Редактирование: Натуральные числа

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 14: Строка 14:
 
Отрицательные и нецелые числа натуральными числами не являются.
 
Отрицательные и нецелые числа натуральными числами не являются.
  
Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком <tex>\mathbb{N}</tex>. Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.
+
Множество всех натуральных чисел ЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408принято обозначать знаком <tex>\mathbb{N}</tex>. Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.
  
 
===Формальное определение===
 
===Формальное определение===
Строка 27: Строка 27:
 
# '''Аксиома индукции'''. Пусть <tex>P(n)</tex> — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа <tex>n</tex>. Тогда:
 
# '''Аксиома индукции'''. Пусть <tex>P(n)</tex> — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа <tex>n</tex>. Тогда:
 
:: если <tex>P(1)</tex> и <tex>\forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))</tex>, то <tex>\forall n\;P(n)</tex>
 
:: если <tex>P(1)</tex> и <tex>\forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))</tex>, то <tex>\forall n\;P(n)</tex>
:: ('''Если''' некоторое высказывание <tex>P</tex> верно для <tex>n=1</tex> (''база индукции'') и для любого <tex>n</tex> при допущении, что верно <tex>P(n)</tex>, верно и <tex>P(n+1)</tex> ''(индукционное предположение)'', '''то''' <tex>P(n)</tex> верно для любых натуральных <tex>n</tex>).
+
:: ('''Если''' некотороеЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408 высказывание <tex>P</tex> верно для <tex>n=1</tex> (''база индукции'') и для любого <tex>n</tex> при допущении, что верно <tex>P(n)</tex>, верно и <tex>P(n+1)</tex> ''(индукционное предположение)'', '''то''' <tex>P(n)</tex> верно для любых натуральных <tex>n</tex>).
 
}}
 
}}
  
 
===Теоретико-множественное определение===
 
===Теоретико-множественное определение===
  
Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.
+
Согласно теории ЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.
  
 
Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:
 
Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:
Строка 45: Строка 45:
 
* <tex>3=\Big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\},\;\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}\Big\}</tex>
 
* <tex>3=\Big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\},\;\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}\Big\}</tex>
  
Классы эквивалентности этих множеств относительно биекций также обозначают <tex>0, 1, 2, \dots.</tex>
+
Классы эквивалентностиЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408 этих множеств относительно биекций также обозначают <tex>0, 1, 2, \dots.</tex>
  
 
Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивные представления о «натуральном ряде».
 
Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивные представления о «натуральном ряде».
Строка 53: Строка 53:
 
Есть два способа определения суммы двух натуральных чисел <tex>a\ и\ b</tex>. Если натуральные числа определяют через мощность множества с конечным числом элементов (мощность множества — это количество элементов в нём), тогда целесообразно дать следующее определение суммы:
 
Есть два способа определения суммы двух натуральных чисел <tex>a\ и\ b</tex>. Если натуральные числа определяют через мощность множества с конечным числом элементов (мощность множества — это количество элементов в нём), тогда целесообразно дать следующее определение суммы:
  
Пусть <tex>N(S)\ —  </tex> мощность множества <tex>S</tex>. Возьмём два не пересекающихся множества <tex>A\</tex> и <tex>B,\</tex> причём <tex>N(A) = a</tex> и <tex>N(B) = b</tex>.
+
Пусть <tex>N(S)\ —  </tex> мощностьЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408 множества <tex>S</tex>. Возьмём два не пересекающихся множества <tex>A\</tex> и <tex>B,\</tex> причём <tex>N(A) = a</tex> и <tex>N(B) = b</tex>.
 
Тогда <tex>a + b</tex> можно определить как: <tex>N ( A ∪ B )</tex>.
 
Тогда <tex>a + b</tex> можно определить как: <tex>N ( A ∪ B )</tex>.
  
Здесь, <tex>A ∪ B\  —  </tex> это объединение множеств <tex>A\ и B\</tex>. В альтернативной версии этого определения множества <tex>A\ и\ B</tex> перекрываются и тогда в качестве суммы берётся их дизъюнктное объединение, механизм, который позволяет отделять общие элементы, вследствие чего эти элементы учитываются дважды.
+
Здесь, <tex>A ∪ B\  —  </tex> это объединение множеств <tex>A\ и B\</tex>. В альтернативной версии этого определения множества <tex>A\ и\ B</tex> перекрываются и тогдаЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408 в качестве суммы берётся их дизъюнктное объединение, механизм, который позволяет отделять общие элементы, вследствие чего эти элементы учитываются дважды.
  
 
Другое известное определение рекурсивно:
 
Другое известное определение рекурсивно:
Пусть <tex>n+\ —  </tex> следующее за <tex>n</tex> натуральное число, например <tex>0+ = 1, 1+ = 2.</tex> Пусть <tex>a + 0 = a</tex>. Тогда общая сумма определяется рекурсивно: <tex>a + (b+) = (a + b)+</tex>. Отсюда <tex>1 + 1 = 1 + 0+ = (1 + 0)+ = 1+ = 2</tex>.
+
Пусть <tex>n+\ —  </tex> следующеЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408е за <tex>n</tex> натуральное число, например <tex>0+ = 1, 1+ = 2.</tex> Пусть <tex>a + 0 = a</tex>. Тогда общая сумма определяется рекурсивно: <tex>a + (b+) = (a + b)+</tex>. Отсюда <tex>1 + 1 = 1 + 0+ = (1 + 0)+ = 1+ = 2</tex>.
  
 
===Умножение===
 
===Умножение===

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)