Неравенства Гёльдера, Минковского — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «<tex>\ln x</tex> выпукла вверх. Рассмотрим <tex>\alpha_k: \forall \alpha_k \geq 0</tex>, <tex>\sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k = 1</tex> и на…»)
 
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 15 промежуточных версий 5 участников)
Строка 1: Строка 1:
 +
== Неравенство Юнга ==
 +
 
<tex>\ln x</tex> выпукла вверх.
 
<tex>\ln x</tex> выпукла вверх.
Рассмотрим  <tex>\alpha_k: \forall \alpha_k \geq 0</tex>, <tex>\sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k = 1</tex> и набор <tex>\{x_1, x_2, \cdot x_n\}</tex>.
+
Рассмотрим  <tex>\alpha_k \geq 0</tex>,
 +
<tex>\sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k = 1</tex> и набор
 +
<tex>\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}</tex>.
  
Применим неравенство <tex>\sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k\ln x_k \leq \ln \sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k x_k</tex>. Потенциируем.
+
Применим [[Выпуклые функции#Неравенство Йенсена|неравенство Йенсена]]
 +
<tex>\sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k\ln x_k \leq \ln \sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k x_k</tex>. Потенцируем.
  
 
<tex>e^{\sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k \ln x_k} \leq e^{\ln \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k x_k}</tex>
 
<tex>e^{\sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k \ln x_k} \leq e^{\ln \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k x_k}</tex>
Строка 9: Строка 14:
  
 
<tex>\prod\limits_{k = 1}^n x_k^{\alpha_k} \leq \sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k x_k</tex>
 
<tex>\prod\limits_{k = 1}^n x_k^{\alpha_k} \leq \sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k x_k</tex>
 +
(неравенство между обобщенным средним геометрическим и средним арифметическим).
  
Частный случай &mdash; неравенство между обобщенным средним геометрическим и средним арифметическим при <tex>\alpha_k = \frac1n</tex>:
+
При <tex dpi = "150">\alpha_k = \frac1n</tex> получается знакомая формула:
  
<tex>\sqrt[n]{\prod\limits_{k = 1}^n x_k} \leq \frac1n \sum\limits_{k = 1}^n x_k</tex>
+
<tex dpi = "150">\sqrt[n]{x_1 x_2 \cdot \ldots \cdot x_n} \leq \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}n</tex>
  
 
Пусть теперь <tex>n = 2</tex>. Тогда  
 
Пусть теперь <tex>n = 2</tex>. Тогда  
  
<tex>x_1^{\alpha_1} \cdot x_2^{\alpha_2} \leq \alpha_1x_1 + \alpha_2x_2, \, \alpha_1+\alpha_2 = 1, \, \alpha_i \geq 0, \, i = \bar{1, 2}</tex>
+
<tex>x_1^{\alpha_1} \cdot x_2^{\alpha_2} \leq \alpha_1x_1 + \alpha_2x_2, \, \alpha_1+\alpha_2 = 1, \, \alpha_i \geq 0, \, i = \overline{1, 2}</tex>
  
 
<tex>u = x_1^{\alpha_1}$, $v = x_2^{\alpha_2}</tex>
 
<tex>u = x_1^{\alpha_1}$, $v = x_2^{\alpha_2}</tex>
Строка 25: Строка 31:
  
 
{{Определение | definition =
 
{{Определение | definition =
<tex>q</tex> такое, что <tex>\frac1p + \frac1q = 1</tex> называется сопряжённым к <tex>p</tex>.
+
Числа <tex>p</tex> и <tex>q</tex> называются сопряженными показателями, если <tex dpi = "150">\frac1p + \frac1q = 1</tex>
 
}}
 
}}
  
<tex>\boxed{uv \leq \frac1p u^p + \frac1q v ^ q}<tex> &mdash; неравенство Юнга.
+
<tex dpi = "150">\boxed{uv \leq \frac1p u^p + \frac1q v ^ q}</tex> &mdash; неравенство Юнга.
 +
 
 +
== Теорема Гёльдера ==
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|about=
 
|about=
Де Моргана
+
Гёльдера
 
|statement=  
 
|statement=  
Пусть <tex>a_1; a_2 \ldots a_n > 0</tex>, <tex>b_1; b_2 \ldots b_n > 0</tex>, <tex>p > 1</tex>, <tex>\frac1p + \frac1q = 1</tex>
+
Пусть <tex>a_1, a_2 \ldots a_n, b_1, b_2 \ldots b_n > 0</tex>, <tex>p > 1</tex>, <tex dpi = "150">\frac1p + \frac1q = 1</tex>
 
