, не превосходит <tex> 2 |\Sigma| |Q| </tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 218: Строка 218:
 
|id = Лемма3
 
|id = Лемма3
 
|statement =  
 
|statement =  
Пусть <tex>a \in \Sigma</tex> и <tex>p \in Q</tex>. Тогда количество пар <<tex>C,\ a</tex>>, где <tex>p \in C</tex>, которые мы удалим из очереди, не превосходит <tex>\log_2(|Q|)</tex> для фиксированных <tex>a</tex> и <tex>p</tex>.
+
Пусть <tex>a \in \Sigma</tex> и <tex>p \in Q</tex>. Тогда количество пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>, где <tex>p \in C</tex>, которые мы удалим из очереди, не превосходит <tex>\log_2(|Q|)</tex> для фиксированных <tex>a</tex> и <tex>p</tex>.
 
|proof =
 
|proof =
Рассмотрим пару <<tex>C,\ a</tex>>, где <tex>p \in C</tex>, которую мы удаляем из очереди. И пусть <<tex>C',a</tex>> следующая пара, где <tex>p \in C'</tex> и которую мы удалим из очереди. Согласно нашему алгоритму класс <tex>C'</tex> мог появиться в очереди только после операции <tex>\mathtt{replace}</tex>. Но после первого же разбиения класса <tex>C</tex> на подклассы мы добавим в очередь пару <<tex>C'', a</tex>>, где <tex>C''</tex> меньший из образовавшихся подклассов, то есть <tex>|C''| \leqslant |C| \ / \ 2</tex>. Так же заметим, что <tex>C' \subseteq C''</tex>, а следовательно <tex>|C'| \leqslant |C| \ / \ 2</tex>. Но тогда таких пар не может быть больше, чем <tex>\log_2(|Q|)</tex>.  
+
Рассмотрим пару <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>, где <tex>p \in C</tex>, которую мы удаляем из очереди. И пусть <tex>\langle C',a \rangle</tex> следующая пара, где <tex>p \in C'</tex> и которую мы удалим из очереди. Согласно нашему алгоритму класс <tex>C'</tex> мог появиться в очереди только после операции <tex>\mathtt{replace}</tex>. Но после первого же разбиения класса <tex>C</tex> на подклассы мы добавим в очередь пару <tex>\langle C'', a \rangle</tex>, где <tex>C''</tex> меньший из образовавшихся подклассов, то есть <tex>|C''| \leqslant |C| \ / \ 2</tex>. Так же заметим, что <tex>C' \subseteq C''</tex>, а следовательно <tex>|C'| \leqslant |C| \ / \ 2</tex>. Но тогда таких пар не может быть больше, чем <tex>\log_2(|Q|)</tex>.  
 
}}
 
}}
  
Строка 229: Строка 229:
 
<tex>\sum |\mathtt{Inverse}|</tex> по всем итерациям цикла <tex>\mathrm{while}</tex> не превосходит <tex>|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|)</tex>.
 
<tex>\sum |\mathtt{Inverse}|</tex> по всем итерациям цикла <tex>\mathrm{while}</tex> не превосходит <tex>|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|)</tex>.
 
|proof =
 
|proof =
Пусть <tex>x, y \in Q</tex>, <tex>a \in \Sigma</tex> и <tex> \delta(x, a) = y</tex>. Зафиксируем эту тройку. Заметим, что количество раз, которое <tex>x</tex> встречается в <tex>\mathtt{Inverse}</tex> при условии, что <tex> \delta(x, a) = y</tex>, совпадает с числом удаленных из очереди пар <<tex>C,\ a</tex>>, где <tex>y \in C</tex>. Но по [[#Лемма3 | лемме(3)]] эта величина не превосходит <tex>\log_2(|Q|)</tex>. Просуммировав по всем <tex> x \in Q </tex> и по всем <tex> a \in \Sigma</tex> мы получим утверждение леммы.
+
Пусть <tex>x, y \in Q</tex>, <tex>a \in \Sigma</tex> и <tex> \delta(x, a) = y</tex>. Зафиксируем эту тройку. Заметим, что количество раз, которое <tex>x</tex> встречается в <tex>\mathtt{Inverse}</tex> при условии, что <tex> \delta(x, a) = y</tex>, совпадает с числом удаленных из очереди пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>, где <tex>y \in C</tex>. Но по [[#Лемма3 | лемме(3)]] эта величина не превосходит <tex>\log_2(|Q|)</tex>. Просуммировав по всем <tex> x \in Q </tex> и по всем <tex> a \in \Sigma</tex> мы получим утверждение леммы.
 
