Нормированные пространства (3 курс) — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
(еще не все)
Строка 1: Строка 1:
 
{{В разработке}}
 
{{В разработке}}
 
<wikitex>
 
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|id=defvs
 
|id=defvs
 
|definition=
 
|definition=
'''Линейное (векторное) пространство над полем $K$''' — это множество $L$ с заданными на нем операциями сложениями и умножения на скаляр такими, что:
+
'''Линейное (векторное) пространство над полем <tex>K</tex>''' — это множество <tex>L</tex> с заданными на нем операциями сложениями и умножения на скаляр такими, что:
* По операции сложения $L$ является абелевой группой — выполняются:
+
* По операции сложения <tex>L</tex> является абелевой группой — выполняются:
** ассоциативность — $\forall x, y, z \in L: (x + y) + z = x + (y + z)$
+
** ассоциативность — <tex>\forall x, y, z \in L: (x + y) + z = x + (y + z)</tex>;
** существование нейтрального элемента — $\exists \mathrm{0} \in L \forall x \in L: x + \mathrm{0} = \mathrm{0} + x = x$, причем можно показать, что он единственный
+
** существование нейтрального элемента — <tex>\exists \mathrm{0} \in L\ \forall x \in L: x + \mathrm{0} = \mathrm{0} + x = x</tex>, причем можно показать, что он единственный;
** существование обратного элемента — $\forall x \in L \exists y: x + y = \mathrm{0}$, такой $y$ называют обратным к $x$, причем можно показать, что он единственный
+
** существование обратного элемента — <tex>\forall x \in L\ \exists y: x + y = \mathrm{0}</tex>, такой <tex>y</tex> называют обратным к <tex>x</tex>, причем можно показать, что он единственный;
** коммутативность — $\forall x, y \in L: x + y = y + x$
+
** коммутативность — <tex>\forall x, y \in L: x + y = y + x</tex>;
 
* Для операции умножения на скаляр:
 
* Для операции умножения на скаляр:
** ассоциативность умножения на скаляр — $\forall \alpha, \beta \in K \forall x \in L: (\alpha \beta) x = \alpha (\beta x)$
+
** ассоциативность умножения на скаляр — <tex>\forall \alpha, \beta \in K\ \forall x \in L: (\alpha \beta) x = \alpha (\beta x)</tex>;
** унитарность: $\forall x \in L: 1 \cdot x = x$, где $1$ — единица по умножению в поле $K$
+
** унитарность: <tex>\forall x \in L: 1 \cdot x = x</tex>, где <tex>1</tex> — единица по умножению в поле <tex>K</tex>;
** дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов — $\forall \alpha \in K \forall x, y \in L: \alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y$
+
** дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов — <tex>\forall \alpha \in K\ \forall x, y \in L: \alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y</tex>;
** дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров — $\forall \alpha, \beta \in K \forall x \in L: (\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta x$
+
** дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров — <tex>\forall \alpha, \beta \in K\ \forall x \in L: (\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta x</tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 22: Строка 20:
 
|id=defnorm
 
|id=defnorm
 
|definition=
 
|definition=
Функция $\| \cdot \|: L \to \mathbb{R}$ называется нормой в пространстве $L$, если для нее выполняется:
+
Функция <tex>\| \cdot \|: L \to \mathbb{R}</tex> называется нормой в пространстве <tex>L</tex>, если для нее выполняется:
# $\forall x \in L: \| x \| \ge 0$, $\| x \| = 0 \Leftrightarrow x = \mathrm{0}$
+
# <tex>\forall x \in L: \| x \| \ge 0</tex>, <tex>\| x \| = 0 \Leftrightarrow x = \mathrm{0}</tex>
# $\forall \alpha \in \mathbb{R} \forall x \in L: \| \alpha x \| = |\alpha |\| x \|$
+
# <tex>\forall \alpha \in \mathbb{R}\ \forall x \in L: \| \alpha x \| = |\alpha |\| x \|</tex>
# $\forall x, y \in L: \| x + y \| \le \| x \| + \| y \|$
+
# <tex>\forall x, y \in L: \| x + y \| \le \| x \| + \| y \|</tex>
 
Пространство с введенной на нем нормой называют '''нормированным пространством'''.
 
