Редактирование: Несобственные интегралы

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
 
{{В разработке}}
 
{{В разработке}}
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
 
  
Несобственный интеграл {{---}} в некотором смысле обобщение интеграла <tex>\int\limits_a^b</tex> на случай <tex>b = +\infty</tex>.
+
 
 +
Несобственный интеграл {{---}} в некотором смысле обобщение интеграла <tex>\int\limits_a^b</tex> на случай <tex>a = +\infty</tex>.
  
 
== Некоторые определения ==
 
== Некоторые определения ==
Строка 112: Строка 112:
  
 
Применим формулу интегрирования по частям:
 
Применим формулу интегрирования по частям:
<tex>\int\limits_A^B f(x)dG(x) = f(B)G(B) - f(A)G(A) - \int\limits_A^B f'(x)G(x)dx</tex>
+
<tex>\int\limits_A^B f(x)dG(x) = f(B)G(B) - f(A)G(B) - \int\limits_A^B f'(x)G(x)dx</tex>
  
Пусть <tex>f</tex> убывает и стремится к нулю.
+
Пусть <tex>f' \leq 0 \Rightarrow f(x) \xrightarrow[x \to +\infty]{} 0</tex>
  
Пусть <tex>\forall A : \left|\int\limits_a^A g(x)dx \right| \leq M</tex>
+
Пусть <tex>\left|\int\limits_a^A G(x)dx \right| \leq M</tex>
  
Получаем <tex>\left|\int\limits_A^B fg\right|\leq</tex>  
+
Получаем <tex>\left|\int\limits_A^B\right| \leq</tex>  
 
<tex>|f(B)| \left|\int\limits_a^B g\right| + |f(A)| \left|\int\limits_a^A g\right| + M \int\limits_A^B f'(x) dx</tex>
 
<tex>|f(B)| \left|\int\limits_a^B g\right| + |f(A)| \left|\int\limits_a^A g\right| + M \int\limits_A^B f'(x) dx</tex>
  
Но при <tex> A, B \rightarrow \infty </tex> <tex>|f(B)|, |f(A)| \to 0</tex>, <tex>\left|\int\limits_a^Bg\right|, \left|\int\limits_a^Ag\right| \leq M</tex> и <tex>\int\limits_A^B f'(x) dx = f(B) - f(A)</tex>(по формуле Ньютона-Лейбница). Тогда получаем, что, так как правая часть стремится к нулю, <tex>\left|\int\limits_A^Bfg\right| \to 0</tex>, интеграл, по принципу Коши, сходится.
+
Но <tex>|f(B)|, |f(A)| \to 0</tex>, <tex>\left|\int\limits_a^Bg\right|, \left|\int\limits_a^Ag\right| \leq M</tex> и <tex>\int\limits_A^B f'(x) dx = f(B) - f(A)</tex>(по формуле Ньютона-Лейбница). Тогда получаем, что, так как правая часть стремится к нулю, <tex>\left|\int\limits_A^Bfg\right| \to 0</tex>, интеграл, по принципу Коши, сходится.
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
Строка 133: Строка 133:
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
|id=Dirichlet
 
 
|statement=
 
|statement=
 
Интеграл Дирихле сходится лишь условно.
 
Интеграл Дирихле сходится лишь условно.
 
|proof=
 
|proof=
Для доказательства утверждения нужно доказать, что <tex>\int\limits_a^{+\infty} \left|\frac{\sin x}{x}\right| dx</tex> {{---}} расходится.
+
Доказательства утверждения нужно доказать, что <tex>\int\limits_a^{+\infty} \left|\frac{\sin x}{x}\right| dx</tex> {{---}} расходится.
  
 
Очевидно, достаточно доказать это для <tex>a = 1</tex>.
 
Очевидно, достаточно доказать это для <tex>a = 1</tex>.

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)