Неравенство Маркова — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (Формулировка)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 16 промежуточных версий 4 участников)
Строка 3: Строка 3:
  
 
   {{Определение
 
   {{Определение
   |definition = Нера́венство Ма́ркова в теории вероятностей дает оценку вероятности, что случайная величина превзойдет по модулю фиксированную положительную константу, в терминах её математического ожидания. Получаемая оценка обычно груба, однако она позволяет получить определённое представление о распределении, когда последнее не известно
+
   |definition = '''Нера́венство Ма́ркова''' (англ. ''Markov's inequality'') в теории вероятностей дает оценку вероятности, что случайная величина превзойдет по модулю фиксированную положительную константу, в терминах её [[Математическое ожидание случайной величины| математического ожидания]]. Получаемая оценка обычно груба, однако она позволяет получить определённое представление о распределении, когда последнее не известно
 
  явным образом.
 
  явным образом.
 
}}
 
}}
== Формулировка ==
 
 
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|about = Неравенство Маркова
+
| id = thMark
| statement = Пусть случайная величина <tex>X: \Omega \rightarrow \mathbb R\mathrm+</tex> определена на вероятностном пространстве (<tex>\Omega</tex>, <tex>F</tex>, <tex>\mathbb R</tex>), и ее математическое ожидание <tex> \mathbb E\mathrm |\xi|<\mathcal {1}</tex>. Тогда  
+
| about = Неравенство Маркова
  <tex>\forall ~x > 0~~ \mathbb P\mathrm(|\xi| \geqslant x)\leqslant \frac {\mathbb E\mathrm |\xi|}{x} </tex>
+
| statement = Пусть случайная величина <tex>X: \Omega \rightarrow \mathbb R_\mathrm+</tex> определена на [[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие|вероятностном пространстве]] (<tex>\Omega</tex>, <tex>F</tex>, <tex>\mathbb R</tex>), и ее [[Математическое ожидание случайной величины| математическое ожидание]] <tex> \mathbb E\mathrm |\xi|</tex> конечно. Тогда:
 +
<tex>\forall ~x > 0~~ \mathbb P\mathrm(|\xi| \geqslant x)\leqslant \dfrac {\mathbb E\mathrm |\xi|}{x} </tex>
 +
где:
 +
: <tex> x </tex> {{---}} константа соответствующая некоторому событию в терминах [[Математическое ожидание случайной величины| математического ожидания]]
 +
: <tex> \xi </tex> {{---}} случайная величина
 +
: <tex> \mathbb P\mathrm(|\xi| \geqslant x)</tex> {{---}} вероятность отклонения модуля случайной величины от <tex> x </tex>
 +
: <tex>\mathbb E\mathrm |\xi|</tex> {{---}} [[Математическое ожидание случайной величины| математическое ожидание]] случайной величины
 
| proof = Возьмем для доказательства следующее понятие:
 
| proof = Возьмем для доказательства следующее понятие:
  
Пусть <tex> A</tex> - некоторое событие. Назовем индикатором события <tex>A</tex> случайную величину <tex>I</tex>, равную единице если событие <tex>A</tex> произошло, и нулю в противном случае. По определению величина <tex>I(A)</tex> имеет распределение Бернулли с параметром  
+
Пусть <tex> A</tex> {{---}} некоторое событие. Назовем индикатором события <tex>A</tex> случайную величину <tex>I</tex>, равную единице если событие <tex>A</tex> произошло, и нулю в противном случае. По определению величина <tex>I(A)</tex> имеет [[Схема Бернулли|распределение Бернулли]] с параметром:
:<tex> p = \mathbb P\mathrm (I(A) = 1) = \mathbb P\mathrm (A)</tex>,  
+
:<tex> p = \mathbb P\mathrm (I(A) = 1) = \mathbb P\mathrm (A)</tex>,
и ее математическое ожидание равно вероятности успеха  
+
и ее [[Математическое ожидание случайной величины| математическое ожидание]] равно вероятности успеха
<tex> p = \mathbb P\mathrm (A) </tex>.  
+
<tex> p = \mathbb P\mathrm (A) </tex>.
 