}}
 
}}
  
Строка 257: Строка 257:
 
<tex>\mathtt{pushSetsToQueue}</tex> реализуем так:
 
<tex>\mathtt{pushSetsToQueue}</tex> реализуем так:
  
   <tex>\mathtt{pushSetsToQueue}(\mathtt{Queue},\ R_1,\ R_2,\ c)</tex>
+
   <tex>\mathtt{pushSetsToQueue}(\mathtt{Queue},\ R_1,\ R_2,\ c)</tex>:
 
     <tex>cnt1  \leftarrow  \mathtt{ClassInv}[R_1][c]</tex>  
 
     <tex>cnt1  \leftarrow  \mathtt{ClassInv}[R_1][c]</tex>  
 
     <tex>cnt2  \leftarrow  \mathtt{ClassInv}[R_2][c]</tex>  
 
     <tex>cnt2  \leftarrow  \mathtt{ClassInv}[R_2][c]</tex>  
 
     '''if''' <tex> \mathtt{InQueue}[R_1][c] == false </tex> '''and''' <tex> cnt1 \leqslant cnt2 </tex>
 
     '''if''' <tex> \mathtt{InQueue}[R_1][c] == false </tex> '''and''' <tex> cnt1 \leqslant cnt2 </tex>
       '''push''' <<tex>R_1, c</tex>> '''to''' <tex>\mathtt{Queue}</tex>
+
       '''push''' <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> '''to''' <tex>\mathtt{Queue}</tex>
 
       '''insert''' <tex> c </tex> '''into''' <tex>\mathtt{InQueue}[R_1]</tex>
 
       '''insert''' <tex> c </tex> '''into''' <tex>\mathtt{InQueue}[R_1]</tex>
 
     '''else'''
 
     '''else'''
       '''push''' <<tex>R_2, c</tex>> '''to''' <tex>\mathtt{Queue}</tex>
+
       '''push''' <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> '''to''' <tex>\mathtt{Queue}</tex>
 
       '''insert''' <tex> c </tex> '''into''' <tex>\mathtt{InQueue}[R_2]</tex>
 
       '''insert''' <tex> c </tex> '''into''' <tex>\mathtt{InQueue}[R_2]</tex>
  
Строка 280: Строка 280:
  
 
Кроме того, вместо [[Хеш-таблица | хэш-таблиц]] для хранения множеств (<tex>\mathtt{ClassInv}</tex>, разбиение <tex>P</tex>) можно использовать комбинацию из двусвязного списка и вектора (добавление/удаление через список, поиск через вектор). Что и используется в оригинальной статье.
 
Кроме того, вместо [[Хеш-таблица | хэш-таблиц]] для хранения множеств (<tex>\mathtt{ClassInv}</tex>, разбиение <tex>P</tex>) можно использовать комбинацию из двусвязного списка и вектора (добавление/удаление через список, поиск через вектор). Что и используется в оригинальной статье.
 +
 +
== См. также ==
 +
 +
* [[Алгоритм Бржозовского]]
 +
 +
== Примечания ==
 +
 +
<references/>
  
 
== Источники информации ==
 
== Источники информации ==
Строка 287: Строка 295:
 
* [http://i.stanford.edu/pub/cstr/reports/cs/tr/71/190/CS-TR-71-190.pdf ''John Hopcroft'' An O(nlogn) algorithm for minimizing states in a finite automation]
 
* [http://i.stanford.edu/pub/cstr/reports/cs/tr/71/190/CS-TR-71-190.pdf ''John Hopcroft'' An O(nlogn) algorithm for minimizing states in a finite automation]
  
== Примечания ==
 
 
<references/>
 
  
 
[[Категория: Теория формальных языков]]
 
[[Категория: Теория формальных языков]]
 
[[Категория: Автоматы и регулярные языки]]
 
[[Категория: Автоматы и регулярные языки]]

Версия 14:13, 11 января 2015

Пусть дан автомат, распознающий определенный язык. Требуется найти эквивалентный автомат с наименьшим количеством состояний.

Минимизация ДКА

Если в ДКА существуют два эквивалентных состояния, то при их объединении мы получим эквивалентный ДКА, так как распознаваемый язык не изменится. Основная идея минимизации состоит в разбиении множества состояний на классы эквивалентности, полученные классы и будут состояниями минимизированного ДКА.

