Обсуждение участника:178.70.143.94 — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «==Связные графы== {{Определение |definition= <tex dpi="130">CONN_{n}</tex> - количество связных графов порядк…»)
 
(Связные графы)
 
(не показана 1 промежуточная версия 1 участника)
Строка 2: Строка 2:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
<tex dpi="130">CONN_{n}</tex> - количество связных графов порядка <tex dpi="130">n</tex>.
+
<tex dpi="130">CONN_{n}</tex> - количество связных графов с <tex dpi="130">n</tex> вершинами.
 
}}
 
}}
  
 
{{Лемма
 
{{Лемма
 
|statement=
 
|statement=
Количество помеченных графов порядка <tex dpi="150">n</tex> равно <tex dpi="150">2^{\binom{n}{2}}</tex>. Обозначается как <tex dpi="150">G_{n}</tex>.
+
<tex dpi="150">G_{n} = 2^{\binom{n}{2}}</tex>, где <tex dpi="150">G_{n}</tex> {{---}} количество помеченных графов с <tex dpi="130">n</tex> вершинами.
 
}}
 
}}
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=
 
|statement=
<tex dpi="150">CONN_{n}=G_{n} - \frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n-1}k\binom{n}{k}G_{n-k}CONN_{k}</tex>, {{---}} количество связных графов порядка n.
+
<tex dpi="150">CONN_{n}=G_{n} - \frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n-1}k\binom{n}{k}G_{n-k}CONN_{k}</tex>, {{---}} количество связных графов с <tex dpi="130">n</tex> вершинами.
 
|proof=
 
|proof=
  
 
Рассмотрим соотношение количества связных и несвязных графов. Очевидно, что <tex dpi="150">CONN_{n}=G_{n}-X_{n}</tex>, где <tex dpi="150">X_{n}</tex> {{---}} количество несвязных графов. Также <tex dpi="150">X_{n}=\dfrac{Y_{n}}{n}</tex>, где <tex dpi="150">Y_{n}</tex> {{---}} количество корневых<ref>[[wikipedia:Rooted_graph | Wikipedia {{---}} Корневой граф]]</ref> несвязных графов.  
 
Рассмотрим соотношение количества связных и несвязных графов. Очевидно, что <tex dpi="150">CONN_{n}=G_{n}-X_{n}</tex>, где <tex dpi="150">X_{n}</tex> {{---}} количество несвязных графов. Также <tex dpi="150">X_{n}=\dfrac{Y_{n}}{n}</tex>, где <tex dpi="150">Y_{n}</tex> {{---}} количество корневых<ref>[[wikipedia:Rooted_graph | Wikipedia {{---}} Корневой граф]]</ref> несвязных графов.  
  
Вычислим <tex dpi="150">Y_{n}</tex>. Заметим, что, так как граф является несвязным, то в нём найдётся компонента связности, внутри которой лежит корневая вершина, а остальной граф будет представлять собой одну или более компонент связности. Переберем количество вершин в компоненте связности, содержащей корневую вершину. <tex dpi="150">(k=1\ldots n-1)</tex>. Для каждого <tex dpi="150">k</tex> посчитаем количество таких графов. Количество способов выбрать <tex dpi="150">k</tex> вершин из <tex dpi="150">n</tex> равно <tex dpi="150">\binom{n}{k}</tex>. Оставшийся граф является произвольным, таким образом количество помеченных графов в нем равно <tex dpi="150">G_{n-k}</tex>. Количество способов выделить корневую вершину в компоненте связности из <tex dpi="150">k</tex> вершин равно <tex dpi="150">k</tex>. Также количество связных графов в компоненте связности с корневой вершиной равно <tex dpi="150">CONN_{k}</tex>.
+
Вычислим <tex dpi="150">Y_{n}</tex>. Заметим, что, так как граф является несвязным, то в нём найдётся компонента связности, внутри которой лежит корневая вершина, а остальной граф будет представлять собой одну или более компонент связности. Переберем количество вершин в компоненте связности, содержащей корневую вершину. <tex dpi="150">(k=1\ldots n-1)</tex>. Для каждого <tex dpi="150">k</tex> посчитаем количество таких графов. Количество способов выбрать <tex dpi="150">k</tex> вершин из <tex dpi="150">n</tex> равно <tex dpi="150">\binom{n}{k}</tex>. Оставшийся граф является произвольным, таким образом, количество помеченных графов в нем равно <tex dpi="150">G_{n-k}</tex>. Количество способов выделить корневую вершину в компоненте связности из <tex dpi="150">k</tex> вершин равно <tex dpi="150">k</tex>. Также количество связных графов в компоненте связности с корневой вершиной равно <tex dpi="150">CONN_{k}</tex>.
  