Индикаторы прямого и противоположного событий связаны равенством <tex>I(A) + I(\overline A) = 1</tex>. Поэтому
 
Индикаторы прямого и противоположного событий связаны равенством <tex>I(A) + I(\overline A) = 1</tex>. Поэтому
:<tex>|\xi|=|\xi|\times I(|\xi|<x)+|\xi|\times I(|\xi|\geqslant x)\geqslant |\xi|\times I(|\xi|\geqslant x)\geqslant x\times I(|\xi| \geqslant x)</tex>.
+
:<tex>|\xi|=|\xi|\cdot I(|\xi|<x)+|\xi|\cdot I(|\xi|\geqslant x)\geqslant |\xi|\cdot I(|\xi|\geqslant x)\geqslant x\cdot I(|\xi| \geqslant x)</tex>.
Тогда
+
Тогда:
:<tex> \mathbb E |\xi|\geqslant \mathbb E\mathrm(x\times I(|\xi|\geqslant x)) = x\times \mathbb P\mathrm (|\xi|\geqslant x) </tex>.
+
:<tex> \mathbb E |\xi|\geqslant \mathbb E\mathrm(x\cdot I(|\xi|\geqslant x)) = x\cdot \mathbb P\mathrm (|\xi|\geqslant x) </tex>.
 
Разделим обе части на <tex>x</tex>:
 
Разделим обе части на <tex>x</tex>:
 
:<tex> \mathbb P (|\xi| \geqslant x)\leqslant \dfrac {\mathbb E\mathrm |\xi|}{x} </tex>
 
:<tex> \mathbb P (|\xi| \geqslant x)\leqslant \dfrac {\mathbb E\mathrm |\xi|}{x} </tex>
 
}}
 
}}
  
== Доказательство ==
+
== Пример ==
  
Возьмем для доказательства следующее понятие:
+
Пусть студенты никогда не приходят вовремя, они всегда опаздывают. В среднем они опаздывают на <tex>3</tex> минуты. Какова вероятность того, что студент опоздает на <tex>15</tex> минут и более? Дать грубую оценку сверху.
 +
: <tex>\mathbb P\mathrm (|\xi|\geqslant 15)\leqslant \dfrac{3}{15} = 0.2</tex>
  
Пусть <tex> A</tex> - некоторое событие. Назовем индикатором события <tex>A</tex> случайную величину <tex>I</tex>, равную единице если событие <tex>A</tex> произошло, и нулю в противном случае. По определению величина <tex>I(A)</tex> имеет распределение Бернулли с параметром
+
== Неравенство Чебышева ==
  <tex> p = \mathbb P\mathrm (I(A) = 1) = \mathbb P\mathrm (A)</tex>,
 
и ее математическое ожидание равно вероятности успеха
 
<tex> p = \mathbb P\mathrm (A) </tex>.
 
Индикаторы прямого и противоположного событий связаны равенством <tex>I(A) + I(\overline A) = 1</tex>. Поэтому
 
  <tex>|\xi|=|\xi|\times I(|\xi|<x)+|\xi|\times I(|\xi|\geqslant x)\geqslant |\xi|\times I(|\xi|\geqslant x)\geqslant x\times I(|\xi| \geqslant x)</tex>.
 
Тогда
 
  <tex>\mathbb E\mathrm |\xi|\geqslant \mathbb E\mathrm(x\times I(|\xi|\geqslant x)) = x\times \mathbb P\mathrm (|\xi|\geqslant x)</tex>.
 
Разделим обе части на <tex>x</tex>:
 
  <tex> \mathbb P\mathrm(|\xi| \geqslant x)\leqslant \dfrac {\mathbb E\mathrm |\xi|}{x} </tex>
 
  
== Примеры ==
+
{{Определение
 +
|definition = '''Неравенство Чебышева''' (англ. Chebyshev's inequality) является следствием [[#thMark|неравенства Маркова]] и утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к значению [[Математическое ожидание случайной величины| математического ожидания]]. Говоря более точно, оно дает оценку вероятности, что случайная величина примет значение, далекое от своего среднего.
 +
}}
  
Ученики в среднем опаздывают на 3 минуты. Какова вероятность того, что ученик опоздает на 15 минут и более? Дать грубую оценку сверху.
+
{{Теорема
  <math>\mathbb P\mathrm (|\xi|\ge 15)\le 3/15 = 0.2</math>
+
|id = thCheb
 +
|about = Неравенство Чебышева
 +
|statement =
 +
Если <tex>\mathbb E\mathrm \xi^2<\mathcal 1</tex>, то <tex>\forall x > 0</tex> будет выполнено
  
