Нормальная форма Хомского

Материал из Викиконспекты
Версия от 07:32, 26 октября 2011; Vincent (обсуждение | вклад) (Преобразование грамматики в нормальную форму Хомского)
Перейти к: навигация, поиск

Несколько определений

Определение:
Грамматикой в нормальной форме Хомского (Chomsky normal form) называется грамматика, в которой могут содержатся правила только следующего вида

[math]A \rightarrow B C [/math].

[math]A \rightarrow a [/math].

[math]S \rightarrow \varepsilon [/math].

(где [math] a [/math] — терминал, [math] A, B, C [/math] — нетерминалы, [math] S [/math] — стартовая вершина, [math] \varepsilon [/math] — пустая строка, стартовая вершина не содержится в правых частях правил).


Определение:
Нетерминал называется обнуляемым, если из него можно прямо или косвенно получить пустую строку.

Если [math] A \rightarrow \varepsilon [/math], то [math] A [/math] — обнуляемый.

Если [math] A \rightarrow B_1....B_n [/math], где все [math] B_i [/math] обнуляемые, то [math] A [/math] тоже обнуляемый.


Определение:
Пара нетерминалов [math] A [/math] и [math] B [/math] называется узловой, если [math] A \Rightarrow^* B [/math].

[math] \forall A [/math] выполняется [math] (A, A) [/math] — узловая пара.

Если [math] (A, B) [/math] — узловая пара, а [math] B \rightarrow C [/math], то [math] (A, C) [/math] тоже узловая пара.


Определение:
Правило [math] A \rightarrow w [/math] называется смешанным, если [math] w [/math] содержит хотя бы один терминал и хотя бы один нетерминал.


Преобразование грамматики в нормальную форму Хомского

Рассмотрим контекстно-свободную грамматику [math] \Gamma [/math]. Для преобразования ее в нормальную форму Хомского необходимо выполнить 5 шагов. Каждый шаг работает c преобразованной грамматикой.

  1. Создание новой стартовой вершины.
    Создадим новую стартовую вершину [math] S_0 [/math] с новым правилом [math] S_0 \rightarrow S [/math], где [math] S [/math] — старая стартовая вершина. Получим [math] \Gamma_1 [/math].
  2. Удаление [math] \varepsilon [/math]-правил.
    1. Если [math] A \rightarrow \varepsilon [/math], то выкинем такое правило.
    2. Если [math] A \rightarrow w [/math], где [math] w [/math] не содержит [math] \varepsilon [/math] и обнуляемых нетерминалов, то добавим такое правило в [math] \Gamma_2 [/math].
    3. Если [math] A \rightarrow w [/math], причем [math] w [/math] содержит обнуляемые нетерминалы, то представим [math] w [/math] в следующем виде [math] w=w_0 N_0 w_1 N_1 ... w_{n-1} N_{n-1} w_n N_n [/math], где [math] N_i [/math] — вхождение обнуляемого нетерминала, [math] w_i [/math] не содержит обнуляемых нетерминалов. Добавим в [math] \Gamma_2 [/math] все правила, которые можно получить удалением всевозможных комбинаций [math] N_i [/math] из [math] w [/math]. Таких вариантов будет [math] 2^n [/math].
    Если стартовая вершина [math] \Gamma_1 [/math] является обнуляемой, то добавим в [math] \Gamma_2 [/math] правило [math] S_0 \rightarrow \varepsilon [/math].
  3. Преобразование узловых пар.
    Для каждой узловой пары [math] (A, B) [/math], найдем все правила [math] B \rightarrow w [/math], где [math] w [/math] — произвольная строка терминалов и нетерминалов, и добавим [math] A \rightarrow w [/math] в [math] \Gamma_3 [/math].
  4. Преобразование смешанных правил.
    Если [math] A \rightarrow w [/math] — смешанное правило, то можно представить [math] w [/math] в виде [math] w=v_0 c_1 v_1 c_2 ... v_{n-1} c_n v_n [/math], где [math] v_i [/math] — строка нетерминалов, а [math] c_i [/math] является терминалом. Тогда для каждого [math] c_i [/math] добавим нетерминал [math] C_i [/math] и правило [math] C_i \rightarrow c_i [/math] в [math] \Gamma_4 [/math]. Получим [math] w'=v_0 C_1 v_1 C_2 ... v{n-1} C_n v_n [/math]. Добавим правило [math] A \rightarrow w' [/math] в [math] \Gamma_4 [/math].


Рассмотрим контекстно-свободную грамматику [math]\Gamma[/math], из которой удалены бесполезные символы, [math]\varepsilon[/math]-правила, длинные правила и цепные правила. Такая грамматика содержит только правила следующего вида:

  • [math]A \rightarrow BC[/math]
  • [math]A \rightarrow Bc[/math]
  • [math]A \rightarrow bC[/math]
  • [math]A \rightarrow bc[/math]
  • [math]A \rightarrow a[/math]
  • возможно, [math]S \rightarrow \varepsilon[/math] (при условии, что [math]S[/math] не содержится в правых частях правил)

Избавимся от правил, в правых частях которых записаны два символа, один из которых является терминалом, то есть правил вида [math]A \rightarrow Bc[/math], [math]A \rightarrow bC[/math] и [math]A \rightarrow bc[/math]. Введем для каждого терминала [math]a[/math] "персональный" нетерминал [math]N_a[/math]. Затем правила вида [math]A \rightarrow Bc[/math] заменим парой правил [math]A \rightarrow BN_c[/math] и [math]N_c \rightarrow c[/math], правила вида [math]A \rightarrow bC[/math] заменим парой правил [math]A \rightarrow N_bC[/math] и [math]N_b \rightarrow b[/math], а правила вида [math]A \rightarrow bc[/math] — тройкой правил [math]A \rightarrow N_bN_c[/math], [math]N_b \rightarrow b[/math] и [math]N_c \rightarrow c[/math].

Теперь у нас остались только правила вида [math]A \rightarrow BC[/math], [math]A \rightarrow a[/math] и, возможно, [math]S \rightarrow \varepsilon[/math] (при условии, что [math]S[/math] не содержится в правых частях правил). Грамматика, содержащая правила только такого вида, называется грамматикой в нормальной форме Хомского.

Заметим, что любую контекстно-свободную грамматику можно привести к нормальной форме Хомского. Такая форма грамматики очень удобна для работы многих алгоритмов над грамматиками, например, алгоритм Кока-Янгера-Касами