Материал из Викиконспекты
<wikitex>
| Определение: |
Линейное (векторное) пространство над полем $K$ — это множество $L$ с заданными на нем операциями сложениями и умножения на скаляр такими, что:
- По операции сложения $L$ является абелевой группой — выполняются:
- ассоциативность — $\forall x, y, z \in L: (x + y) + z = x + (y + z)$
- существование нейтрального элемента — $\exists \mathrm{0} \in L \forall x \in L: x + \mathrm{0} = \mathrm{0} + x = x$, причем можно показать, что он единственный
- существование обратного элемента — $\forall x \in L \exists y: x + y = \mathrm{0}$, такой $y$ называют обратным к $x$, причем можно показать, что он единственный
- коммутативность — $\forall x, y \in L: x + y = y + x$
- Для операции умножения на скаляр:
- ассоциативность умножения на скаляр — $\forall \alpha, \beta \in K \forall x \in L: (\alpha \beta) x = \alpha (\beta x)$
- унитарность: $\forall x \in L: 1 \cdot x = x$, где $1$ — единица по умножению в поле $K$
- дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов — $\forall \alpha \in K \forall x, y \in L: \alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y$
- дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров — $\forall \alpha, \beta \in K \forall x \in L: (\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta x$
|
</wikitex>