== Неравенство Чебышева ==
+
:<tex>\mathbb P\mathrm (|\xi - \mathbb E\mathrm \xi| \geqslant x) \leqslant \dfrac {\mathbb D\mathrm \xi}{x^2}</tex>
 +
где:
 +
: <tex>\mathbb E\mathrm \xi^2</tex> {{---}} [[Математическое ожидание случайной величины| математическое ожидание]] квадрата случайного события.
 +
: <tex>E\mathrm \xi</tex> {{---}} [[Математическое ожидание случайной величины| математическое ожидание]] случайного события
 +
: <tex> P\mathrm (|\xi - \mathbb E\mathrm \xi| \geqslant x) </tex> {{---}} вероятность отклонения случайного события от его [[Математическое ожидание случайной величины| математического ожидания]] хотя бы на <tex> x</tex>
 +
: <tex> \mathbb D\mathrm \xi </tex> {{---}} [[Дисперсия случайной величины|дисперсия случайного события]]
 +
|proof =
 +
Для <tex>x>0</tex> неравенство  <tex>|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \geqslant x</tex> равносильно неравенству <tex>(\xi-\mathbb E\mathrm \xi)^2 \geqslant x^2</tex>, поэтому
 +
  <tex>\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \geqslant x) = \mathbb P\mathrm((\xi-\mathbb E\mathrm \xi)^2 \geqslant x^2 ) \leqslant \dfrac {\mathbb E\mathrm(\xi-\mathbb E\mathrm\xi)^2}{x^2} = \dfrac {\mathbb D\mathrm \xi}{x^2}</tex>
 +
}}
  
{{Определение
+
== Следствие ==
|definition = Неравенство Чебышева является следствием Неравенства Маркова и утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к значению математического
 
ожидания. Говоря более точно, оно дает оценку вероятности, что случайная величина примет значение, далекое от своего среднего.
 
}} 
 
== Формулировка ==
 
  
Если <math>\mathbb E\mathrm \xi^2<\mathcal 1</math>, то <math>\forall x > 0</math> будет выполнено
+
Как следствие получим так называемое "правило трех сигм", которое означает, что вероятность случайной величины отличаться от своего [[Математическое ожидание случайной величины| математического ожидания]] более чем на три корня из [[Дисперсия случайной величины|дисперсии]] мала.
 
 
<math>\mathbb P\mathrm (|\xi - \mathbb E\mathrm \xi| \ge x) \le \frac {\mathbb D\mathrm \xi}{x^2}</math>
 
  
== Доказательство ==
+
{{Утверждение
 +
| statement =
 +
  Если <tex>\mathbb E\mathrm \xi^2 < \mathcal {1}</tex>, то
 +
  <tex>\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \leqslant 3\sqrt{
 +
\mathbb D\mathrm \xi})\geqslant \dfrac {8}{9}</tex>.
  
Для <math>x>0</math> неравенство  <math>|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \ge x</math> равносильно неравенству <math>(\xi-\mathbb E\mathrm \xi)^2 \ge x^2</math>, поэтому  
+
| proof =
  <math>\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \ge x) = \mathbb P\mathrm((\xi-\mathbb E\mathrm \xi)^2 \ge x^2 ) \le \frac {\mathbb E\mathrm(\xi-\mathbb E\mathrm\xi)^2}{x^2} = \frac {\mathbb D\mathrm \xi}{x^2}</math>
+
Если в доказательстве [[#thCheb|неравенства Чебышева]] вместо <tex> \geqslant </tex> поставить <tex> > </tex> рассуждения не изменятся, так как
 +
для <tex>x>0</tex> неравенство  <tex>|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| > x</tex> равносильно неравенству <tex>(\xi-\mathbb E\mathrm \xi)^2 > x^2</tex>, поэтому:
 +
 +
: <tex>\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi|> 3\sqrt{\mathbb D\mathrm \xi})\leqslant \dfrac {\mathbb D\mathrm \xi}{(3\sqrt{\mathbb D\mathrm \xi})^2} = \dfrac {1} {9}</tex>
 +
Отсюда заметим, что вероятность отклониться значению случайной величины от значения [[Математическое ожидание случайной величины| математического ожидания]] меньше чем <tex>\dfrac {1}{9}</tex>
 +
}}
  
