Редактирование: Мультипликативность функции, свёртка Дирихле

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 12: Строка 12:
 
=== Свойства мультипликативных функций ===
 
=== Свойства мультипликативных функций ===
 
*1. Из определения следует, что <tex> \theta(1)=1</tex>.
 
*1. Из определения следует, что <tex> \theta(1)=1</tex>.
** '''Доказательство:'''  Действительно, пусть <tex> \theta(a_0) \ne 0</tex>, тогда <tex> \theta(1\cdot a_0) = \theta(1)\theta(a_0)</tex>.
+
** Действительно, пусть <tex> \theta(a_0) \ne 0</tex>, тогда <tex> \theta(1\cdot a_0) = \theta(1)\theta(a_0)</tex>.
 
*2. Если <tex> \theta_1(a),\theta_2(a)</tex> {{---}} мультпликативные функции, то <tex> \theta(a) = \theta_1(a)\theta_2(a) </tex> {{---}} тоже мультипликативная.
 
*2. Если <tex> \theta_1(a),\theta_2(a)</tex> {{---}} мультпликативные функции, то <tex> \theta(a) = \theta_1(a)\theta_2(a) </tex> {{---}} тоже мультипликативная.
** '''Доказательство:'''  <tex> \theta(1) = \theta_1(1)\theta_2(1) = 1</tex> и условия определения выполнены.
+
** <tex> \theta(1) = \theta_1(1)\theta_2(1) = 1</tex> и условия определения выполнены.
 
*3. Пусть <tex> \theta(a) </tex> {{---}} мультипликативная функция и <tex> a = {p_1}^{\alpha_1} {p_2}^{\alpha_2} \ldots {p_k}^{\alpha_k}</tex> — каноническое разложение числа '''a''', тогда обозначая символом <tex> \sum_{d|a}</tex> {{---}} сумму, распространенную на все делители '''d''' числа '''a''', имеем <center> <tex>\sum_{d|a} \theta(d) = (1 + \theta(p_1) + \theta(p_1^2) + \ldots + \theta(p_1^{\alpha_1}))\ldots(1 + \theta(p_k) + \theta(p_k^2) + \ldots + \theta(p_k^{\alpha_k}))</tex> (в случае <tex> a=1 </tex> считаем правую часть равной единице)</center>
 
*3. Пусть <tex> \theta(a) </tex> {{---}} мультипликативная функция и <tex> a = {p_1}^{\alpha_1} {p_2}^{\alpha_2} \ldots {p_k}^{\alpha_k}</tex> — каноническое разложение числа '''a''', тогда обозначая символом <tex> \sum_{d|a}</tex> {{---}} сумму, распространенную на все делители '''d''' числа '''a''', имеем <center> <tex>\sum_{d|a} \theta(d) = (1 + \theta(p_1) + \theta(p_1^2) + \ldots + \theta(p_1^{\alpha_1}))\ldots(1 + \theta(p_k) + \theta(p_k^2) + \ldots + \theta(p_k^{\alpha_k}))</tex> (в случае <tex> a=1 </tex> считаем правую часть равной единице)</center>
** '''Доказательство:'''  Для доказательства этого свойства рассмотрим правую часть тождества. В ней будет сумма слагаемых вида : <tex> \theta(p_1^{\beta_1})\theta(p_2^{\beta_2})\ldots\theta(p_k^{\beta_k}) = \theta(p_1^{\beta_1} p_2^{\beta_2} \ldots p_k^{\beta_k})</tex>, причем ни одно такое слагаемое не будет пропущено, и ни одно не повторится более одного раза, а это, как раз, и есть то, что стоит в левой части.
+
** Для доказательства этого свойства рассмотрим правую часть тождества. В ней будет сумма слагаемых вида : <tex> \theta(p_1^{\beta_1})\theta(p_2^{\beta_2})\ldots\theta(p_k^{\beta_k}) = \theta(p_1^{\beta_1} p_2^{\beta_2} \ldots p_k^{\beta_k})</tex>, причем ни одно такое слагаемое не будет пропущено, и ни одно не повторится более одного раза, а это, как раз, и есть то, что стоит в левой части.
  
 
== Свертка Дирихле ==
 
== Свертка Дирихле ==

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, используемые на этой странице: