Обсуждение:Производные некоторых элементарных функций — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
(\frac{\ln(1 + x)}x)
 
(не показано 14 промежуточных версий 5 участников)
Строка 1: Строка 1:
==ln' x==
+
Пофиксил всякую мелочь, теперь вроде все совсем правильно. На всякий случай сравните с предыдущим. --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]]
  
Доказательство вообще у него странноватое, или я туплю. Проще так будет, наверное?
+
== Второй замечательный предел ==
: <tex> e^{\ln x} = x </tex>
+
Тут нет доказательства, есть тольок вывод следствия. --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 01:52, 4 января 2011 (UTC)
: <tex> (e^{\ln x})'  = x' </tex>
+
* Доказательство не нужно, ведь есть определение числа e! --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 01:08, 5 января 2011 (UTC)
: <tex> e^{\ln x} \cdot \ln'(x) = 1 </tex>
+
== (e^x - 1)/x ==
: <tex> \ln'(x) = \frac 1 x </tex>
+
В самом конце:
--[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 10:58, 21 ноября 2010 (UTC)
+
 
Все, понял. как и ожидалось, туплю я :)
+
Рассмотрим выражение <tex>\frac{x^n - 1}{mx}, \ x \to 0</tex>. Оно (?)создаёт неопределённость <tex>\frac00</tex>. При этом, предел нельзя
--[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 18:14, 21 ноября 2010 (UTC)
+
вычислить переходом к нему в числителе и знаменателе по отдельности. Этот предел подстановкой сводится к предыдущим.
 +
* Так вот, это выражение если и создает неопределенность то -1/0. У меня такое подозрение что там должно быть <tex>\frac{n^x - 1}{mx}, \ x \to 0</tex>. В общем, у кого адекватный конспект, посмотрите. --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 01:52, 4 января 2011 (UTC)
 +
** У меня оказался неожиданно адекватный конспект в этом месте, исправил на то выражение, которое было там. --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 01:08, 5 января 2011 (UTC)
 +
 
 +
== Производные x^n, x^(1/n) и т.д ==
 +
Там, наверное, везде должно быть n - натуральное, а написано - целое. Или я чего-то не понимаю?
 +
* По идее, здесь и с целыми числами всё нормально прокатывает. За исключением случая, когда во второй функции n=0
 +
** Да нет, не совсем прокатывает, равенство доказано только для натуральных n. Но расширить его на целые числа не составляет труда.
 +
 
 +
== e^x ==
 +
*Это единственная функция, которая обладает таким свойством(это просто забавный факт, его не надо доказывать).<br>
 +
**Я бы не стал так голословно разбрасываться словами. Таким же свойством обладает функция <tex>y=0</tex>
 +
*** И вообще любая функция вида <tex>y=c \cdot e^x</tex>, где <tex>c \in \mathbb R</tex> --[[Участник:Rybak|Андрей Рыбак]] 01:41, 7 января 2011 (UTC)
 +
 
 +
== \frac{\ln(1 + x)}x ==
 +
 
 +
* Почему <tex>\frac{\ln(1 + x)}x</tex> при <tex>x \to 0</tex> стремится к <tex>1</tex>? [[Служебная:Contributions/192.168.0.2|192.168.0.2]] 17:26, 21 января 2011 (UTC)
 +
** <tex>e = \lim\limits_{n \to \infty} \left(1 + \frac1n \right) ^ n=\lim\limits_{x \to 0} \left(1 + x \right) ^ {1/x}</tex> Логарифмируем: <tex> \ln e=1=ln \left ( \left ( 1 + x \right) ^ {1/x} \right)=\frac{\ln(1+x)}{x}</tex> при <tex>x \to 0</tex>.
 +
*** мы пользуемся тем, что <tex>\frac{\ln(1 + x)}x</tex>при <tex>x \to 0</tex> стремится к <tex>1</tex> при доказательстве того, что <tex>e = \lim\limits_{n \to \infty} \left(1 + \frac1n \right) ^ n</tex> [[Служебная:Contributions/192.168.0.2|192.168.0.2]] 19:23, 21 января 2011 (UTC)
 +
**** Эм, щито? Доказательство того, что <tex>e = \lim\limits_{n \to \infty} \left(1 + \frac1n \right) ^ n</tex> тут: [[Три основных теоремы о пределах#Теорема Вейерштрасса|в примере]] и логарифм там совсем не используется.

Текущая версия на 02:08, 22 января 2011

Пофиксил всякую мелочь, теперь вроде все совсем правильно. На всякий случай сравните с предыдущим. --Дмитрий Герасимов

Второй замечательный предел

Тут нет доказательства, есть тольок вывод следствия. --Дмитрий Герасимов 01:52, 4 января 2011 (UTC)

  • Доказательство не нужно, ведь есть определение числа e! --Мейнстер Д. 01:08, 5 января 2011 (UTC)

(e^x - 1)/x

В самом конце:

Рассмотрим выражение [math]\frac{x^n - 1}{mx}, \ x \to 0[/math]. Оно (?)создаёт неопределённость [math]\frac00[/math]. При этом, предел нельзя вычислить переходом к нему в числителе и знаменателе по отдельности. Этот предел подстановкой сводится к предыдущим.

  • Так вот, это выражение если и создает неопределенность то -1/0. У меня такое подозрение что там должно быть [math]\frac{n^x - 1}{mx}, \ x \to 0[/math]. В общем, у кого адекватный конспект, посмотрите. --Дмитрий Герасимов 01:52, 4 января 2011 (UTC)
    • У меня оказался неожиданно адекватный конспект в этом месте, исправил на то выражение, которое было там. --Мейнстер Д. 01:08, 5 января 2011 (UTC)

Производные x^n, x^(1/n) и т.д

Там, наверное, везде должно быть n - натуральное, а написано - целое. Или я чего-то не понимаю?

  • По идее, здесь и с целыми числами всё нормально прокатывает. За исключением случая, когда во второй функции n=0
    • Да нет, не совсем прокатывает, равенство доказано только для натуральных n. Но расширить его на целые числа не составляет труда.

e^x

  • Это единственная функция, которая обладает таким свойством(это просто забавный факт, его не надо доказывать).
    • Я бы не стал так голословно разбрасываться словами. Таким же свойством обладает функция [math]y=0[/math]
      • И вообще любая функция вида [math]y=c \cdot e^x[/math], где [math]c \in \mathbb R[/math] --Андрей Рыбак 01:41, 7 января 2011 (UTC)

\frac{\ln(1 + x)}x

  • Почему [math]\frac{\ln(1 + x)}x[/math] при [math]x \to 0[/math] стремится к [math]1[/math]? 192.168.0.2 17:26, 21 января 2011 (UTC)
    • [math]e = \lim\limits_{n \to \infty} \left(1 + \frac1n \right) ^ n=\lim\limits_{x \to 0} \left(1 + x \right) ^ {1/x}[/math] Логарифмируем: [math] \ln e=1=ln \left ( \left ( 1 + x \right) ^ {1/x} \right)=\frac{\ln(1+x)}{x}[/math] при [math]x \to 0[/math].
      • мы пользуемся тем, что [math]\frac{\ln(1 + x)}x[/math]при [math]x \to 0[/math] стремится к [math]1[/math] при доказательстве того, что [math]e = \lim\limits_{n \to \infty} \left(1 + \frac1n \right) ^ n[/math] 192.168.0.2 19:23, 21 января 2011 (UTC)
        • Эм, щито? Доказательство того, что [math]e = \lim\limits_{n \to \infty} \left(1 + \frac1n \right) ^ n[/math] тут: в примере и логарифм там совсем не используется.