== Следствие ==
+
== См. также ==
 +
* [[Дискретная случайная величина]]
 +
* [[Дисперсия случайной величины]]
 +
* [[Математическое ожидание случайной величины]]
  
Как следствие получим так называемое "правило трех сигм",которое означает, что вероятность случайной величины отличаться от своего математического ожидания более чем на три корня из дисперсии мала.  
+
== Источники информации ==
 +
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D0%9C%D0%B0%D1%80%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0 Википедия {{---}} Неравенство Маркова]
 +
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D0%A7%D0%B5%D0%B1%D1%8B%D1%88%D1%91%D0%B2%D0%B0#.D0.9D.D0.B5.D1.80.D0.B0.D0.B2.D0.B5.D0.BD.D1.81.D1.82.D0.B2.D0.BE_.D0.A7.D0.B5.D0.B1.D1.8B.D1.88.D1.91.D0.B2.D0.B0_.D0.B2_.D1.82.D0.B5.D0.BE.D1.80.D0.B8.D0.B8_.D0.B2.D0.B5.D1.80.D0.BE.D1.8F.D1.82.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B5.D0.B9 Википедия{{---}} Неравенство Чебышева]
 +
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Markov%27s_inequality Wikipedia {{---}} Markov's inequality]
 +
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev%27s_inequality Wikipedia {{---}} Chebyshev's inequality]
 +
*[https://www.probabilitycourse.com/chapter6/6_2_2_markov_chebyshev_inequalities.php Markov and Chebyshev Inequalities]
  
Рассмотрим такое утверждение:
+
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
  Если <math>\mathbb E\mathrm \xi^2 < \mathcal {1}</math>, то
+
[[Категория: Теория вероятности]]
  <math>\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \le 3\sqrt{\mathbb D\mathrm \xi})\ge \frac {8}{9}</math>.
 
 
 
Доказательство:
 
Согласно неравенству Чебышева
 
<math>\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi|\ge 3\sqrt{\mathbb D\mathrm \xi})\le \frac {\mathbb D\mathrm \xi}{(3\sqrt{\mathbb D\mathrm \xi})^2} = \frac {1} {9}</math>
 
Отсюда заметим, что вероятность отклониться значению случайной величины от значения математического ожидания меньше чем <math>\frac {1}{9}</math>
 

Текущая версия на 19:19, 4 сентября 2022

Неравенство Маркова

Определение:
Нера́венство Ма́ркова (англ. Markov's inequality) в теории вероятностей дает оценку вероятности, что случайная величина превзойдет по модулю фиксированную положительную константу, в терминах её математического ожидания. Получаемая оценка обычно груба, однако она позволяет получить определённое представление о распределении, когда последнее не известно явным образом.
Теорема (Неравенство Маркова):
Пусть случайная величина [math]X: \Omega \rightarrow \mathbb R_\mathrm+[/math] определена на вероятностном пространстве ([math]\Omega[/math], [math]F[/math], [math]\mathbb R[/math]), и ее математическое ожидание [math] \mathbb E\mathrm |\xi|[/math] конечно. Тогда:
[math]\forall ~x \gt 0~~ \mathbb P\mathrm(|\xi| \geqslant x)\leqslant \dfrac {\mathbb E\mathrm |\xi|}{x} [/math]

где:

[math] x [/math] — константа соответствующая некоторому событию в терминах математического ожидания
[math] \xi [/math] — случайная величина
[math] \mathbb P\mathrm(|\xi| \geqslant x)[/math] — вероятность отклонения модуля случайной величины от [math] x [/math]
[math]\mathbb E\mathrm |\xi|[/math] математическое ожидание случайной величины
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Возьмем для доказательства следующее понятие:

Пусть [math] A[/math] — некоторое событие. Назовем индикатором события [math]A[/math] случайную величину [math]I[/math], равную единице если событие [math]A[/math] произошло, и нулю в противном случае. По определению величина [math]I(A)[/math] имеет распределение Бернулли с параметром:

[math] p = \mathbb P\mathrm (I(A) = 1) = \mathbb P\mathrm (A)[/math],

и ее математическое ожидание равно вероятности успеха [math] p = \mathbb P\mathrm (A) [/math]. Индикаторы прямого и противоположного событий связаны равенством [math]I(A) + I(\overline A) = 1[/math]. Поэтому

[math]|\xi|=|\xi|\cdot I(|\xi|\lt x)+|\xi|\cdot I(|\xi|\geqslant x)\geqslant |\xi|\cdot I(|\xi|\geqslant x)\geqslant x\cdot I(|\xi| \geqslant x)[/math].