Пространство с введенной на нем нормой называют '''нормированным пространством'''.
 
}}
 
}}
  
Заметим, что любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, задав метрику как $\rho(x, y) = \| x - y \|$. Заметим, что обратное неверно: например, хоть и $\mathbb{R}^{\infty}$ c $\rho(x, y) = \sum 2^{-k} \frac{|x_k - y_k|}{1 + |x_k - y_k|}$ можно наделить линейной структурой, не существует нормы, аналогичной по сходимости с этой метрикой.
+
Заметим, что любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, задав метрику как <tex>\rho(x, y) = \| x - y \|</tex>. Заметим, что обратное неверно: например, хоть <tex>\mathbb{R}^{\infty}</tex> c <tex>\rho(x, y) = \sum 2^{-k} \frac{|x_k - y_k|}{1 + |x_k - y_k|}</tex> и можно наделить линейной структурой, не существует нормы, аналогичной по сходимости с этой метрикой.
  
Смысл нормы в ЛП состоит в том, чтобы линейные операции относительно нормы стали непрерывными: TODO что-то не особенно понял, к чему тут это
+
{{Утверждение
 +
|statement=
 +
В нормированных пространствах линейные операции непрерывны.
 +
|proof=
 +
Пусть <tex> x_n \to x , y_n \to y, \alpha_n \to \alpha</tex>.
 +
 
 +
Тогда <tex> x_n + y_n \to x + y </tex>, так как <tex> \|(x_n + y_n) - (x + y)\| \le \|x_n + x\| + \|y_n + y\| \to 0</tex>.
 +
 
 +
<tex> \alpha_n x_n \to \alpha x </tex>, так как <tex> \|\alpha_n x_n - \alpha x\| = \|\alpha(x_n - x) + (\alpha_n - \alpha) x_n\| \le |\alpha| \|x_n - x\| + |\alpha_n - \alpha| \|x_n\| \to 0</tex>.
 +
}}
  
 
Примеры НП:
 
Примеры НП:
* $X = \mathbb{R}^n, \| \overline x  \| = \sqrt {\sum_{k = 1}^{n} x_k^2}$
+
* <tex>X = \mathbb{R}^n, \| \overline x  \| = \sqrt {\sum_{k = 1}^{n} x_k^2}</tex>
* $X = C[a; b]$ — пространство непрерывных на $[a; b]$ функций, $\| f \| = \max\limits_{x \in [a; b]} |f(x)|$
+
* <tex>X = C[a; b]</tex> — пространство непрерывных на <tex>[a; b]</tex> функций, <tex>\| f \| = \max\limits_{x \in [a; b]} |f(x)|</tex>
* $X = L_p$ — пространство функций, интегрируемых на множестве <tex> E </tex> с <tex> p </tex> степенью ,$\| f \| = \left( \int\limits_E |f(x)|^p d \mu \right)^{1 \over p}$. В таком пространстве отождествленны функции, различающиеся на множестве меры ноль, иначе, например, интеграл функции, почти везде равной нулю, будет нулевым, хотя сама функция ненулевая, что нарушит первую аксиому нормы.
+
* <tex>X = L_p</tex> — пространство функций, интегрируемых на множестве <tex> E </tex> с <tex> p </tex> степенью ,<tex>\| f \| = \left( \int\limits_E |f(x)|^p d \mu \right)^{1 \over p}</tex>. В таком пространстве отождествленны функции, различающиеся на множестве меры ноль, иначе, например, интеграл функции, почти везде равной нулю, будет нулевым, хотя сама функция ненулевая, что нарушит первую аксиому нормы.
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Нормированное пространство $(X, \|\cdot\|)$ называется '''B-пространством (Банаховым)''', если для любой последовательности элементов $X$, для которых из $\|x_n - x_m\| \to 0$ при $n, m \to \infty$ вытекает существование предела последовательности.
+
Нормированное пространство <tex>(X, \|\cdot\|)</tex> называется '''B-пространством (Банаховым)''', если для любой последовательности элементов <tex>X</tex>, для которых из <tex>\|x_n - x_m\| \to 0</tex> при <tex>n, m \to \infty</tex> вытекает существование предела последовательности.
 