Тогда  
 
Тогда  
 
<tex>
 
<tex>
 
\sum\limits_{k=1}^n a_k b_k \leq  
 
\sum\limits_{k=1}^n a_k b_k \leq  
\left(\sum\limits_{k = 1}^n a_k^p \right)^{1/p} +
+
\left(\sum\limits_{k = 1}^n a_k^p \right)^{1/p}
\left(\sum\limits_{k = 1}^n b_k^p \right)^{1/q}
+
\left(\sum\limits_{k = 1}^n b_k^q \right)^{1/q}
 
</tex>
 
</tex>
 
|proof=
 
|proof=
Обозначим <tex>A = \left( \sum\limits_{k = 1}^n a_k p \right)^{1/p}</tex>, <tex>B = \left( \sum\limits_{k = 1}^n b_k q \right)^{1/q}</tex>
+
Обозначим <tex>A = \left( \sum\limits_{k = 1}^n a_k^p \right)^{1/p}</tex>, <tex>B = \left( \sum\limits_{k = 1}^n b_k^q \right)^{1/q}</tex>
  
 
По неравенству Юнга  
 
По неравенству Юнга  
<tex>
+
<tex dpi = "150">
 
\forall k : \left(\frac{a_k}A\right) \cdot \left(\frac{b_k}B\right) \leq
 
\forall k : \left(\frac{a_k}A\right) \cdot \left(\frac{b_k}B\right) \leq
 
\frac1p \left(\frac{a_k}A\right)^p + \frac1q \left(\frac{b_k}B\right)^q
 
\frac1p \left(\frac{a_k}A\right)^p + \frac1q \left(\frac{b_k}B\right)^q
 
</tex>
 
</tex>
  
Сложим по <tex>k = \bar{1, n}</tex>:
+
Сложим по <tex>k = \overline{1, n}</tex>:
  
<tex>
+
<tex dpi = "150">
 
\sum\limits_{k = 1}^n \frac{a_k}{A} \cdot \frac{b_k}{B} \leq
 
\sum\limits_{k = 1}^n \frac{a_k}{A} \cdot \frac{b_k}{B} \leq
\frac1p \sum\limits_{k = 1}^n \left(\frac{a_k}A\right)^p + \frac1q \sum\limits_{k = 1}^n \left(\frac{b_k}B\right)^q =  
+
\frac1p \sum\limits_{k = 1}^n \left(\frac{a_k}A\right)^p + \frac1q \sum\limits_{k = 1}^n \left(\frac{b_k}B\right)^q = </tex>
\frac1p \frac1{A^p} \sum\limits_{k = 1}^n a_k^p +  \frac1q \frac1{B_q} \sum\limits_{k = 1}^n b_k^q =
+
<tex dpi = "150">\frac1p \frac1{A^p} \sum\limits_{k = 1}^n a_k^p +  \frac1q \frac1{B^q} \sum\limits_{k = 1}^n b_k^q =
\frac1p \frac1{A^p} A^p + \frac1q \frac1{B^q} B_q =  
+
\frac1p \frac1{A^p} A^p + \frac1q \frac1{B^q} B^q =  
 
1
 
1
 
</tex>
 
</tex>
  
Получили, что <tex>\sum\limits_{k = 1}^n \frac{a_k}{A} \frac{b_k}{B} \leq 1 \Rightarrow  
+
Получили, что <tex dpi = "150">\sum\limits_{k = 1}^n \frac{a_k}{A} \frac{b_k}{B} \leq 1 \Rightarrow  
 
\sum\limits_{k = 1}^n a_k b_k \leq AB</tex>
 
\sum\limits_{k = 1}^n a_k b_k \leq AB</tex>
  
Строка 66: Строка 74:
  
 
=== Следствие ===
 
=== Следствие ===
Для <tex>a_k, b_k > 0</tex> выполняется свойство Коши для сумм:
+
Полагая <tex>p = q = 2</tex>, для <tex>a_k, b_k > 0</tex> получаем неравенство Коши для сумм:
  
 
<tex>
 
<tex>
\sum\limits_{k = 1}^n a_k b_k \leq \sqrt{\sum\limits_{k = 1}^n a_k^2} + \sqrt{\sum\limits_{k = 1}^n b_k^2}   
+
\sum\limits_{k = 1}^n a_k b_k \leq \sqrt{\sum\limits_{k = 1}^n a_k^2}\sqrt{\sum\limits_{k = 1}^n b_k^2}   
 
</tex>
 
</tex>
  
Для этого нужно подставить <tex>p = q = 2</tex>.
+
== Теорема Минковского ==
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
Строка 78: Строка 86:
 
Минковского
 
Минковского
 
|statement=  
 
|statement=  
Пусть снова <tex>a_1; a_2 \ldots a_n > 0</tex>, <tex>b_1; b_2 \ldots b_n > 0</tex>, <tex>p \leq 1</tex>.
+
Пусть снова <tex>a_1; a_2 \ldots a_n > 0</tex>, <tex>b_1; b_2 \ldots b_n > 0</tex>, <tex>p \ge 1</tex>.
  
