Редактирование: Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
 
[[Интеграл Фейера|<<]][[Теорема Фейера|>>]]
 
[[Интеграл Фейера|<<]][[Теорема Фейера|>>]]
  
 +
{{В разработке}}
 
Пусть <tex>X</tex> {{---}} [[Нормированные_пространства#определение и примеры|нормированное пространство]], к примеру, <tex>L_p</tex>. Пусть <tex>Y</tex> {{---}} линейное множество в <tex>X</tex>, например, <tex>H_n</tex> (тригонометрических полиномов степени не больше <tex>n</tex>).
 
Пусть <tex>X</tex> {{---}} [[Нормированные_пространства#определение и примеры|нормированное пространство]], к примеру, <tex>L_p</tex>. Пусть <tex>Y</tex> {{---}} линейное множество в <tex>X</tex>, например, <tex>H_n</tex> (тригонометрических полиномов степени не больше <tex>n</tex>).
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition = Для любого <tex> x \in X</tex> величина <tex>E_Y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{\|x-y\|}</tex> называется '''наилучшим приближением точки <tex>x</tex> элементами линейного множества <tex>Y</tex>'''.
+
|definition = Для любого <tex> x \in X</tex> величина <tex>E_y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{\|x-y\|}</tex> называется '''наилучшим приближением точки <tex>x</tex> элементами линейного множества <tex>Y</tex>'''.
Если при этом существует <tex>y^* \in Y</tex> такой, что <tex>E_Y(x)=\|x-y^*\|</tex>, то этот <tex>y^*</tex> называется '''элементом наилучшего приближения точки <tex>x</tex>'''.
+
Если при этом существует <tex>y^* \in Y</tex> такой, что <tex>E_y(x)=\|x-y^*\|</tex>, то этот <tex>y^*</tex> называется '''элементом наилучшего приближения точки <tex>x</tex>'''.
 
}}
 
}}
 
Заметим: гарантий, что <tex>y^*</tex> единственный и что он вообще существует, нет.  
 
Заметим: гарантий, что <tex>y^*</tex> единственный и что он вообще существует, нет.  
  
<tex>E_Y(x) \ge 0</tex>, если <tex>x \in Y</tex>, то <tex>E_Y(x)=0</tex>, таким образом, положительной определенности у этого функционала нет.
+
<tex>E_y(x) \ge 0</tex>, если <tex>x \in Y</tex>, то <tex>E_y(x)=0</tex>, таким образом, положительной определенности у этого функционала нет.
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement= Наилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника.
 
|statement= Наилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника.
 
|proof=  
 
|proof=  
'''Однородность''': <tex>\forall \varepsilon > 0 </tex>, по определению нижней грани <tex>\|x-y_{\varepsilon}\| < E_Y(x)+\varepsilon</tex>, где <tex>y_{\varepsilon} \in Y</tex>.
+
'''Однородность''': <tex>\forall \varepsilon > 0 </tex>, по определению нижней грани <tex>\|x-y_{\varepsilon}\| < E_y(x)+\varepsilon</tex>, где <tex>y_{\varepsilon} \in Y</tex>.
<tex>|\lambda|\|x-y_{\varepsilon}\|<|\lambda|E_Y(x)+|\lambda| \varepsilon </tex>
+
<tex>|\lambda|\|x-y_{\varepsilon}\|<|\lambda|E_y(x)+|\lambda| \varepsilon </tex>
  
 
По аксиомам нормы: <tex>|\lambda|\|x-y_{\varepsilon}\|=\|\lambda x-\lambda y_\varepsilon\|</tex>.
 
По аксиомам нормы: <tex>|\lambda|\|x-y_{\varepsilon}\|=\|\lambda x-\lambda y_\varepsilon\|</tex>.
  
