Нормированные пространства (3 курс)

Эта статья находится в разработке!

<wikitex>

Определение:

Линейное (векторное) пространство над полем $K$ — это множество $L$ с заданными на нем операциями сложениями и умножения на скаляр такими, что: По операции сложения $L$ является абелевой группой — выполняются: ассоциативность — $\forall x, y, z \in L: (x + y) + z = x + (y + z)$ существование нейтрального элемента — $\exists \mathrm{0} \in L \forall x \in L: x + \mathrm{0} = \mathrm{0} + x = x$, причем можно показать, что он единственный существование обратного элемента — $\forall x \in L \exists y: x + y = \mathrm{0}$, такой $y$ называют обратным к $x$, причем можно показать, что он единственный коммутативность — $\forall x, y \in L: x + y = y + x$ Для операции умножения на скаляр: ассоциативность умножения на скаляр — $\forall \alpha, \beta \in K \forall x \in L: (\alpha \beta) x = \alpha (\beta x)$ унитарность: $\forall x \in L: 1 \cdot x = x$, где $1$ — единица по умножению в поле $K$ дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов — $\forall \alpha \in K \forall x, y \in L: \alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y$ дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров — $\forall \alpha, \beta \in K \forall x \in L: (\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta x$

Определение:

Функция $\

Заметим, что любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, задав метрику как $\rho(x, y) = \| x - y \|$. Заметим, что обратное неверно: например, хоть и $\mathbb{R}^{\infty}$ c $\rho(x, y) = \sum 2^{-k} \frac{|x_k - y_k|}{1 + |x_k - y_k|}$ можно наделить линейной сткуртурой, не существует нормы, аналогичной по сходимости с этой метрикой.

Смысл нормы в ЛП состоит в том, чтобы линейные операции относительно нормы стали непрерывными: TODO что-то не особенно понял, к чему тут это

Примеры НП:

• $X = \mathbb{R}^n, \| \overline x \| = \sqrt {\sum_{k = 1}^{n} x_k^2}$
• $X = C[a; b]$ — пространство непрерывных на $[a; b]$ функций, $\| f \| = \max\limits_{x \in [a; b]} |f(x)|$
• $X = L_p$ — пространство TODO пшшш,$\| f \| = \left( \int\limits_E |f(x)|^p d \mu \right)^{1 \over p}$, заметим, что здесь надо отождествить почти везде совпадающие функции, иначе, например, интеграл функции, почти везде равной нулю, будет нулевым, хотя сама функция ненулевая, что нарушит первую аксиому нормы.

Определение:

Нормированное пространство $(X, \

Определение:

Нормы $\

Это определение равносильно тому, что сходимость последовательностей в них равносильна: $x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \Leftrightarrow x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x$. TODO: в одну сторону равносильность определений вроде очевидна, а в другую не очень.

Теорема (Рисс):

В конечномерных пространствах любые две нормы эквивалентны.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Докажем, что произвольная норма $\

[math]\triangleleft[/math]

\| = Шаблон:\ \ge m$, то есть $m \| x \|_2 \le \|x\|$.

Таким образом, получили обе части тройного неравенства. }}

Следствие: Пусть $X$ — НП и $Y$ — линейное конечномерное подпространство в $X$, тогда $Y$ — замкнуто в $X$, т.е. $Y$ — TODO: пшшш

Пример: $ X = C[0; 1]$, $Y$ — пространство всех полиномов TODO: полиновов какой степени?

Теорема (Вейерштрасс, аппроксимационная теорема Вейерштрасса (Стоуна-Вейерштрасса)):

TODO: в конспекте мутно, но, видимо, для любой функции $f$ в $C[0; 1]$ можно подобрать последовательность полиномов, равномерно сходящуюся к $f$ на $[0; 1]$

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

TODO: какая-то хурма в конспекте(((

[math]\triangleleft[/math]

Ссылочки:

• Vector space
• Norm

</wikitex>