}}
 
}}
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Нормы $\| \|_1$, $\| \|_2$ '''эквивалентны''', если существуют константы $m, M > 0$ такие, что $\forall x: m\|x\|_2 \le \|x\|_1 \le M \|x\|_2$. Очевидно, что отношение эквивалентности норм является отношением эквивалентности (то есть выполняется рефлексивность, симметриченость и транзитивность).
+
Нормы <tex>\| \|_1</tex>, <tex>\| \|_2</tex> '''эквивалентны''', если существуют константы <tex>m, M > 0</tex> такие, что <tex>\forall x: m\|x\|_2 \le \|x\|_1 \le M \|x\|_2</tex>. Очевидно, что отношение эквивалентности норм является отношением эквивалентности (то есть выполняется рефлексивность, симметриченость и транзитивность).
 
}}
 
}}
  
Это определение равносильно тому, что сходимость последовательностей в них равносильна: $x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \Leftrightarrow x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x$. Несложно показать, что из взаимной ограниченности норм следует равносходимость. В обратную сторону: ???.
+
Это определение равносильно тому, что сходимость последовательностей в них равносильна: <tex>x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \Leftrightarrow x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x</tex>. Несложно показать, что из взаимной ограниченности норм следует равносходимость. В обратную сторону: ???.
 +
 
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Пространство <tex> X </tex> '''конечномерно''', если <tex> \exists n = dim X < \infty: \exists e_1, e_2, \ldots, e_n: X = \mathcal L(e_1, \ldots, e_n)</tex>.
 +
}}
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
Строка 55: Строка 67:
 
В конечномерных пространствах любые две нормы эквивалентны.
 
В конечномерных пространствах любые две нормы эквивалентны.
 
|proof=
 
|proof=
Докажем, что произвольная норма $\| \|$ в конечномерном пространстве $X$ эквивалентна $\| \|_2$, то есть выберем $m, M >0: \forall x \in X: m \|x\|_2 \le \|x\| \le M \|x\|_2$, далее по отношению эквивалентности получим эквивалентность произвольной норме.
+
Докажем, что произвольная норма <tex>\| \|</tex> в конечномерном пространстве <tex>X</tex> эквивалентна <tex>\| \|_2</tex>, то есть выберем <tex>m, M >0: \forall x \in X: m \|x\|_2 \le \|x\| \le M \|x\|_2</tex>, далее по отношению эквивалентности получим эквивалентность произвольной норме.
  
TODO: сначала надо что-то сказать про изоморфность конечномерных пространств, чтоли? Выберем и зафиксируем в пространстве $X$ произвольный базис $(e_1 \dots e_n)$.
+
Выберем и зафиксируем в пространстве <tex>X</tex> произвольный базис <tex>(e_1 \dots e_n)</tex>.
  
1. $x = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k$, $\| x \| = \sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k| \| e_k \| \le $ (по [[неравенству Коши для сумм]]) $ \le \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k|^2} \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \| e_k \|^2}$. Заметим, что $\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k|^2}$ является нормой $\| \|_2$ в координатной записи, а $\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \| e_k \|^2}$ является константным значением для фиксированного базиса.
+
1. <tex>x = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k</tex>, <tex>\| x \| = \sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k| \| e_k \| \le </tex> (по [[неравенству Коши для сумм]]) <tex> \le \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k|^2} \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \| e_k \|^2}</tex>. Заметим, что <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k|^2}</tex> является нормой <tex>\| \|_2</tex> в координатной записи, а <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \| e_k \|^2}</tex> является константным значением для фиксированного базиса.
  
Таким образом, получили $\forall x \in X: \|x\| \le M \|x\|_2$.
+
Таким образом, получили <tex>\forall x \in X: \|x\| \le M \|x\|_2</tex>.
  