Простой алгоритм

Определение:
Класс [math]C[/math] разбивает класс [math]R[/math] по символу [math]a[/math] на [math]R_1[/math] и [math]R_2[/math], если
  1. [math]\forall r \in R_1 \,\,\, \delta(r, a) \in C[/math]
  2. [math]\forall r \in R_2 \,\,\, \delta(r, a) \notin C[/math]

Если класс [math]R[/math] может быть разбит по символу [math]a[/math], то он содержит хотя бы одну пару неэквивалентных состояний (так как существует строка которая их различает). Если класс нельзя разбить, то он состоит из эквивалентных состояний. Поэтому самый простой алгоритм состоит в том, чтобы разбивать классы текущего разбиения до тех пор пока это возможно.

Итеративно строим разбиение множества состояний следующим образом.

  1. Первоначальное разбиение множества состояний — класс допускающих состояний [math]F[/math] и класс недопускающих состояний ([math]\mathtt{P} \leftarrow \{ F, \ Q \setminus F \}[/math]).
  2. Перебираются символы алфавита [math]c \in \Sigma[/math], все пары [math]\langle F,\ c \rangle[/math] и [math]\langle Q \setminus F, c \rangle[/math] помещаются в очередь.
  3. Из очереди извлекается пара [math]\langle C,\ a \rangle[/math], [math]C[/math] далее именуется как сплиттер.
  4. Каждый класс [math]R[/math] текущего разбиения разбиваются на 2 подкласса (один из которых может быть пустым). Первый состоит из состояний, которые по символу [math]a[/math] переходят в сплиттер ([math]R_1[/math]), а второй из всех оставшихся ([math]R_2[/math]).
  5. Если [math]R[/math] разбился на два непустых подкласса (т.е. [math] R_1 \ne \emptyset \ \land \ R_2 \ne \emptyset [/math]).
    1. В разбиении [math]P[/math] класс [math]R[/math] заменяется на свои подклассы [math]R_1[/math] и [math]R_2[/math].
    2. Перебираются символы алфавита [math]c \in \Sigma[/math], все пары [math]\langle R_1, c \rangle[/math] и [math]\langle R_2, c \rangle[/math] помещаются в очередь.
  6. Пока очередь не пуста, выполняем п.3 – п.5.

Псевдокод

  • [math]Q[/math] — множество состояний ДКА.
  • [math]F[/math] — множество терминальных состояний.
  • [math]\delta[/math] — функция перехода ([math]\delta (r,\ a)[/math] — состояние, в которое можно совершить переход из [math]r[/math] по символу [math]a[/math])
  • [math]S[/math] — очередь пар [math]\langle C,\ a \rangle[/math].
  • [math]P[/math] — разбиение множества состояний ДКА.
  • [math]R[/math] — класс состояний ДКА.
 [math]\mathtt{findEquivalenceClasses}(Q,\ F,\ \delta)[/math]:
   [math]\mathtt{P} \leftarrow \{ F,\ Q \setminus F \}[/math]
   [math]\mathtt{S} \leftarrow \varnothing [/math]
   for [math]c \in \Sigma[/math]
     push [math]\langle F,\ c \rangle[/math], [math]\langle Q \setminus F,\ c \rangle[/math] into [math] \mathtt{S}[/math]
   while [math]\mathtt{S} \ne \varnothing[/math]
     [math]\langle C,\ a \rangle[/math] [math]\leftarrow[/math] pop from [math]\mathtt{S}[/math]
     for [math]R[/math] in [math]\mathtt{P}[/math] 
       [math] R_1, R_2 \leftarrow [/math] [math]\mathtt{split}(R,\ C,\ a)[/math]
       if [math] R_1 \ne \varnothing [/math] and [math] R_2 \ne \varnothing [/math]
        replace [math]R[/math] in [math]\mathtt{P}[/math] with [math]R_1[/math] and [math]R_2[/math]
        for [math]c \in \Sigma[/math]
         insert [math]\langle R_1,\ c \rangle[/math] in [math]\mathtt{S}[/math]
         insert [math]\langle R_2,\ c \rangle[/math] in [math]\mathtt{S}[/math]
   return [math]\mathtt{P}[/math]

Когда очередь [math]S[/math] станет пустой, будет получено разбиение на классы эквивалентности, так как больше ни один класс невозможно разбить.