Тогда:

[math] \mathbb E |\xi|\geqslant \mathbb E\mathrm(x\cdot I(|\xi|\geqslant x)) = x\cdot \mathbb P\mathrm (|\xi|\geqslant x) [/math].

Разделим обе части на [math]x[/math]:

[math] \mathbb P (|\xi| \geqslant x)\leqslant \dfrac {\mathbb E\mathrm |\xi|}{x} [/math]
[math]\triangleleft[/math]

Пример

Пусть студенты никогда не приходят вовремя, они всегда опаздывают. В среднем они опаздывают на [math]3[/math] минуты. Какова вероятность того, что студент опоздает на [math]15[/math] минут и более? Дать грубую оценку сверху.

[math]\mathbb P\mathrm (|\xi|\geqslant 15)\leqslant \dfrac{3}{15} = 0.2[/math]

Неравенство Чебышева

Определение:
Неравенство Чебышева (англ. Chebyshev's inequality) является следствием неравенства Маркова и утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к значению математического ожидания. Говоря более точно, оно дает оценку вероятности, что случайная величина примет значение, далекое от своего среднего.


Теорема (Неравенство Чебышева):
Если [math]\mathbb E\mathrm \xi^2\lt \mathcal 1[/math], то [math]\forall x \gt 0[/math] будет выполнено
[math]\mathbb P\mathrm (|\xi - \mathbb E\mathrm \xi| \geqslant x) \leqslant \dfrac {\mathbb D\mathrm \xi}{x^2}[/math]

где:

[math]\mathbb E\mathrm \xi^2[/math] математическое ожидание квадрата случайного события.
[math]E\mathrm \xi[/math] математическое ожидание случайного события
[math] P\mathrm (|\xi - \mathbb E\mathrm \xi| \geqslant x) [/math] — вероятность отклонения случайного события от его математического ожидания хотя бы на [math] x[/math]
[math] \mathbb D\mathrm \xi [/math]дисперсия случайного события
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Для [math]x\gt 0[/math] неравенство [math]|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \geqslant x[/math] равносильно неравенству [math](\xi-\mathbb E\mathrm \xi)^2 \geqslant x^2[/math], поэтому

[math]\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \geqslant x) = \mathbb P\mathrm((\xi-\mathbb E\mathrm \xi)^2 \geqslant x^2 ) \leqslant \dfrac {\mathbb E\mathrm(\xi-\mathbb E\mathrm\xi)^2}{x^2} = \dfrac {\mathbb D\mathrm \xi}{x^2}[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Следствие

Как следствие получим так называемое "правило трех сигм", которое означает, что вероятность случайной величины отличаться от своего математического ожидания более чем на три корня из дисперсии мала.

Утверждение:
Если [math]\mathbb E\mathrm \xi^2 \lt \mathcal {1}[/math], то [math]\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \leqslant 3\sqrt{ \mathbb D\mathrm \xi})\geqslant \dfrac {8}{9}[/math].
[math]\triangleright[/math]

Если в доказательстве неравенства Чебышева вместо [math] \geqslant [/math] поставить [math] \gt [/math] рассуждения не изменятся, так как для [math]x\gt 0[/math] неравенство [math]|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \gt x[/math] равносильно неравенству [math](\xi-\mathbb E\mathrm \xi)^2 \gt x^2[/math], поэтому:

[math]\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi|\gt 3\sqrt{\mathbb D\mathrm \xi})\leqslant \dfrac {\mathbb D\mathrm \xi}{(3\sqrt{\mathbb D\mathrm \xi})^2} = \dfrac {1} {9}[/math]
Отсюда заметим, что вероятность отклониться значению случайной величины от значения математического ожидания меньше чем [math]\dfrac {1}{9}[/math]
[math]\triangleleft[/math]

См. также

Источники информации