2. Теперь надо доказать, что $\exists m \forall x: m \|x\|_2 \le \|x\|$
+
2. Теперь надо доказать, что <tex>\exists m \forall x: m \|x\|_2 \le \|x\|</tex>
  
Рассмотрим единичный шар по норме $\| \|_2$: $S_2 = \{ \overline \alpha \mid \| \overline \alpha \|_2 = 1 \}$, $S_2$ является компактом в $\mathbb{R}^n$ (TODO: почему? может, [http://calvino.polito.it/~terzafac/Corsi/functional_analysis/pdf/chap3.pdf тут] есть подсказка).  
+
Рассмотрим единичный шар по норме <tex>\| \|_2</tex>: <tex>S_2 = \{ \overline \alpha \mid \| \overline \alpha \|_2 = 1 \}</tex>, <tex>S_2</tex> является компактом в <tex>\mathbb{R}^n</tex> (TODO: почему? может, [http://calvino.polito.it/~terzafac/Corsi/functional_analysis/pdf/chap3.pdf тут] есть подсказка).  
Рассмотрим на нем функцию $f : S_2 \to \mathbb{R}$, $f(x) = \|x\| = \| \sum \alpha_i e_i \|$. Покажем, что она непрерывна: $|f(\alpha_1 + \Delta \alpha_1 \dots \alpha_n + \Delta \alpha_n) - f(\alpha_1 \dots \alpha_n)| \le \sum |\Delta \alpha_k | \| e_k \| \le M  \sqrt{\sum (\Delta \alpha_k )^2}$, то есть при стремлении $\Delta \alpha_k $ к $0$, расстояние между $f(\overline \alpha)$ и $f(\overline \alpha + \Delta \overline \alpha)$ также стремится к нулю, что означает непрерывность.
+
Рассмотрим на нем функцию <tex>f : S_2 \to \mathbb{R}</tex>, <tex>f(x) = \|x\| = \| \sum \alpha_i e_i \|</tex>. Покажем, что она непрерывна: <tex>|f(\alpha_1 + \Delta \alpha_1 \dots \alpha_n + \Delta \alpha_n) - f(\alpha_1 \dots \alpha_n)| \le \sum |\Delta \alpha_k | \| e_k \| \le M  \sqrt{\sum (\Delta \alpha_k )^2}</tex>, то есть при стремлении <tex>\Delta \alpha_k </tex> к <tex>0</tex>, расстояние между <tex>f(\overline \alpha)</tex> и <tex>f(\overline \alpha + \Delta \overline \alpha)</tex> также стремится к нулю, что означает непрерывность.
  
Так как $f$ непрерывна на $S_2$, то по [[Предел_отображения_в_метрическом_пространстве#Равномерно непрерывные отображения|теореме Вейерштрасса]] она принимает минимум на этом компакте, равный $m$ (пусть он достигается в точке $\overline \alpha^*$). Также $f$ не может быть нулем на $S_2$: пусть для какого-то $x \in S_2$ это так, тогда тогда $\|x\| = 0 \Rightarrow \| \sum \alpha_k e_k \| = 0 \Rightarrow \alpha_k e_k = 0 \Rightarrow \forall k: \alpha_k = 0 \Rightarrow \|x\|_2 = 0$, что означает, что $x \notin S_2$, то есть $m > 0$.
+
Так как <tex>f</tex> непрерывна на <tex>S_2</tex>, то по [[Предел_отображения_в_метрическом_пространстве#Равномерно непрерывные отображения|теореме Вейерштрасса]] она принимает минимум на этом компакте, равный <tex>m</tex> (пусть он достигается в точке <tex>\overline \alpha^*</tex>). Также <tex>f</tex> не может быть нулем на <tex>S_2</tex>: пусть для какого-то <tex>x \in S_2</tex> это так, тогда тогда <tex>\|x\| = 0 \Rightarrow \| \sum \alpha_k e_k \| = 0 \Rightarrow \alpha_k e_k = 0 \Rightarrow \forall k: \alpha_k = 0 \Rightarrow \|x\|_2 = 0</tex>, что означает, что <tex>x \notin S_2</tex>, то есть <tex>m > 0</tex>.
  