Время работы

Время работы алгоритма оценивается как [math]O(|\Sigma| \cdot n^2)[/math], где [math] n [/math] — количество состояний ДКА, а [math] \Sigma [/math] — алфавит. Это следует из того, что если пара [math]\langle C,\ a \rangle[/math] попала в очередь, и класс [math]C[/math] использовался в качестве сплиттера, то при последующем разбиении этого класса в очередь добавляется два класса [math]C_1[/math] и [math]C_2[/math], причем можно гарантировать лишь следующее уменьшение размера: [math]|C| \ge |C_i| + 1[/math]. Каждое состояние изначально принадлежит лишь одному классу в очереди, поэтому каждый переход в автомате будет просмотрен не более, чем [math]O(n)[/math] раз. Учитывая, что ребер всего [math]O(|\Sigma| \cdot n)[/math], получаем указанную оценку.

Алгоритм Хопкрофта

Рассмотрим алгоритм, позволяющий решить задачу быстрее, чем за [math] O(n^2) [/math].

Лемма:
Класс [math]R = R_1 \cup R_2[/math] и [math]R_1 \cap R_2 = \varnothing[/math], тогда разбиение всех классов (текущее разбиение) по символу [math]a[/math] любыми двумя классами из [math]R, R_1, R_2[/math] эквивалентно разбиению всех классов с помощью [math]R, R_1, R_2[/math] по символу [math]a[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Разобьем все классы с помощью [math]R [/math] и [math] R_1[/math] по символу [math]a[/math], тогда для любого класса [math]B[/math] из текущего разбиения выполняется

[math]\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R \ \land \ \delta(r, a) \in R_1 \ \lor[/math]
[math]\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R \ \land \ \delta(r, a) \notin R_1 \ \lor[/math]
[math]\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R \ \land \ \delta(r, a) \notin R_1[/math]

А так как [math]R = R_1 \cup R_2[/math] и [math]R_1 \cap R_2 = \varnothing[/math] то выполняется

[math]\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R_2 \ \lor[/math]
[math] \forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R_2[/math]

Из этого следует, что разбиение всех классов с помощью [math]R_2[/math] никак не повлияет на текущее разбиение.
Аналогично доказывается и для разбиения с помощью [math]R [/math] и [math] R_2[/math] по символу [math]a[/math].
Разобьем все классы с помощью [math]R_1[/math] и [math] R_2[/math] по символу [math]a[/math], тогда для любого класса [math]B[/math] из текущего разбиения выполняется

[math]\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R_1 \ \land \ \delta(r, a) \notin R_2 \ \lor[/math]
[math]\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R_1 \ \land \ \delta(r, a) \in R_2 \ \lor[/math]
[math]\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R_1 \ \land \ \delta(r, a) \notin R_2[/math]

А так как [math]R = R_1 \cup R_2[/math] и [math]R_1 \cap R_2 = \varnothing[/math] то выполняется

[math]\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R \ \lor[/math]
[math]\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R[/math]
Из этого следует, что разбиение всех классов с помощью [math]R[/math] никак не повлияет на текущее разбиение.
[math]\triangleleft[/math]

Алгоритм Хопкрофта отличается от простого тем, что иначе добавляет пары в очередь. После замены класса [math]R[/math] в разбиении [math]P[/math] на его подклассы [math]R_1[/math] и [math]R_2[/math], как и раньше перебираем символы алфавита [math]c \in \Sigma[/math].

Если пара [math]\langle R,\ c \rangle[/math] уже есть в очереди, то согласно лемме можно просто заменить её на пары [math]\langle R_1, c \rangle[/math] и [math]\langle R_2, c \rangle[/math].

Если пары [math]\langle R,\ c \rangle[/math] нет в очереди, то достаточно добавить любую из пар [math]\langle R_1, c \rangle[/math] и [math]\langle R_2, c \rangle[/math]. Это следует из следующих соображений: [math]R[/math] может быть в разбиении только если в очередь были положены пары [math]\langle R,\ a \rangle[/math] для [math]\forall a \in \Sigma[/math], а поскольку в очереди пары [math]\langle R,\ c \rangle[/math] нет, то мы её уже успели рассмотреть, следовательно классы из разбиения [math]P[/math] уже были разбиты по [math]\langle R,\ c \rangle[/math].

