Редактирование: Натуральные числа

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 139: Строка 139:
 
Для любого подмножества натурального ряда всегда существует минимум.
 
Для любого подмножества натурального ряда всегда существует минимум.
 
Т. е. <tex>\forall A \subset \mathbb N, A \ne \varnothing, \exists x \in A: \forall y \in A, x \leqslant y</tex>
 
Т. е. <tex>\forall A \subset \mathbb N, A \ne \varnothing, \exists x \in A: \forall y \in A, x \leqslant y</tex>
}}
 
Из этой теоремы вытекает следующее утверждение, эквивалентное аксиоме математической индукции, но иногда более удобное при проведении доказательств.
 
{{Утверждение
 
|id=utv1
 
|author=
 
|about=
 
|statement= Если <tex>T(n)</tex> истинно при <tex>n = 1,</tex> а из того, что оно истинно при всех <tex>n < k,</tex> следует, что оно истинно и при <tex>n = k,</tex> то <tex>T(n)</tex> истинно для всех натуральных значений <tex>n</tex>.
 
|proof=Обозначим через <tex>A</tex> подмножество натуральных чисел, для которых <tex>T(n)</tex> ложно. Если это подмножество непусто, то оно содержит наименьшее число k. Этим числом не может быть <tex>1</tex>, так как по условию <tex>T(1)</tex> истинно. Значит, <tex>k > 1</tex>. Но поскольку <tex>k</tex> —  наименьшее число, для которого <tex>T(n)</tex> ложно, то для всех <tex>n < k</tex> <tex>T(n)</tex> истинно, а тогда по условию теорем оно должно быть истинно и при <tex>n = k</tex>. Мы пришли к противоречию — одновременно оказалось, что <tex>T(k)</tex> истинно и ложно. Следовательно, предположение о том, что <tex>A</tex> не пустое множество, ложно. Значит, <tex>A</tex>  — пустое множество, т.е. нет натуральных чисел, для которых <tex>T(n)</tex> ложно. Что означает, что <tex>T(n)</tex> истинно для всех натуральных значений <tex>n</tex>.
 
 
}}
 
}}
  

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)