Так как <tex>Y</tex> {{---}} линейное пространство, то <tex>\lambda y_{\varepsilon} \in Y</tex> и <tex>\| \lambda x - \lambda y_{\varepsilon} \| \ge E_Y(\lambda x)</tex>.
+
Так как <tex>Y</tex> {{---}} линейное пространство, то <tex>\lambda y_{\varepsilon} \in Y</tex> и <tex>\| \lambda x - \lambda y_{\varepsilon} \| \ge E_y(\lambda x)</tex>.
  
Тогда <tex>E_Y(\lambda x) < |\lambda|E_Y(x)+ |\lambda|\varepsilon</tex>, при <tex>\varepsilon \to 0</tex> получаем <tex>E_Y(\lambda x) \le |\lambda|E_Y(x)</tex>.
+
Тогда <tex>E_y(\lambda x) < |\lambda|E_y(x)+ |\lambda|\varepsilon</tex>, при <tex>\varepsilon \to 0</tex> получаем <tex>E_y(\lambda x) \le |\lambda|E_y(x)</tex>.
  
В обратную сторону: <tex>E_Y(x)=E_Y(\lambda \frac{x}{\lambda}) \le |\lambda|E_Y(\frac{x}{\lambda})</tex>, то есть, <tex>\frac{1}{|\lambda|}E_Y(x) \le E_Y(\frac{x}{\lambda})</tex>.  
+
В обратную сторону: <tex>E_y(x)=E_y(\lambda \frac{x}{\lambda}) \le |\lambda|E_y(\frac{x}{\lambda})</tex>, то есть, <tex>\frac{1}{|\lambda|}E_y(x) \le E_y(\frac{x}{\lambda})</tex>.  
  
Пусть <tex>\mu = \frac{1}{\lambda}</tex>, тогда <tex>|\mu|E_Y(x) \le E_Y(\mu x)</tex>.
+
Пусть <tex>\mu = \frac{1}{\lambda}</tex>, тогда <tex>|\mu|E_y(x) \le E_y(\mu x)</tex>.
  
Таким образом, получаем два противоположных неравенства, следовательно, <tex>E_Y(\lambda x)=|\lambda|E_Y(x)</tex>.
+
Таким образом, получаем два противоположных неравенства, следовательно, <tex>E_y(\lambda x)=|\lambda|E_y(x)</tex>.
  
'''Неравенство треугольника''': <tex>\forall \varepsilon > 0</tex>: <tex>\|x_1-y_{\varepsilon}\|< E_Y(x_1)+\varepsilon</tex> и <tex>\|x_2-z_{\varepsilon}\|< E_Y(x_2)+\varepsilon</tex>.
+
'''Неравенство треугольника''': <tex>\forall \varepsilon > 0</tex>: <tex>\|x_1-y_{\varepsilon}\|< E_y(x_1)+\varepsilon</tex> и <tex>\|x_2-z_{\varepsilon}\|< E_y(x_2)+\varepsilon</tex>.
  
Складывая два неравенства, получим <tex>\|x_1-y_{\varepsilon}\|+\|x_2-z_{\varepsilon}\|<E_Y(x_1)+E_Y(x_2)+2\varepsilon</tex>.
+
Складывая два неравенства, получим <tex>\|x_1-y_{\varepsilon}\|+\|x_2-z_{\varepsilon}\|<E_y(x_1)+E_y(x_2)+2\varepsilon</tex>.
  
По свойствам нижней грани, <tex>E_Y(x_1+x_2)\le \|(x_1+x_2)-(y_{\varepsilon}+z_{\varepsilon})\| \le \| x_1 - y_{\varepsilon} \| + \| x_2 - z_{\varepsilon} \| < </tex>
+
По свойствам нижней грани, <tex>E_y(x_1+x_2)\le \|(x_1+x_2)-(y_{\varepsilon}+z_{\varepsilon})\| \le \| x_1 - y_{\varepsilon} \| + \| x_2 - z_{\varepsilon} \| < E_y(x_1) + E_y(x_2) + 2\varepsilon</tex>, так как <tex>y_{\varepsilon}+z_{\varepsilon} \in Y</tex>.
  