Реализация

[math]\mathtt{pushSetsToQueue}(S,\ R_1,\ R_2,\ c)[/math] — функция, которая добавляет одну из пар [math]\langle R_1, c \rangle[/math], [math]\langle R_2, c \rangle[/math] в очередь S.

  • [math]Q[/math] — множество состояний ДКА.
  • [math]F[/math] — множество терминальных состояний.
  • [math]\delta[/math] — функция перехода ([math]\delta (r,\ a)[/math] - состояние, в которое можно совершить переход из [math]r[/math] по символу [math]a[/math])
  • [math]S[/math] — очередь пар [math]\langle C,\ a \rangle[/math].
  • [math]P[/math] — разбиение множества состояний ДКА.
  • [math]R[/math] — класс состояний ДКА.
 [math]\mathtt{findEquivalenceClasses}(Q,\ F,\ \delta)[/math]:
   [math]\mathtt{P} \leftarrow \{ F, \ Q \setminus F \}[/math]
   [math]\mathtt{S} \leftarrow \varnothing [/math]
   for [math]c \in \Sigma[/math]
     push [math]\langle F,\ c \rangle[/math], [math]\langle Q \setminus F,\ c \rangle[/math] into [math] \mathtt{S}[/math]
   while [math]\mathtt{S} \ne \varnothing[/math]
     [math]\langle C,\ a \rangle[/math] [math]\leftarrow[/math] pop from [math]\mathtt{S}[/math]
     for [math]R[/math] in [math]\mathtt{P}[/math] 
       [math] R_1, R_2 \leftarrow [/math] [math]\mathtt{split}(R,\ C,\ a)[/math]
       if [math] R_1 \ne \varnothing [/math] and [math] R_2 \ne \varnothing [/math]
        replace [math]R[/math] in [math]\mathtt{P}[/math] with [math]R_1[/math] and [math]R_2[/math]
        for [math]c \in \Sigma[/math]
         [math]\mathtt{pushSetsToQueue}(S,\ R_1,\ R_2,\ c)[/math]
   return [math]\mathtt{P}[/math]

Понятно, что нам нет никакой необходимости просматривать все классы в разбиении. Вполне достаточно рассмотреть лишь те классы, из состояний которых есть хотя бы одно ребро в состояния сплиттера. Обозначим множество таких классов за [math]T'[/math] (его нужно будет эффективно находить для каждой пары [math]\langle C,\ a \rangle[/math]).

 [math]\mathtt{findEquivalenceClasses}(Q,\ F,\ \delta)[/math]:
   [math]\mathtt{P} \leftarrow \{ F, \ Q \setminus F \}[/math]
   [math]\mathtt{S} \leftarrow \varnothing [/math]
   for [math]c \in \Sigma[/math]
     push [math]\langle F,\ c \rangle[/math], [math]\langle Q \setminus F,\ c \rangle[/math] into [math] \mathtt{S}[/math]
   while [math]\mathtt{S} \ne \varnothing[/math]
     [math]\langle C,\ a \rangle[/math] [math]\leftarrow[/math] pop from [math]\mathtt{S}[/math]
     [math]\mathtt{Inverse} \leftarrow \{r \ | \ r \in Q, \ \delta(r, a) \in C\}[/math]
     [math]T' \leftarrow \{R \ | \ R \in \mathtt{P}, \ R \cap \mathtt{Inverse} \neq \varnothing\}[/math]
     for [math]R[/math] in [math]T'[/math] 
       [math] R_1, R_2 \leftarrow [/math] [math]\mathtt{split}(R,\ C,\ a)[/math]
       if [math] R_1 \ne \varnothing [/math] and [math] R_2 \ne \varnothing [/math]
        replace [math]R[/math] in [math]\mathtt{P}[/math] with [math]R_1[/math] and [math]R_2[/math]
        for [math]c \in \Sigma[/math]
         [math]\mathtt{pushSetsToQueue}(S,\ R_1,\ R_2,\ c)[/math]
   return [math]\mathtt{P}[/math]


Каждая итерация цикла [math] \mathrm{while} [/math] может быть выполнена за [math] O(|Q| + |\mathtt{Inverse}|) [/math] для текущей пары [math]\langle C,\ a \rangle[/math]. Покажем, как можно достичь этой оценки.

Классы разбиения [math]P[/math] будем поддерживать с помощью множеств на хэш-таблицах (само же разбиение - обычный вектор, индекс - номер класса). Это позволит нам эффективно переносить состояния из одного класса в другой (за O(1)).

