Неравенство Бернштейна — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
 
Строка 49: Строка 49:
 
<tex>\|f\|_\infty = \max\limits_{x\in\mathbb{R}} |f(x)|</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\|f(t + x)\|_\infty = \|f(t)\|_\infty</tex>, <tex>\|f\|_\infty</tex> не зависит от <tex> x </tex>.
 
<tex>\|f\|_\infty = \max\limits_{x\in\mathbb{R}} |f(x)|</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\|f(t + x)\|_\infty = \|f(t)\|_\infty</tex>, <tex>\|f\|_\infty</tex> не зависит от <tex> x </tex>.
  
<tex>|\sin nt| < 1</tex>, <tex>\|T'_n\| \le 2n \|T_n\| \cdot \int\limits_Q\Phi_n(t)t = 2n\|T_n\|</tex>
+
<tex>|\sin nt| < 1</tex>, <tex>\|T'_n\| \le 2n \|T_n\| \cdot \int\limits_Q\Phi_n(t)dt = 2n\|T_n\|</tex>
  
 
Ослабленное неравенство Бернштейна установлено.
 
Ослабленное неравенство Бернштейна установлено.

Текущая версия на 18:46, 26 июня 2012

<<>>

Эта статья находится в разработке!

[math]T_n(x) = \frac{a_0}2 + \sum\limits_{k=1}^n (a_k \cos kx + b_k \sin kx)[/math]

Теорема (Бернштейн):
[math]\max\limits_{x\in\mathbb{R}} |T'_n(x)| \le n\cdot\max\limits_{x\in\mathbb{R}} |T(x)|[/math]. Константу [math]n[/math] уменьшить нельзя
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]T_n = \sin nx \Rightarrow T'_n = n \cos nx[/math]. Здесь [math]n[/math] уменьшить нельзя.

Так как это неравенство понадобится для так называемых обратных задач теории приближений, то мы приведём доказательство более грубого неравенства, но порядок константы будет тот же самый: вместо [math]n[/math] будет [math]2n[/math]. Доказательство классического неравенства более трудное. Однако, наше можно доказать, используя [math]L_p[/math].

Основываемся на том, что тригонометрический полином — ряд Фурье самого себя. Запишем его через интеграл Дирихле.

[math]T_n(x) = \int\limits_Q T_n(t)D_n(x-t) dt = \int\limits_Q T_n(t)D_n(t-x)dt[/math]

Дифференцируем по [math]x[/math]. Интеграл дифференцировать можно, так как промежуточный интеграл конечен, а под интегралом — тригонометрический полином.

[math]T'_n(x) = -\int\limits_Q T_n(t)D'_n(t-x) dt = \int\limits_Q T_n(x+t)D'_n(t)dt[/math]

[math]T'_n(x) = \int\limits_Q T_n(x+t) D'_n(t) dt[/math]

[math]D_n(t) = \frac1\pi\left(\frac12 + \sum\limits_{k=1}^n \cos kt \right)[/math]

[math]D'_n(t) = -\frac1\pi \sum\limits_{k=1}^n k\sin kt[/math]

Воспользуемся ортогональностью тригонометрической системы. Принимая по внимание то, что под знаком интеграла полином степени не выше [math]n[/math]:

[math]G(t) = \sum\limits_{k=n+1}^pc_k\cos kt + d_k\sin kt[/math]

[math]\int\limits_Q T_n(x+t)D'_n(t) dt[/math] [в силу ортогональности] [math]=\int\limits_Q T_n(x+t)(D'_n(t)-G(t)) dt[/math]

Вспомним об ядре Фейера

[math]\Phi_n(t) = \frac1{n+1} \sum\limits_{k=0}^n D_k(t)[/math] [math]= \frac1{\pi(n+1)}\left(\frac12 + \sum\limits_{k=1}^n \left(\frac12 + \sum\limits_{j=1}^k \cos jt \right) \right)[/math] [math]= \frac1{\pi(n+1)} \left( \frac{n+1}2 + \sum\limits_{j=1}^n \cos jt \sum\limits_{k=j}^n 1 \right) [/math] [math]= \frac1{\pi(n+1)} \left(\frac{n+1}2 + \sum\limits_{j=1}^n (n-j+1)\cos jt\right)[/math] [math]= \frac1{2\pi} + \frac1\pi \sum\limits_{j=1}^n \left(1 - \frac{j}{n+1}\right) \cos jt[/math]

Итого: [math]\Phi_n(t) = \frac1{2\pi} + \frac1\pi \sum\limits_{j=1}^n\left(1-\frac{j}{n+1}\right)\cos jt[/math]

[math]G(t) = \frac{1}{\pi}\sum\limits_{k=1}^{n-1} k \sin (2n -k)t[/math] Это тот полином, который можно подставить в интеграл.

[math]T'_n(x) = \int\limits_Q T_n(x+t)(-\frac1\pi)\left( \sum\limits_{k=1}^n k\sin kt + \sum\limits_{k=1}^{n-1} k\sin(2n-k)t \right) dt[/math] [math]= -\int\limits_Q T_n(x+t)\frac1\pi(n\sin nt + \sum\limits_{k=1}^{n-1} k(\sin kt+\sin(2n-k)t)) dt[/math] [math]= -\int\limits_Q T_n(x+t)\frac1\pi \left(n\sin nt + 2\sum\limits_{k=1}^{n-1} k\sin nt \cdot \cos (n-k)t\right) dt[/math] [math]= -\int\limits_Q T_n(k+t)\frac{2n}\pi\sin nt \left(\frac12 + \frac1n\sum\limits_{k=1}^{n-1} k\cos(n-k)t\right) dt[/math] [math]=-\int\limits_Q T_n(x+t)\frac{2n}\pi \sin nt \left(\frac12 + \sum\limits_{j=1}^{n-1} \frac{n-j}n \cos jt\right) dt[/math]

Итого: [math]T'_n(x) = -2n\int\limits_QT_n(x+t)\sin nt \Phi_{n-1}(t)dt[/math]

[math]\Phi_n[/math] — неотрицательное и нормированное.

[math]\|f\|_\infty = \max\limits_{x\in\mathbb{R}} |f(x)|[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]\|f(t + x)\|_\infty = \|f(t)\|_\infty[/math], [math]\|f\|_\infty[/math] не зависит от [math] x [/math].

[math]|\sin nt| \lt 1[/math], [math]\|T'_n\| \le 2n \|T_n\| \cdot \int\limits_Q\Phi_n(t)dt = 2n\|T_n\|[/math]

Ослабленное неравенство Бернштейна установлено.
[math]\triangleleft[/math]

<<>>