<tex> < E_Y(x_1) + E_Y(x_2) + 2\varepsilon</tex>, так как <tex>y_{\varepsilon}+z_{\varepsilon} \in Y</tex>.
+
При <tex>\varepsilon \to 0</tex> приходим к неравенству треугольника: <tex>E_y(x_1+x_2)\le E_y(x_1)+E_y(x_2)</tex>.
 
 
При <tex>\varepsilon \to 0</tex> приходим к неравенству треугольника: <tex>E_Y(x_1+x_2)\le E_Y(x_1)+E_Y(x_2)</tex>.
 
 
}}
 
}}
  
Отметим некоторый технический момент: <tex>\forall x \in X</tex>, <tex>\forall y \in Y</tex> выполняется: <tex>E_Y(x)=E_Y((x+y)-y)\le E_Y(x+y)+E(-y)</tex>, <tex>E_Y(-y) = 0</tex>, так как <tex>-y \in Y</tex>, следовательно, <tex>E_Y(x) \le E_Y(x+y) \le E_Y(x) + E_Y(y) = E_Y(x)</tex>.  
+
Отметим некоторый технический момент: <tex>\forall x \in X</tex>, <tex>\forall y \in Y</tex> выполняется: <tex>E_y(x)=E_y((x+y)-y)\le E_y(x+y)+E(-y)</tex>, <tex>E_y(-y) = 0</tex>, так как <tex>-y \in Y</tex>, следовательно, <tex>E_y(x) \le E_y(x+y) \le E_y(x) + E_y(y) = E_y(x)</tex>.  
  
Значит, <tex>\forall y \in Y E_Y(x)=E_Y(x+y)</tex>.
+
Значит, <tex>\forall y \in Y E_y(x)=E_y(x+y)</tex>.
  
Также, так как <tex>0 \in Y</tex>, то <tex>E_Y(x) \le \|x-0\|=\|x\|</tex>, следовательно, <tex>E_Y(x) \le \|x\|</tex>.
+
Также, так как <tex>0 \in Y</tex>, то <tex>E_y(x) \le \|x-0\|=\|x\|</tex>, следовательно, <tex>E_y(x) \le \|x\|</tex>.
  
[[%D0%9D%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0#.D0.90.D1.80.D0.B8.D1.84.D0.BC.D0.B5.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B0_.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.BE.D0.B2|Отсюда]], если <tex>x_n \to x</tex>, то <tex>E_Y(x_n) \to E_Y(x)</tex>, то есть, <tex> E </tex> непрерывно как функционал в норме <tex> X </tex>.
+
[[%D0%9D%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0#.D0.90.D1.80.D0.B8.D1.84.D0.BC.D0.B5.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B0_.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.BE.D0.B2|Отсюда]], если <tex>x_n \to x</tex>, то <tex>E_y(x_n) \to E_y(x)</tex>, то есть, <tex> E </tex> непрерывно как функционал в норме <tex> X </tex>.
  
 
Основной интерес представляют покрытия <tex> X </tex> элементами конечномерных подпространств.  
 
Основной интерес представляют покрытия <tex> X </tex> элементами конечномерных подпространств.  
Строка 61: Строка 60:
 
Рассмотрим функцию <tex>f(\alpha_1,..,\alpha_n)=\|x-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\|</tex>, тогда ясно, что
 
Рассмотрим функцию <tex>f(\alpha_1,..,\alpha_n)=\|x-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\|</tex>, тогда ясно, что
  
<tex>E_Y(x)=\inf\limits_{\overline{\alpha}\in \mathbb{R}^n}f(\alpha_1,..,\alpha_n)</tex>.
+
<tex>E_y(x)=\inf\limits_{\overline{\alpha}\in \mathbb{R}^n}f(\alpha_1,..,\alpha_n)</tex>.
  