  • [math]\mathtt{Class}[r][/math] — номер класса, которому принадлежит состояние [math]r[/math]
  • [math]\mathtt{Card}[i][/math] — размер класса [math]i[/math]
  • [math]\mathtt{Queue}[/math] — очередь пар [math]\langle C,\ a \rangle[/math], где [math]C[/math] — номер класса (сплиттера)
  • [math]\mathtt{InQueue}[/math] — двумерный массив булеанов, [math]\mathtt{InQueue}[C][a] == true[/math], если [math]\langle C,\ a \rangle[/math] находится в очереди [math]\mathtt{Queue}[/math]
  • [math]\mathtt{Inv}[r][a][/math] — массив состояний, из которых есть ребра по символу [math]a[/math] в состояние [math]r[/math] (мы не меняем исходный автомат, потому может быть построен раз перед началом работы алгоритма)

Для обработки [math]T'[/math] за [math]O(|Q| + |\mathtt{Inverse}|)[/math] нам понадобится следующая структура:

  • [math]\mathtt{Counter}[/math] — количество классов;
  • [math]\mathtt{Involved}[/math] — список из номеров классов, содержащихся во множестве [math]T'[/math];
  • [math]\mathtt{Size}[/math] — целочисленный массив, где [math]\mathtt{Size}[i][/math] хранит количество состояний из класса [math]i[/math], которые содержатся в [math]\mathtt{Inverse}[/math];
  • [math]\mathtt{Twin}[/math] — массив, хранящий в [math]\mathtt{Twin}[i][/math] номер нового класса, образовавшегося при разбиении класса [math]i[/math].
 [math]\mathtt{findEquivalenceClasses}(Q,\ F,\ \delta)[/math]:
    [math]\mathtt{P} \leftarrow \{ F, \ Q \setminus F \}[/math]
    for [math]c \in \Sigma[/math]
      push [math]\langle F,\ c \rangle[/math], [math]\langle Q \setminus F,\ c \rangle[/math] into [math] \mathtt{Queue}[/math]
      [math]\mathtt{InQueue}[F][c] \  \leftarrow \  true[/math]
      [math]\mathtt{InQueue}[Q \setminus F][c] \  \leftarrow \  true[/math]
    while [math]\mathtt{Queue} \ne \varnothing[/math]
      [math]\langle C,\ a \rangle[/math] [math]\leftarrow[/math] pop from [math]\mathtt{Queue}[/math]
      [math]\mathtt{Involved} \leftarrow \varnothing[/math]
      for [math]q \in C[/math] and [math]r \in \mathtt{Inv}[q][a][/math]
        [math]i = \mathtt{Class}[r][/math]
        if [math]\mathtt{Size}[i] == 0[/math]
          insert [math]i[/math] in [math]\mathtt{Involved}[/math]
        [math]\mathtt{Size}[i]++[/math]
      for [math] i \in \mathtt{Involved}[/math]
        if [math]\mathtt{Size}[i] \lt  \mathtt{Card}[i][/math]
          [math]\mathtt{Size}[i] = -1[/math] //Пометим сразу, т.к. в следующем цикле классы уже будут менятся
      for [math]q \in C[/math] and [math]r \in \mathtt{Inv}[q][a][/math]
        [math]i = \mathtt{Class}[r][/math]
        if [math]\mathtt{Size}[i] == -1[/math]
          if [math]\mathtt{Twin}[i] == 0[/math]
            [math]\mathtt{Counter}++[/math]
            [math]\mathtt{Twin[i]} = \mathtt{Counter}[/math]
          move [math]r[/math] from [math]i[/math] to [math]\mathtt{Twin}[i][/math] in [math]\mathtt{P}[/math]
      for [math] j \in \mathtt{Involved}[/math]
        if [math] \mathtt{Twin}[j] \neq 0 [/math]
            for [math]c \in \Sigma[/math]
              [math]\mathtt{pushSetsToQueue}(\mathtt{Queue},\ j,\ \mathtt{Twin}[j],\ c)[/math]
        [math]\mathtt{Size}[j] = 0[/math]
        [math]\mathtt{Twin}[j] = 0[/math]
      [math]\mathtt{InQueue}[C][a] \  \leftarrow \  false[/math]
    return [math]\mathtt{P}[/math]

Стоит отметить, что массивы [math]\mathtt{Size}, \mathtt{Twin}[/math] аллоцируются ровно один раз при инициализации алгоритма.