Теперь рассмотрим произвольный ненулевой $x \in \mathbb{R}^n$, тогда точка $x' = {x \over \|x\|_2}$ также принадлежит $\mathbb{R}^n$ по линейности пространства, и в частности, принадлежит $S_2$. Рассмотрим $x'$: $ f(x') = \|x'\| = \| {x \over {\| x \|_2}} \| = {{\| x \|} \over {\| x \|_2}} \ge m$, то есть $m \| x \|_2 \le \|x\|$.
+
Теперь рассмотрим произвольный ненулевой <tex>x \in \mathbb{R}^n</tex>, тогда точка <tex>x' = {x \over \|x\|_2}</tex> также принадлежит <tex>\mathbb{R}^n</tex> по линейности пространства, и в частности, принадлежит <tex>S_2</tex>. Рассмотрим <tex>x'</tex>: <tex> f(x') = \|x'\| = \| {x \over {\| x \|_2}} \| = {{\| x \|} \over {\| x \|_2}} \ge m</tex>, то есть <tex>m \| x \|_2 \le \|x\|</tex>.
  
Таким образом, получили обе части тройного неравенства.
+
Таким образом, получили обе части двойного неравенства.
 
}}
 
}}
  
Следствие: Пусть $X$ — НП и $Y$ — линейное конечномерное подпространство в $X$, тогда $Y$ — замкнуто в $X$, т.е. $Y$ — TODO: пшшш
+
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Пусть <tex>X</tex> — НП и <tex>Y</tex> — линейное конечномерное подпространство в <tex>X</tex>, тогда <tex>Y</tex> — замкнуто в <tex>X</tex>, т.е.
 +
<tex>\mathrm{Cl} Y = Y</tex>.
 +
|proof=
 +
}}
  
Пример: $ X = C[0; 1]$, $Y$ — пространство всех полиномов TODO: полиновов какой степени?
+
Пример: <tex> X = C[0; 1]</tex>, <tex>Y</tex> — пространство всех полиномов {{TODO|t=дописать утверждение}}
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|author=Вейерштрасс
 
|author=Вейерштрасс
 
|about=аппроксимационная теорема Вейерштрасса (Стоуна-Вейерштрасса)
 
|about=аппроксимационная теорема Вейерштрасса (Стоуна-Вейерштрасса)
|statement=
 
TODO: в конспекте мутно, но, видимо, для любой функции $f$ в $C[0; 1]$ можно подобрать последовательность полиномов, равномерно сходящуюся к $f$ на $[0; 1]$
 
 
|proof=
 
|proof=
[[Приближение_непрерывной_функции_полиномами_на_отрезке]]
+
{{TODO|t=Непонятно, что она тут делает. Может быть, можно как-то воспользоваться следствием и очень просто доказать ее, но в моем конспекте она вообще не упомянута.}}
 
}}
 
}}
Ссылочки:
+
 
 +
== Ссылки ==
 
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space Vector space]
 
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space Vector space]
 
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Norm_(mathematics) Norm]
 
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Norm_(mathematics) Norm]
 
</wikitex>
 
  
 
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]
 
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Версия 00:07, 5 января 2013

Эта статья находится в разработке!


Определение:
Линейное (векторное) пространство над полем [math]K[/math] — это множество [math]L[/math] с заданными на нем операциями сложениями и умножения на скаляр такими, что:
  • По операции сложения [math]L[/math] является абелевой группой — выполняются:
    • ассоциативность — [math]\forall x, y, z \in L: (x + y) + z = x + (y + z)[/math];
    • существование нейтрального элемента — [math]\exists \mathrm{0} \in L\ \forall x \in L: x + \mathrm{0} = \mathrm{0} + x = x[/math], причем можно показать, что он единственный;
    • существование обратного элемента — [math]\forall x \in L\ \exists y: x + y = \mathrm{0}[/math], такой [math]y[/math] называют обратным к [math]x[/math], причем можно показать, что он единственный;
    • коммутативность — [math]\forall x, y \in L: x + y = y + x[/math];
  • Для операции умножения на скаляр:
    • ассоциативность умножения на скаляр — [math]\forall \alpha, \beta \in K\ \forall x \in L: (\alpha \beta) x = \alpha (\beta x)[/math];
    • унитарность: [math]\forall x \in L: 1 \cdot x = x[/math], где [math]1[/math] — единица по умножению в поле [math]K[/math];
    • дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов — [math]\forall \alpha \in K\ \forall x, y \in L: \alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y[/math];
    • дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров — [math]\forall \alpha, \beta \in K\ \forall x \in L: (\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta x[/math].