 
Надо доказать, что существует <tex>\overline{\alpha^*}=(\alpha^*_1,..,\alpha^*_n)</tex>, на котором достигается эта нижняя грань, тогда в качестве <tex>y^*</tex> можно взять <tex>y^*=\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha^*_k e_k</tex>. Доказательство существования будем вести с помощью [[Предел_отображения_в_метрическом_пространстве#weirstrass|теоремы Вейерштрасса]], утверждающей, что если функция <tex>n</tex> переменных непрерывна на компакте, то она принимает на нем свое минимальное значение.
 
Надо доказать, что существует <tex>\overline{\alpha^*}=(\alpha^*_1,..,\alpha^*_n)</tex>, на котором достигается эта нижняя грань, тогда в качестве <tex>y^*</tex> можно взять <tex>y^*=\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha^*_k e_k</tex>. Доказательство существования будем вести с помощью [[Предел_отображения_в_метрическом_пространстве#weirstrass|теоремы Вейерштрасса]], утверждающей, что если функция <tex>n</tex> переменных непрерывна на компакте, то она принимает на нем свое минимальное значение.
Строка 74: Строка 73:
 
Заметим, что <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\|e_k\|^2}</tex> {{---}} константа для данного базиса, а <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\Delta\alpha^2_k}</tex> {{---}} норма для <tex>\Delta\overline{\alpha}</tex> в <tex>\mathbb{R}^n</tex>, тогда из полученного неравенства очевидно, что <tex>f</tex> {{---}} непрерывна.
 
Заметим, что <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\|e_k\|^2}</tex> {{---}} константа для данного базиса, а <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\Delta\alpha^2_k}</tex> {{---}} норма для <tex>\Delta\overline{\alpha}</tex> в <tex>\mathbb{R}^n</tex>, тогда из полученного неравенства очевидно, что <tex>f</tex> {{---}} непрерывна.
  
Пусть <tex>M=2E_Y(x)</tex>. Считаем, что <tex>x \not\in Y</tex>, тогда <tex>E_Y(x) > 0</tex> (иначе, если <tex>E_Y(x)=0</tex>, то <tex>\forall n</tex> <tex>\exists y_n \in Y</tex> такой, что <tex>\|x-y_n\| < \frac{1}{n}</tex>. Устремляя <tex>n \to \infty</tex>, получаем, что <tex>\|x-y_n\| \to 0</tex>. Так как <tex>y_n \to x</tex> в <tex>X</tex>, а <tex>\dim Y < \infty</tex>, то <tex>Y</tex> замкнуто в <tex>X</tex>, <tex>y_n \in Y</tex>, значит и <tex>x \in Y</tex>, что противоречит нашему предположению).
+
Пусть <tex>M=2E_y(x)</tex>. Считаем, что <tex>x \not\in Y</tex>, тогда <tex>E_y(x) > 0</tex> (иначе, если <tex>E_y(x)=0</tex>, то <tex>\forall n</tex> <tex>\exists y_n \in Y</tex> такой, что <tex>\|x-y_n\| < \frac{1}{n}</tex>. Устремляя <tex>n \to \infty</tex>, получаем, что <tex>\|x-y_n\| \to 0</tex>. Так как <tex>y_n \to x</tex> в <tex>X</tex>, а <tex>\dim Y < \infty</tex>, то <tex>Y</tex> замкнуто в <tex>X</tex>, <tex>y_n \in Y</tex>, значит и <tex>x \in Y</tex>, что противоречит нашему предположению).
 
   
 
   
 
Выясним, на каком множестве гарантированно <tex>f(\overline{\alpha}) > M</tex>, то есть, <tex>\|x-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\| > M</tex>.  
 
Выясним, на каком множестве гарантированно <tex>f(\overline{\alpha}) > M</tex>, то есть, <tex>\|x-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\| > M</tex>.  
Строка 88: Строка 87:
 
Пусть <tex>\overline{\alpha}^{(m)} \to \overline{\alpha}</tex>, <tex>\overline{\alpha}^{(m)} \in T</tex>, так как сходимость покоординатная, то <tex>\alpha^{(m)}_k \to \alpha_k</tex> для <tex>k = \overline{1,n}</tex>.  
 
