Некоторые элементарные свойства интеграла Лебега — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (Сигма-аддитивность)
м
 
Строка 1: Строка 1:
 
[[Определение интеграла Лебега|<<]] [[Предельный переход под знаком интеграла Лебега|>>]]
 
[[Определение интеграла Лебега|<<]] [[Предельный переход под знаком интеграла Лебега|>>]]
 
{{В разработке}}
 
  
 
Далее, для краткости, «определённый интеграл Лебега» будет означать интеграл Лебега от ограниченной измеримой функции по множеству конечной меры.
 
Далее, для краткости, «определённый интеграл Лебега» будет означать интеграл Лебега от ограниченной измеримой функции по множеству конечной меры.

Текущая версия на 19:14, 24 июня 2012

<< >>

Далее, для краткости, «определённый интеграл Лебега» будет означать интеграл Лебега от ограниченной измеримой функции по множеству конечной меры.

Учитывая, что [math]m \leq f(x) \leq M[/math] и [math]\mu E \geq 0[/math], [math]\mu E = \sum\limits_{i=1}^n \mu e_i [/math], имеем набор неравенств [math] m\mu E \leq \underline{s}(\tau) \leq \underline{L} \leq \overline{L} \leq \overline{s}(\tau) \leq M\mu E[/math].

То есть, [math]m \mu E \leq \int\limits_{E} f(x) d\mu \leq M \mu E[/math].

Если [math]f(x) = c [/math], то [math] \underline{s} = \overline{s} = c\mu E[/math], и интеграл от постоянной — [math]\int\limits_E cd\mu = c\mu E[/math].

Если [math] f [/math] неотрицательна, то интеграл от нее тоже неотрицателен.

Сигма-аддитивность[править]

Теорема ([math]\sigma[/math]-аддитивность интеграла):
Пусть существует [math] \int\limits_E fd\mu[/math], [math]E = \bigcup\limits_n E_n[/math] — измеримы и дизъюнктны. Тогда [math] \int\limits_E fd\mu = \sum\limits_n \int\limits_{E_n} fd\mu [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

1) [math]E = \bigcup\limits_{n=1}^p e_n[/math] (случай конечного объединения множеств).

Ясно, что достаточно рассмотреть [math]p=2[/math]: [math]\int\limits_E fd\mu = \int\limits_{E_1}fd\mu+\int\limits_{E_2}fd\mu[/math]. Дальнейшее доказательство делается тривиальной индукцией по числу множеств.

Раз [math]\exists \int\limits_E fd\mu[/math], то [math]f[/math] — измерима на [math]E[/math] и ограничена там.

Значит, она будет такой же на частях [math]E_1[/math] и [math]E_2[/math], поэтому, все интегралы существуют.

В силу определения интеграла, [math]\forall\varepsilon\ \exists\tau_i[/math] — разбиение [math]E_i[/math].

[math]\int\limits_{E_1}fd\mu -\varepsilon \lt \underline{s}(\tau_1) \Rightarrow \int\limits_{E_1} + \int\limits_{E_2} - 2\varepsilon \lt \underline{s}(\tau_1) + \underline{s}(\tau_2)[/math]

Но [math]\tau = \tau_1 \cup \tau_2[/math] — разбиение [math]E[/math]. Значит, [math]\int\limits_{E_1} + \int\limits_{E_2} - 2\varepsilon \leq \underline{s}(\tau) \leq \int\limits_E[/math].

[math]\varepsilon \to 0[/math] — почти победа. Получили, что [math]\int\limits_{E_1} + \int\limits_{E_2} \leq \int\limits_E[/math].

Обратное неравенство доказываем аналогично. Случай конечной суммы рассмотрен.

2) [math]E = \bigcup\limits_n E_n = \bigcup\limits_{n=1}^p E_n + B_p[/math], [math]B_p = \bigcup\limits_{n=p+1}^\infty E_n[/math]

Теперь [math]E[/math] разбито на конечное число дизъюнктных частей.

По пункту 1, [math]\int\limits_E= \sum\limits_{n=1}^p\int\limits_{E_n} + \int\limits_{B_p}[/math]

[math]|f(x)| \leq M \Rightarrow |\int\limits_{B_p}| \leq M\mu B_p[/math]

Так как [math]\mu E \lt +\infty[/math], [math]\mu E = \sum\limits_{n=1}^p \mu E_n + \mu B_p[/math], по [math]\sigma[/math]-аддитивности.

[math]\mu E = \sum\limits_{n=1}^\infty \mu E_n[/math].

Так как остаток сходящегося числового ряда стремится к нулю, [math]\mu B_p \to 0[/math].

Тогда, так как [math]\left|\int\limits_{B_p}\right| \leq \mu B_p \cdot M[/math], [math]\int\limits_{B_p} \xrightarrow[p\to \infty]{} 0[/math].

Тогда, при [math]p\to\infty[/math], [math]\int\limits_{E} = \sum\limits_{n=1}^\infty [/math], что нам и требовалось.
[math]\triangleleft[/math]

В частности, из этой теоремы уже можно перейти к следующему факту:

Утверждение:
Пусть [math]\exists\int\limits_E fd\mu, \int\limits_E gd\mu[/math], [math]\mu E(f\ne g) = 0[/math]. Тогда [math]\int\limits_E fd\mu = \int\limits_E gd\mu[/math]
[math]\triangleright[/math]

Действительно, [math]E_1 = E(f \ne g)[/math] — измеримо, так как [math]f[/math] и [math]g[/math] — измеримы. [math]E(f\ne g) = \bigcup\limits_{n=1}^\infty (|f-g|\geq \frac1n)[/math] — счётное объединение измеримых множеств.

[math]E_2 = E \setminus E_1[/math]. [math]E[/math] разбито на две дизъюнктных части,

[math]\int\limits_E fd\mu = \int\limits_{E_1} fd\mu + \int\limits_{E_2}fd\mu[/math], [math]\mu E_1 = 0 \Rightarrow \int\limits_{E_1} fd\mu = \int\limits_{E_1} gd\mu = 0 [/math].

Тогда:

[math]\int\limits_E fd\mu = 0 + \int\limits_{E_2} fd\mu = 0 + \int\limits_{E_2} gd\mu = \int\limits_E gd\mu [/math].
[math]\triangleleft[/math]

Если вернуться к [math]f = \begin{cases}0, & x \in \mathbb{Q}\\1, & x \notin \mathbb{Q}\end{cases}[/math] и [math]g = 1[/math], то, так как [math] f = g [/math] везде, кроме нульмерного множества, то [math]\int\limits_{[0;1]} fd\mu = \int\limits_{[0;1]}1d\mu = 1[/math].

Линейность[править]

Теперь установим так называемую линейность интеграла:

Утверждение:
Пусть [math]\exists\int f, \int g[/math], [math]\alpha, \beta \in \mathbb{R}[/math]. Тогда [math]\alpha\int\limits_E fd\mu + \beta\int\limits_E gd\mu = \int\limits_E(\alpha f + \beta g)d\mu[/math].
[math]\triangleright[/math]

Установим, что интеграл суммы равен сумме интегралов. То, что можно выносить множитель, доказывается аналогично.

В [math]\int\limits_E (f+g) = \int\limits_E f + \int\limits_E g [/math] все интегралы существуют, нужно только доказать, что равенство выполняется.

[math]E = \bigcup\limits_{j=1}^p e_j[/math].

[math] m_j(f) \le f(x) \le M_j(f) [/math];

[math] m_j(g) \le g(x) \le M_j(g) [/math];

Сложим эти неравенства:

[math]m_j(f) + m_j(g) \leq f(x) + g(x) \leq M_j(f) + M_j(g)[/math]

[math]m_j(f) + m_j(g) \leq m_j(f + g) \leq M_j(f + g) \leq M_j(f) + M_j(g)[/math]

Суммируем по [math]j[/math]:

[math]\underline{s}(f) + \underline{s}(g) \leq \underline{s}(f+g) \leq \int\limits_E(f+g) \leq \overline{s}(f+g) \leq \overline{s}(f) + \overline{s}(g)[/math].

[math]\underline{s}(f) + \underline{s}(g) \leq \int\limits_Ef+\int\limits_Eg[/math], [math]\int\limits_E(f+g)\leq \overline{s}(f) + \overline{s}(g)[/math].

В силу определения интеграла от измеримой функции, [math]\forall\varepsilon \gt 0 \exists \tau : \overline{s}(\tau, f) - \underline{s}(\tau, f)\lt \varepsilon[/math].


[math]\forall\varepsilon\gt 0\ \exists \tau_1 : \overline{s}(\tau_1, f) - \underline{s}(\tau_1, f) \lt \varepsilon[/math]

[math]\forall\varepsilon\gt 0\ \exists \tau_2 : \overline{s}(\tau_2, g) - \underline{s}(\tau_2, g) \lt \varepsilon[/math]

[math]\exists\tau_3 : \tau_3 \le \tau_1, \tau_2 [/math]

Подставим [math]\tau_3[/math].

[math]\overline{s}(f, \tau_3) - \underline{s}(f, \tau_3) \lt \varepsilon[/math]

[math]\overline{s}(g, \tau_3) - \underline{s}(g, \tau_3) \lt \varepsilon[/math]

Тогда крайние величины отличаются не более, чем на [math]2\varepsilon[/math]. Так как [math]\varepsilon[/math] — произвольное, числа должны совпасть.
[math]\triangleleft[/math]

<< >>