Определение:
Функция [math]\| \cdot \|: L \to \mathbb{R}[/math] называется нормой в пространстве [math]L[/math], если для нее выполняется:
  1. [math]\forall x \in L: \| x \| \ge 0[/math], [math]\| x \| = 0 \Leftrightarrow x = \mathrm{0}[/math]
  2. [math]\forall \alpha \in \mathbb{R}\ \forall x \in L: \| \alpha x \| = |\alpha |\| x \|[/math]
  3. [math]\forall x, y \in L: \| x + y \| \le \| x \| + \| y \|[/math]
Пространство с введенной на нем нормой называют нормированным пространством.


Заметим, что любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, задав метрику как [math]\rho(x, y) = \| x - y \|[/math]. Заметим, что обратное неверно: например, хоть [math]\mathbb{R}^{\infty}[/math] c [math]\rho(x, y) = \sum 2^{-k} \frac{|x_k - y_k|}{1 + |x_k - y_k|}[/math] и можно наделить линейной структурой, не существует нормы, аналогичной по сходимости с этой метрикой.

Утверждение:
В нормированных пространствах линейные операции непрерывны.
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math] x_n \to x , y_n \to y, \alpha_n \to \alpha[/math].

Тогда [math] x_n + y_n \to x + y [/math], так как [math] \|(x_n + y_n) - (x + y)\| \le \|x_n + x\| + \|y_n + y\| \to 0[/math].

[math] \alpha_n x_n \to \alpha x [/math], так как [math] \|\alpha_n x_n - \alpha x\| = \|\alpha(x_n - x) + (\alpha_n - \alpha) x_n\| \le |\alpha| \|x_n - x\| + |\alpha_n - \alpha| \|x_n\| \to 0[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Примеры НП:

  • [math]X = \mathbb{R}^n, \| \overline x \| = \sqrt {\sum_{k = 1}^{n} x_k^2}[/math]
  • [math]X = C[a; b][/math] — пространство непрерывных на [math][a; b][/math] функций, [math]\| f \| = \max\limits_{x \in [a; b]} |f(x)|[/math]
  • [math]X = L_p[/math] — пространство функций, интегрируемых на множестве [math] E [/math] с [math] p [/math] степенью ,[math]\| f \| = \left( \int\limits_E |f(x)|^p d \mu \right)^{1 \over p}[/math]. В таком пространстве отождествленны функции, различающиеся на множестве меры ноль, иначе, например, интеграл функции, почти везде равной нулю, будет нулевым, хотя сама функция ненулевая, что нарушит первую аксиому нормы.


Определение:
Нормированное пространство [math](X, \|\cdot\|)[/math] называется B-пространством (Банаховым), если для любой последовательности элементов [math]X[/math], для которых из [math]\|x_n - x_m\| \to 0[/math] при [math]n, m \to \infty[/math] вытекает существование предела последовательности.


Определение:
Нормы [math]\| \|_1[/math], [math]\| \|_2[/math] эквивалентны, если существуют константы [math]m, M \gt 0[/math] такие, что [math]\forall x: m\|x\|_2 \le \|x\|_1 \le M \|x\|_2[/math]. Очевидно, что отношение эквивалентности норм является отношением эквивалентности (то есть выполняется рефлексивность, симметриченость и транзитивность).


Это определение равносильно тому, что сходимость последовательностей в них равносильна: [math]x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \Leftrightarrow x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x[/math]. Несложно показать, что из взаимной ограниченности норм следует равносходимость. В обратную сторону: ???.


Определение:
Пространство [math] X [/math] конечномерно, если [math] \exists n = dim X \lt \infty: \exists e_1, e_2, \ldots, e_n: X = \mathcal L(e_1, \ldots, e_n)[/math].


Теорема (Рисс):
В конечномерных пространствах любые две нормы эквивалентны.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Докажем, что произвольная норма [math]\| \|[/math] в конечномерном пространстве [math]X[/math] эквивалентна [math]\| \|_2[/math], то есть выберем [math]m, M \gt 0: \forall x \in X: m \|x\|_2 \le \|x\| \le M \|x\|_2[/math], далее по отношению эквивалентности получим эквивалентность произвольной норме.

