Натуральные числа — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Индукция)
(Индукция)
Строка 21: Строка 21:
 
:Пусть имеется последовательность утверждений <math>A_1, A_2, A_3, \ldots</math> И пусть первое утверждение <math>A_1</math> верно и мы умеем доказать, что из верности утверждения <math>A_k</math> следует верность <math>A_{k + 1}</math>. Тогда все утверждения в этой последовательности верны.
 
:Пусть имеется последовательность утверждений <math>A_1, A_2, A_3, \ldots</math> И пусть первое утверждение <math>A_1</math> верно и мы умеем доказать, что из верности утверждения <math>A_k</math> следует верность <math>A_{k + 1}</math>. Тогда все утверждения в этой последовательности верны.
  
Верность этого метода доказательства вытекает из так называемой '''аксиомы индукции''', пятой из [[m:ru:аксиомы Пеано|аксиом Пеано]], которые определяют [[m:ru:Натуральное число|натуральные числа]]. Рассмотрение аксиом Пеано выходит за рамки этой статьи.
+
Верность этого метода доказательства вытекает из так называемой '''аксиомы индукции''', пятой из аксиом Пеано, которые определяют натуральные числа. Рассмотрение аксиом Пеано выходит за рамки этой статьи.
  
Заметим, что аксиому индукции можно заменить на [[m:ru:Аксиома существования минимума|аксиому существования минимума]], и доказать аксиому индукции как теорему.
+
Также существует '''принцип полной математической индукции'''. Вот его строгая формулировка:
  
 
+
:Пусть имеется последовательность утверждений <math>A_1, A_2, A_3, \ldots</math>. И пусть мы умеем доказать, что из верности утверждения <math>A_1, A_2, A_3, \ldots, A_k</math> следует верность <math>A_{k + 1}</math>. Тогда все утверждения в этой последовательности верны.
Также в скобках заметим, что существует принцип полной математической индукции. Вот его строгая формулировка:
 
 
 
 
 
:Пусть имеется последовательность утверждений <math>Y_1, Y_2, Y_3, \ldots</math>. И пусть мы умеем доказать, что из верности утверждения <math>Y_1, Y_2, Y_3, \ldots, Y_k</math> следует верность <math>Y_{k + 1}</math>. Тогда все утверждения в этой последовательности верны.
 
  
 
===Существование наименьшего элемента===
 
===Существование наименьшего элемента===
  
 
[[Категория: Классы чисел]]
 
[[Категория: Классы чисел]]

Версия 16:07, 30 июня 2010

Эта статья находится в разработке!

Деление чисел с остатком

Если натуральное число [math]n\,[/math] не делится на натуральное число [math]m\,[/math], т.е. не существует такого натурального числа [math]k\,[/math] , что [math]n = m\,k,[/math] то деление называется делением с остатком.

Формула деления с остатком: [math]n = m\,k + r,[/math] где [math]n\,[/math] - делимое, [math]m\,[/math] - делитель, [math]k\,[/math] - частное, [math]r\,[/math] - остаток, причем [math]0\leqslant r \lt b [/math]

Любое число можно представить в виде: [math]n = 2\,k + r,[/math] , где остаток [math]r\,[/math] = [math]0\,[/math] или [math]r\,[/math] = [math]1\,[/math]
Любое число можно представить в виде: [math]n = 4\,k + r,[/math] , где остаток [math]r\,[/math] = [math]0\,[/math] или [math]r\,[/math] = [math]1\,[/math] или [math]r\,[/math] = [math]2\,[/math] или [math]r\,[/math] = [math]3\,[/math]
Любое число можно представить в виде: [math]n = m\,k + r,[/math] , где остаток [math]r\,[/math] принимает значения от [math]0\,[/math] до [math](m-1)\,[/math]

Принцип индукции, существование наименьшего числа в любом множестве натуральных чисел

Индукция

Формулировка принципа математической индукции:

Пусть имеется последовательность утверждений [math]A_1, A_2, A_3, \ldots[/math] И пусть первое утверждение [math]A_1[/math] верно и мы умеем доказать, что из верности утверждения [math]A_k[/math] следует верность [math]A_{k + 1}[/math]. Тогда все утверждения в этой последовательности верны.

Верность этого метода доказательства вытекает из так называемой аксиомы индукции, пятой из аксиом Пеано, которые определяют натуральные числа. Рассмотрение аксиом Пеано выходит за рамки этой статьи.

Также существует принцип полной математической индукции. Вот его строгая формулировка:

Пусть имеется последовательность утверждений [math]A_1, A_2, A_3, \ldots[/math]. И пусть мы умеем доказать, что из верности утверждения [math]A_1, A_2, A_3, \ldots, A_k[/math] следует верность [math]A_{k + 1}[/math]. Тогда все утверждения в этой последовательности верны.

Существование наименьшего элемента