 
Итого, для фиксированного <tex dpi="150">k</tex> количество корневых несвязных графов:
 
Итого, для фиксированного <tex dpi="150">k</tex> количество корневых несвязных графов:
Строка 27: Строка 27:
 
<tex dpi="150">X_{n}=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n-1}k\binom{n}{k}CONN_{k}G_{n-k}</tex>
 
<tex dpi="150">X_{n}=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n-1}k\binom{n}{k}CONN_{k}G_{n-k}</tex>
  
Таким образом количество связных графов порядка <tex dpi="130">n</tex>:
+
Таким образом, количество связных графов с <tex dpi="130">n</tex> вершинами:
  
 
<tex dpi="150">CONN_{n}=G_{n}-\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n-1}k\binom{n}{k}G_{n-k}CONN_{k}</tex>
 
<tex dpi="150">CONN_{n}=G_{n}-\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n-1}k\binom{n}{k}G_{n-k}CONN_{k}</tex>
 
}}
 
}}

Текущая версия на 16:14, 21 июня 2020

Связные графы[править]

Определение:
[math]CONN_{n}[/math] - количество связных графов с [math]n[/math] вершинами.


Лемма:
[math]G_{n} = 2^{\binom{n}{2}}[/math], где [math]G_{n}[/math] — количество помеченных графов с [math]n[/math] вершинами.
Утверждение:
[math]CONN_{n}=G_{n} - \frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n-1}k\binom{n}{k}G_{n-k}CONN_{k}[/math], — количество связных графов с [math]n[/math] вершинами.
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим соотношение количества связных и несвязных графов. Очевидно, что [math]CONN_{n}=G_{n}-X_{n}[/math], где [math]X_{n}[/math] — количество несвязных графов. Также [math]X_{n}=\dfrac{Y_{n}}{n}[/math], где [math]Y_{n}[/math] — количество корневых[1] несвязных графов.

Вычислим [math]Y_{n}[/math]. Заметим, что, так как граф является несвязным, то в нём найдётся компонента связности, внутри которой лежит корневая вершина, а остальной граф будет представлять собой одну или более компонент связности. Переберем количество вершин в компоненте связности, содержащей корневую вершину. [math](k=1\ldots n-1)[/math]. Для каждого [math]k[/math] посчитаем количество таких графов. Количество способов выбрать [math]k[/math] вершин из [math]n[/math] равно [math]\binom{n}{k}[/math]. Оставшийся граф является произвольным, таким образом, количество помеченных графов в нем равно [math]G_{n-k}[/math]. Количество способов выделить корневую вершину в компоненте связности из [math]k[/math] вершин равно [math]k[/math]. Также количество связных графов в компоненте связности с корневой вершиной равно [math]CONN_{k}[/math].

Итого, для фиксированного [math]k[/math] количество корневых несвязных графов:

[math]Y_{n}=k\binom{n}{k}CONN_{k}G_{n-k}[/math].

Значит, количество несвязных графов с [math]n[/math] вершинами равно:

[math]X_{n}=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n-1}k\binom{n}{k}CONN_{k}G_{n-k}[/math]

Таким образом, количество связных графов с [math]n[/math] вершинами:

[math]CONN_{n}=G_{n}-\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n-1}k\binom{n}{k}G_{n-k}CONN_{k}[/math]
[math]\triangleleft[/math]