Осталось только реализовать [math]\mathtt{pushSetsToQueue}[/math].

 [math]\mathtt{pushSetsToQueue}(\mathtt{Queue},\ R_1,\ R_2,\ c)[/math]:
     [math]cnt1  \leftarrow  \mathtt{Card}[R_1][/math] 
     [math]cnt2  \leftarrow  \mathtt{Card}[R_2][/math] 
     if [math] \mathtt{InQueue}[R_1][c] == false [/math] and [math] cnt1 \leqslant cnt2 [/math]
       push [math]\langle R_1, c \rangle[/math] to [math]\mathtt{Queue}[/math]
       [math]\mathtt{InQueue}[R_1][c] \  \leftarrow \  true[/math]
     else
       push [math]\langle R_2, c \rangle[/math] to [math]\mathtt{Queue}[/math]
       [math]\mathtt{InQueue}[R_2][c] \  \leftarrow \  true[/math]

Время работы

Лемма (1):
Количество классов, созданных во время выполнения алгоритма, не превышает [math]2 |Q| - 1[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Представим дерево, которое соответствует операциям разделения классов на подклассы. Корнем этого дерева является все множество состояний [math]Q[/math]. Листьями являются классы эквивалентности, оставшиеся после работы алгоритма. Так как дерево бинарное — каждый класс может породить лишь два новых, а количество листьев не может быть больше [math]|Q|[/math], то количество узлов этого дерева не может быть больше [math]2 |Q| - 1[/math], что доказывает утверждение леммы.
[math]\triangleleft[/math]
Лемма (2):
Количество итераций цикла [math]\mathrm{while}[/math] не превышает [math] 2 |\Sigma| |Q| [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Для доказательства этого утверждения достаточно показать, что количество пар [math]\langle C,\ a \rangle[/math] добавленных в очередь [math]S[/math] не превосходит [math] 2 |\Sigma| |Q| [/math], так как на каждой итерации мы извлекаем одну пару из очереди.

По лемме(1) количество классов не превосходит [math]2 |Q| - 1[/math]. Пусть [math]C[/math] элемент текущего разбиения. Тогда количество пар [math]\langle C,\ a \rangle[/math], [math]\ a \in \Sigma[/math] не может быть больше [math]|\Sigma|[/math]. Отсюда следует, что всего различных пар, которые можно добавить в очередь, не превосходит [math] 2 |\Sigma| |Q| [/math].
[math]\triangleleft[/math]
Лемма (3):
Пусть [math]a \in \Sigma[/math] и [math]p \in Q[/math]. Тогда количество пар [math]\langle C,\ a \rangle[/math], где [math]p \in C[/math], которые мы удалим из очереди, не превосходит [math]\log_2(|Q|)[/math] для фиксированных [math]a[/math] и [math]p[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Рассмотрим пару [math]\langle C,\ a \rangle[/math], где [math]p \in C[/math], которую мы удаляем из очереди. И пусть [math]\langle C',a \rangle[/math] следующая пара, где [math]p \in C'[/math] и которую мы удалим из очереди. Согласно нашему алгоритму класс [math]C'[/math] мог появиться в очереди только после операции [math]\mathtt{replace}[/math]. Но после первого же разбиения класса [math]C[/math] на подклассы мы добавим в очередь пару [math]\langle C'', a \rangle[/math], где [math]C''[/math] меньший из образовавшихся подклассов, то есть [math]|C''| \leqslant |C| \ / \ 2[/math]. Так же заметим, что [math]C' \subseteq C''[/math], а следовательно [math]|C'| \leqslant |C| \ / \ 2[/math]. Но тогда таких пар не может быть больше, чем [math]\log_2(|Q|)[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Лемма (4):
[math]\sum |\mathtt{Inverse}|[/math] по всем итерациям цикла [math]\mathrm{while}[/math] не превосходит [math]|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|)[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Пусть [math]x, y \in Q[/math], [math]a \in \Sigma[/math] и [math] \delta(x, a) = y[/math]. Зафиксируем эту тройку. Заметим, что количество раз, которое [math]x[/math] встречается в [math]\mathtt{Inverse}[/math] при условии, что [math] \delta(x, a) = y[/math], совпадает с числом удаленных из очереди пар [math]\langle C,\ a \rangle[/math], где [math]y \in C[/math]. Но по лемме(3) эта величина не превосходит [math]\log_2(|Q|)[/math]. Просуммировав по всем [math] x \in Q [/math] и по всем [math] a \in \Sigma[/math] мы получим утверждение леммы.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Время работы алгоритма Хопкрофта равно [math]O(|\Sigma| |Q| \log(|Q|)[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Оценим, сколько времени занимает каждая часть алгоритма:

  • Построение массива [math]\mathtt{Inv}[/math] занимает [math]O(|\Sigma| |Q|)[/math] времени.
  • По второй лемме количество итераций цикла [math]\mathrm{while}[/math] не превосходит [math]O(|\Sigma| |Q|)[/math].
  • Операции с множеством [math]T'[/math] и разбиение классов на подклассы требуют [math]O(\sum(|\mathtt{Inverse}|))[/math] времени. Но по лемме(4) [math]\sum(|\mathtt{Inverse}|)[/math] не превосходит [math]|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|)[/math], то есть данная часть алгоритма выполняется за [math]O(|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|))[/math].
  • В лемме(1) мы показали, что в процессе работы алгоритма не может появится больше, чем [math]2 |Q| - 1[/math] классов, из чего следует, что количество операций [math]\mathtt{replace}[/math] равно [math]O(|\Sigma| |Q|)[/math].
Итого, получается, что время работы алгоритма Хопкрофта не превышает [math] O(|\Sigma| |Q|) + O(|\Sigma| |Q|) + O(|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|)) + O(|\Sigma| |Q|) = O(|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|))[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Сравнение с алгоритмом из оригинальной статьи Хопкрофта

В оригинальной статье [1] использовалась дополнительная структура, которую мы обозначим, как [math]\mathtt{ClassInv}[/math], в [math]\mathtt{ClassInv}[C][a][/math] будем хранить множество состояний, из которых есть ребро по символу [math]a[/math] в состояние [math]C[/math] (аналогично [math]Inv[/math], только для классов).

[math]\mathtt{ClassInv}[C][a] = \{ s\ |\ \mathtt{Class}[s] == C \ \land \ \delta^{-1} (s, a) \neq \emptyset \}[/math]

[math]\mathtt{pushSetsToQueue}[/math] реализуем так:

 [math]\mathtt{pushSetsToQueue}(\mathtt{Queue},\ R_1,\ R_2,\ c)[/math]:
   [math]cnt1  \leftarrow  \mathtt{ClassInv}[R_1][c][/math] 
   [math]cnt2  \leftarrow  \mathtt{ClassInv}[R_2][c][/math] 
   if [math] \mathtt{InQueue}[R_1][c] == false [/math] and [math] cnt1 \leqslant cnt2 [/math]
     push [math]\langle R_1, c \rangle[/math] to [math]\mathtt{Queue}[/math]
     insert [math] c [/math] into [math]\mathtt{InQueue}[R_1][/math]
   else
     push [math]\langle R_2, c \rangle[/math] to [math]\mathtt{Queue}[/math]
     insert [math] c [/math] into [math]\mathtt{InQueue}[R_2][/math]

Циклы

  for [math]q \in C[/math] and [math]r \in \mathtt{Inv}[q][a][/math]
     (...)

реализуются так:

  for [math]q \in \mathtt{ClassInv}[C][a][/math] and [math]r \in \mathtt{Inv}[q][a][/math]
     (...)

Тогда время работы внутреннего цикла можно будет оценить как [math]O(|\mathtt{ClassInv}[C][a]| + |\mathtt{Inverse}|)[/math]. А реализация [math]\mathtt{pushSetsToQueue}[/math] выбирает множество, на котором [math]O(|\mathtt{ClassInv}[C][a]|)[/math] будет меньшим.

Кроме того, вместо хэш-таблиц для хранения множеств ([math]\mathtt{ClassInv}[/math], разбиение [math]P[/math]) можно использовать комбинацию из двусвязного списка и вектора (добавление/удаление через список, поиск через вектор). Что и используется в оригинальной статье.

См. также

Примечания

Источники информации

  • Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д. Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2002. — С. 177 — ISBN 5-8459-0261-4 (рус.)
  • D. Gries. Describing an algorithm by Hopcroft. Technical Report TR-72-151, Cornell University, December 1972.
  • Hang Zhou. Implementation of Hopcroft's Algorithm, 19 December 2009.
  • John Hopcroft An O(nlogn) algorithm for minimizing states in a finite automation