Выберем и зафиксируем в пространстве [math]X[/math] произвольный базис [math](e_1 \dots e_n)[/math].

1. [math]x = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k[/math], [math]\| x \| = \sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k| \| e_k \| \le [/math] (по неравенству Коши для сумм) [math] \le \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k|^2} \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \| e_k \|^2}[/math]. Заметим, что [math]\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k|^2}[/math] является нормой [math]\| \|_2[/math] в координатной записи, а [math]\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \| e_k \|^2}[/math] является константным значением для фиксированного базиса.

Таким образом, получили [math]\forall x \in X: \|x\| \le M \|x\|_2[/math].

2. Теперь надо доказать, что [math]\exists m \forall x: m \|x\|_2 \le \|x\|[/math]

Рассмотрим единичный шар по норме [math]\| \|_2[/math]: [math]S_2 = \{ \overline \alpha \mid \| \overline \alpha \|_2 = 1 \}[/math], [math]S_2[/math] является компактом в [math]\mathbb{R}^n[/math] (TODO: почему? может, тут есть подсказка). Рассмотрим на нем функцию [math]f : S_2 \to \mathbb{R}[/math], [math]f(x) = \|x\| = \| \sum \alpha_i e_i \|[/math]. Покажем, что она непрерывна: [math]|f(\alpha_1 + \Delta \alpha_1 \dots \alpha_n + \Delta \alpha_n) - f(\alpha_1 \dots \alpha_n)| \le \sum |\Delta \alpha_k | \| e_k \| \le M \sqrt{\sum (\Delta \alpha_k )^2}[/math], то есть при стремлении [math]\Delta \alpha_k [/math] к [math]0[/math], расстояние между [math]f(\overline \alpha)[/math] и [math]f(\overline \alpha + \Delta \overline \alpha)[/math] также стремится к нулю, что означает непрерывность.

Так как [math]f[/math] непрерывна на [math]S_2[/math], то по теореме Вейерштрасса она принимает минимум на этом компакте, равный [math]m[/math] (пусть он достигается в точке [math]\overline \alpha^*[/math]). Также [math]f[/math] не может быть нулем на [math]S_2[/math]: пусть для какого-то [math]x \in S_2[/math] это так, тогда тогда [math]\|x\| = 0 \Rightarrow \| \sum \alpha_k e_k \| = 0 \Rightarrow \alpha_k e_k = 0 \Rightarrow \forall k: \alpha_k = 0 \Rightarrow \|x\|_2 = 0[/math], что означает, что [math]x \notin S_2[/math], то есть [math]m \gt 0[/math].

Теперь рассмотрим произвольный ненулевой [math]x \in \mathbb{R}^n[/math], тогда точка [math]x' = {x \over \|x\|_2}[/math] также принадлежит [math]\mathbb{R}^n[/math] по линейности пространства, и в частности, принадлежит [math]S_2[/math]. Рассмотрим [math]x'[/math]: [math] f(x') = \|x'\| = \| {x \over {\| x \|_2}} \| = {{\| x \|} \over {\| x \|_2}} \ge m[/math], то есть [math]m \| x \|_2 \le \|x\|[/math].

Таким образом, получили обе части двойного неравенства.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Пусть [math]X[/math] — НП и [math]Y[/math] — линейное конечномерное подпространство в [math]X[/math], тогда [math]Y[/math] — замкнуто в [math]X[/math], т.е. [math]\mathrm{Cl} Y = Y[/math].

Пример: [math] X = C[0; 1][/math], [math]Y[/math] — пространство всех полиномов TODO: дописать утверждение

Теорема (Вейерштрасс, аппроксимационная теорема Вейерштрасса (Стоуна-Вейерштрасса)):
{{{statement}}}
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
TODO: Непонятно, что она тут делает. Может быть, можно как-то воспользоваться следствием и очень просто доказать ее, но в моем конспекте она вообще не упомянута.
[math]\triangleleft[/math]

Ссылки