 
Тогда  
 
Тогда  
Строка 91: Строка 99:
 
<tex>p > 1: (a_k + b_k)^p = a_k(a_k + b_k)^{p - 1} + b_k(a_k + b_k)^{p - 1}$, $p - 1 > 0</tex>.
 
<tex>p > 1: (a_k + b_k)^p = a_k(a_k + b_k)^{p - 1} + b_k(a_k + b_k)^{p - 1}$, $p - 1 > 0</tex>.
  
Так как <tex>p > 1</tex>, положим <tex>q = \frac{p}{p - 1}</tex>. Применяем к  
+
Так как <tex>p > 1</tex>, положим <tex dpi = "150">q = \frac{p}{p - 1}</tex>. Применяем к  
<tex>\sum\limits_{k = 1}^n a_k (a_k + b_k)^{p - 1}</tex> неравенство Гольдера:
+
<tex>\sum\limits_{k = 1}^n a_k (a_k + b_k)^{p - 1}</tex> неравенство Гёльдера:
  
 
<tex>
 
<tex>
 
\sum\limits_{k = 1}^n a_k(a_k + b_k)^{p - 1} \leq
 
\sum\limits_{k = 1}^n a_k(a_k + b_k)^{p - 1} \leq
\left(\sum\limits_{k = 1}^n a_k^p \right)^{1/p} \cdot \left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^{p/q}\right)^{1/q}
+
\left(\sum\limits_{k = 1}^n a_k^p \right)^{1/p} \cdot \left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^{(p-1)q\,=\,p}\right)^{1/q}
 
</tex>
 
</tex>
 +
 +
Используем аналогичное неравенство для <tex>\sum\limits_{k = 1}^n b_k(a_k + b_k)^{p - 1}</tex> :
  
 
<tex>
 
<tex>
Строка 111: Строка 121:
 
</tex>
 
</tex>
  
Итого:
+
Сокращая обе части на <tex>\left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p\right)^{1/q}</tex>, окончательно получаем:
  
 
<tex>
 
<tex>
Строка 131: Строка 141:
 
\sqrt{\sum\limits_{k = 1}^n b_k^2}
 
\sqrt{\sum\limits_{k = 1}^n b_k^2}
 
</tex>
 
</tex>
 +
 +
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]

Текущая версия на 19:21, 4 сентября 2022

Неравенство Юнга

[math]\ln x[/math] выпукла вверх. Рассмотрим [math]\alpha_k \geq 0[/math], [math]\sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k = 1[/math] и набор [math]\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}[/math].

Применим неравенство Йенсена [math]\sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k\ln x_k \leq \ln \sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k x_k[/math]. Потенцируем.

[math]e^{\sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k \ln x_k} \leq e^{\ln \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k x_k}[/math]

Запишем сумму логарифмов как логарифм произведения:

[math]\prod\limits_{k = 1}^n x_k^{\alpha_k} \leq \sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k x_k[/math] (неравенство между обобщенным средним геометрическим и средним арифметическим).

При [math]\alpha_k = \frac1n[/math] получается знакомая формула:

[math]\sqrt[n]{x_1 x_2 \cdot \ldots \cdot x_n} \leq \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}n[/math]

Пусть теперь [math]n = 2[/math]. Тогда

[math]x_1^{\alpha_1} \cdot x_2^{\alpha_2} \leq \alpha_1x_1 + \alpha_2x_2, \, \alpha_1+\alpha_2 = 1, \, \alpha_i \geq 0, \, i = \overline{1, 2}[/math]

[math]u = x_1^{\alpha_1}$, $v = x_2^{\alpha_2}[/math]

[math]uv \leq \alpha_1 u^{1/\alpha_1} + \alpha_2 v^{1/\alpha_2}[/math]

[math]p \gt 1[/math].


Определение:
Числа [math]p[/math] и [math]q[/math] называются сопряженными показателями, если [math]\frac1p + \frac1q = 1[/math]


[math]\boxed{uv \leq \frac1p u^p + \frac1q v ^ q}[/math] — неравенство Юнга.

