Нормальная подгруппа — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «== Нормальные подгруппы == {{Определение |definition= Подгруппа <tex>H</tex> группы <tex>G</tex> …»)
 
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 5 промежуточных версий 5 участников)
Строка 2: Строка 2:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
[[Подгруппа|Подгруппа]] <tex>H</tex> группы <tex>G</tex> называется '''нормальной подгруппой''', если для любых <tex>x\in G</tex> выполнено <tex>xHx^{-1}=H</tex>. Т.е.:
+
[[Подгруппа|Подгруппа]] <tex>H</tex> группы <tex>G</tex> называется '''нормальной подгруппой''', если <tex>\forall x\in G,\,\forall h\in H : x\cdot h\cdot x^{-1}\in H</tex>.
<tex>\forall x\in G,\,\forall h\in H : x\cdot h\cdot x^{-1}\in H</tex>
 
 
}}
 
}}
  
 
=== Свойства ===
 
=== Свойства ===
* Любая подгруппа [[Абелева группа|абелевой группы]] {{---}} нормальна.
+
{{Утверждение
 +
|statement=Подгруппа <tex>H</tex> группы <tex>G</tex> нормальна тогда и только тогда, когда для любых <tex>x \in G</tex> выполнено <tex>xHx^{-1}=H</tex>.
 +
|proof=<tex>xHx^{-1} \subset H</tex> по определению <tex>H</tex>. Подставив в предыдущее выражение <tex>x^{-1}</tex> вместо <tex>x</tex>, видим, что <tex>x^{-1}Hx \subset H</tex>. Следовательно, <tex>H = x(x^{-1}Hx)x^{-1} \subset xHx^{-1}</tex>.
 +
 
 +
Итого, <tex>xHx^{-1}=H</tex>. В другую сторону — прямо из определения.
 +
}}
 +
{{Утверждение
 +
|statement=Любая подгруппа [[Абелева группа|абелевой группы]] {{---}} нормальна.
 +
|proof=<tex>x n x^{-1} = x x^{-1} n = en = n</tex>.
 +
}}
  
 
=== Примеры ===
 
=== Примеры ===
* Подгруппа <tex>H =\{(1)</tex>, <tex>(2</tex> <tex>3)\}</tex> группы <tex>S_3</tex> [[Симметрическая группа|группы перестановок]] множества из трех элементов не является абелевой.
+
* Подгруппа <tex>H =\{(1)</tex>, <tex>(2</tex> <tex>3)\}</tex> группы <tex>S_3</tex> [[Симметрическая группа|группы перестановок]] множества из трех элементов не является нормальной.
  
 
[[Категория: Теория групп]]
 
[[Категория: Теория групп]]

Текущая версия на 19:26, 4 сентября 2022

Нормальные подгруппы

Определение:
Подгруппа [math]H[/math] группы [math]G[/math] называется нормальной подгруппой, если [math]\forall x\in G,\,\forall h\in H : x\cdot h\cdot x^{-1}\in H[/math].


Свойства

Утверждение:
Подгруппа [math]H[/math] группы [math]G[/math] нормальна тогда и только тогда, когда для любых [math]x \in G[/math] выполнено [math]xHx^{-1}=H[/math].
[math]\triangleright[/math]

[math]xHx^{-1} \subset H[/math] по определению [math]H[/math]. Подставив в предыдущее выражение [math]x^{-1}[/math] вместо [math]x[/math], видим, что [math]x^{-1}Hx \subset H[/math]. Следовательно, [math]H = x(x^{-1}Hx)x^{-1} \subset xHx^{-1}[/math].

Итого, [math]xHx^{-1}=H[/math]. В другую сторону — прямо из определения.
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
Любая подгруппа абелевой группы — нормальна.
[math]\triangleright[/math]
[math]x n x^{-1} = x x^{-1} n = en = n[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Примеры

  • Подгруппа [math]H =\{(1)[/math], [math](2[/math] [math]3)\}[/math] группы [math]S_3[/math] группы перестановок множества из трех элементов не является нормальной.