Пусть <tex>\overline{\alpha}^{(m)} \to \overline{\alpha}</tex>, <tex>\overline{\alpha}^{(m)} \in T</tex>, так как сходимость покоординатная, то <tex>\alpha^{(m)}_k \to \alpha_k</tex> для <tex>k = \overline{1,n}</tex>.  
  
Если <tex>\|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha^{(m)}_ke_k\| \to \|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\|</tex>, то, так как <tex>\|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha^{(m)}_k e_k\|\le M + \|x\|</tex>, предел нормы ограничен этим же значением, тогда <tex>\overline{\alpha}\in T</tex>, и <tex>T</tex> замкнуто.
+
Если <tex>\|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha^{(m)}_ke_k\| \to \|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\|</tex>, то, так как <tex>\|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\|\le M + \|x\|</tex>, предел нормы ограничен этим же значением, тогда <tex>\overline{\alpha}\in T</tex>, и <tex>T</tex> замкнуто.
  
 
<tex>|\|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha^{(m)}_ke_k\|-\|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\|| \le \|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha^{(m)}_ke_k-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_ke_k\|=\|\sum\limits_{k=1}^{n}(\alpha^{(m)}_k-\alpha_k)e_k\| \le </tex>
 
<tex>|\|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha^{(m)}_ke_k\|-\|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\|| \le \|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha^{(m)}_ke_k-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_ke_k\|=\|\sum\limits_{k=1}^{n}(\alpha^{(m)}_k-\alpha_k)e_k\| \le </tex>
Строка 113: Строка 112:
 
Можно рассмотреть <tex>C[0,1]</tex>, <tex>\|f\|=\max\limits_{x \in [0,1]}|f(x)|</tex>. Если в качестве <tex>A_n = \{\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k t^k, \alpha_k \in \mathbb{R}\}</tex> взять конечномерное подмножество <tex>C[0,1]</tex>, далее начинать рассматривать <tex>E_n(f)</tex>, то, по доказанной теореме, существует <tex> T_n(f) \in A_n</tex>, такое, что <tex>E_n(f)=|f-T_n(f)|</tex>.
 
Можно рассмотреть <tex>C[0,1]</tex>, <tex>\|f\|=\max\limits_{x \in [0,1]}|f(x)|</tex>. Если в качестве <tex>A_n = \{\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k t^k, \alpha_k \in \mathbb{R}\}</tex> взять конечномерное подмножество <tex>C[0,1]</tex>, далее начинать рассматривать <tex>E_n(f)</tex>, то, по доказанной теореме, существует <tex> T_n(f) \in A_n</tex>, такое, что <tex>E_n(f)=|f-T_n(f)|</tex>.
  
Так как <tex>A_n \subset A_{n+1}</tex>, то <tex>E_n(f) \ge E_{n+1}(f)</tex>, то есть, <tex>E_n(f)</tex> {{---}} не возрастает и по [[Приближение_непрерывной_функции_полиномами_на_отрезке#weirstrasscont|теореме Вейерштрасса]], любая непрерывная функция сколь угодно точно приближается полиномом, а значит, <tex>E_n(f) \to 0</tex>.
+
Так как <tex>A_n \subset A_{n+1}</tex>, то <tex>E_n(f) \ge E_{n+1}(f)</tex>, то есть, <tex>E_n(f)</tex> {{---}} убывает. Тогда, по [[Приближение_непрерывной_функции_полиномами_на_отрезке#weirstrasscont|теореме Вейерштрасса]], любая непрерывная функция сколь угодно точно приближается полиномом, а значит, <tex>E_n(f) \to 0</tex>.
  
 
[[Интеграл Фейера|<<]][[Теорема Фейера|>>]]
 
[[Интеграл Фейера|<<]][[Теорема Фейера|>>]]
  
 
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
 
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)