Теорема Гёльдера

Теорема (Гёльдера):
Пусть [math]a_1, a_2 \ldots a_n, b_1, b_2 \ldots b_n \gt 0[/math], [math]p \gt 1[/math], [math]\frac1p + \frac1q = 1[/math]

Тогда

[math] \sum\limits_{k=1}^n a_k b_k \leq \left(\sum\limits_{k = 1}^n a_k^p \right)^{1/p} \left(\sum\limits_{k = 1}^n b_k^q \right)^{1/q} [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Обозначим [math]A = \left( \sum\limits_{k = 1}^n a_k^p \right)^{1/p}[/math], [math]B = \left( \sum\limits_{k = 1}^n b_k^q \right)^{1/q}[/math]

По неравенству Юнга [math] \forall k : \left(\frac{a_k}A\right) \cdot \left(\frac{b_k}B\right) \leq \frac1p \left(\frac{a_k}A\right)^p + \frac1q \left(\frac{b_k}B\right)^q [/math]

Сложим по [math]k = \overline{1, n}[/math]:

[math] \sum\limits_{k = 1}^n \frac{a_k}{A} \cdot \frac{b_k}{B} \leq \frac1p \sum\limits_{k = 1}^n \left(\frac{a_k}A\right)^p + \frac1q \sum\limits_{k = 1}^n \left(\frac{b_k}B\right)^q = [/math] [math]\frac1p \frac1{A^p} \sum\limits_{k = 1}^n a_k^p + \frac1q \frac1{B^q} \sum\limits_{k = 1}^n b_k^q = \frac1p \frac1{A^p} A^p + \frac1q \frac1{B^q} B^q = 1 [/math]

Получили, что [math]\sum\limits_{k = 1}^n \frac{a_k}{A} \frac{b_k}{B} \leq 1 \Rightarrow \sum\limits_{k = 1}^n a_k b_k \leq AB[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Следствие

Полагая [math]p = q = 2[/math], для [math]a_k, b_k \gt 0[/math] получаем неравенство Коши для сумм:

[math] \sum\limits_{k = 1}^n a_k b_k \leq \sqrt{\sum\limits_{k = 1}^n a_k^2}\sqrt{\sum\limits_{k = 1}^n b_k^2} [/math]

Теорема Минковского

Теорема (Минковского):
Пусть снова [math]a_1; a_2 \ldots a_n \gt 0[/math], [math]b_1; b_2 \ldots b_n \gt 0[/math], [math]p \ge 1[/math].

Тогда

[math] \left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p \right)^{1/p} \leq \left(\sum\limits_{k = 1}^n a_k^p\right)^{1/p} + \left(\sum\limits_{k = 1}^n b_k^p\right)^{1/p} [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

При [math]p = 1[/math] неравенство тривиально. Пусть тогда [math]p \ne 1[/math].

[math]p \gt 1: (a_k + b_k)^p = a_k(a_k + b_k)^{p - 1} + b_k(a_k + b_k)^{p - 1}$, $p - 1 \gt 0[/math].

Так как [math]p \gt 1[/math], положим [math]q = \frac{p}{p - 1}[/math]. Применяем к [math]\sum\limits_{k = 1}^n a_k (a_k + b_k)^{p - 1}[/math] неравенство Гёльдера:

[math] \sum\limits_{k = 1}^n a_k(a_k + b_k)^{p - 1} \leq \left(\sum\limits_{k = 1}^n a_k^p \right)^{1/p} \cdot \left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^{(p-1)q\,=\,p}\right)^{1/q} [/math]

Используем аналогичное неравенство для [math]\sum\limits_{k = 1}^n b_k(a_k + b_k)^{p - 1}[/math] :

[math] \sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p = \sum\limits_{k = 1}^n a_k(a_k + b_k)^{p - 1} + \sum\limits_{k = 1}^n b_k(a_k + b_k)^{p - 1} \leq [/math]

[math] \leq \left(\sum\limits_{k = 1}^n a_k^p\right)^{1/p} \cdot \left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p\right)^{1/q} + \left(\sum\limits_{k = 1}^n b_k^p\right)^{1/p} \cdot \left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p\right)^{1/q} [/math]

Сокращая обе части на [math]\left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p\right)^{1/q}[/math], окончательно получаем:

[math] \left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p\right)^{1 - \frac1q} = \left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p\right)^{1/p} \leq \left(\sum\limits_{k = 1}^n a_k^p\right)^{1/p} + \left(\sum\limits_{k = 1}^n b_k^p\right)^{1/p} [/math]
[math]\triangleleft[/math]

Следствие

Неравенство Коши для сумм:

[math] \sqrt{\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^2} \leq \sqrt{\sum\limits_{k = 1}^n a_k^2} + \sqrt{\sum\limits_{k = 1}^n b_k^2} [/math]