Обсуждение участника:Galibov Mikhail — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Доказательства числа комбинаторных объектов.)
(Доказательства числа комбинаторных объектов.)
Строка 47: Строка 47:
  
 
|proof=
 
|proof=
Пусть нам нужно найти количество перестановок с повторениями на множестве <tex>A</tex> в котором <tex>k</tex> элементов. Будем учитывать, что в этом множестве <tex>n</tex> групп одинаковых элементов. Количество перестановок из <tex>k</tex> элементов, не учитывая того факта, что элементы могут быть одинаковые, будет равна <tex>k!</tex>, однако мы также должны учитывать то, что у нас <tex>n</tex> групп с одинаковыми элементами.
+
Пусть нужно найти количество перестановок с повторениями на множестве <tex>A</tex> из <tex>k</tex> элементов. Будем учитывать, что в этом множестве <tex>n</tex> групп одинаковых элементов. Количество перестановок из <tex>k</tex> элементов, не учитывая того факта, что элементы могут быть одинаковые, будет равна <tex>k!</tex>, однако мы также должны учитывать то, что у нас <tex>n</tex> групп с одинаковыми элементами.
  
В каждой итоговой перестановке у нас будет несколько раз учитываться ситуации с одинаковыми элементами ровно столько раз, сколько можно получить перестановок из <tex>k_i</tex>. Таким образом количество перестановок с одинаковым первым элементом будет равно <tex>k_1!</tex>, для второго элемента {{---}} <tex>k_2!</tex>. Общее количество идентичных перестановок будет равно произведению данных факториалов. Итого одинаковых перестановок {{---}} <tex>k_1! \cdot k_2! \cdot \ldots \cdot m_n!</tex>. Ответом будем являться частное количества всех перестановок и количества одинаковых. Ответ {{---}} <tex>\frac{k!}{k_1! \cdot k_2! \cdot \ldots \cdot k_n!} = \frac{(k_1 + k_2 + \ldots + k_n)!}{k_1! \cdot k_2! \cdot \ldots \cdot k_n!} </tex>
+
В каждой итоговой перестановке у нас будет несколько раз учитываться ситуации с одинаковыми элементами ровно столько раз, сколько можно получить перестановок из <tex>k_i</tex>. Таким образом количество перестановок с одинаковым первым элементом будет равно <tex>k_1!</tex>, для второго элемента {{---}} <tex>k_2!</tex>. Общее количество идентичных перестановок будет равно произведению данных факториалов. Итого одинаковых перестановок <tex>k_1! \cdot k_2! \cdot \ldots \cdot m_n!</tex>. Ответом будем являться частное количества всех перестановок и количества одинаковых.  
 +
Получаем, что итоговое количество равно <tex>\frac{k!}{k_1! \cdot k_2! \cdot \ldots \cdot k_n!} = \frac{(k_1 + k_2 + \ldots + k_n)!}{k_1! \cdot k_2! \cdot \ldots \cdot k_n!} </tex>
 
}}
 
}}
  
Строка 71: Строка 72:
 
|proof=
 
|proof=
  
Доказательство по индукции. Пусть <tex>k = 1</tex>. Тогда <tex> \widetilde{A}_n^1 = n</tex>.
+
Докажем по индукции. База: <tex>k = 1</tex>. Тогда <tex> \widetilde{A}_n^1 = n</tex>.
  
 
При <tex>k \geq 2</tex> воспользуемся правилом произведения. Выбрать первый элемент можно <tex>n</tex> различными способами. При каждом первом элементе, все что осталось образует размещение с повторениями  из того же самого множества, то есть из n элементов, по <tex>(k - 1)</tex>. Следовательно получаем рекуррентную формулу <tex>\widetilde{A}_n^k = n \cdot \widetilde{A}_{n}^{k-1}</tex>. Отсюда получаем <tex>\widetilde{A}_n^k=n \cdot n \ldots = n^k </tex>
 
При <tex>k \geq 2</tex> воспользуемся правилом произведения. Выбрать первый элемент можно <tex>n</tex> различными способами. При каждом первом элементе, все что осталось образует размещение с повторениями  из того же самого множества, то есть из n элементов, по <tex>(k - 1)</tex>. Следовательно получаем рекуррентную формулу <tex>\widetilde{A}_n^k = n \cdot \widetilde{A}_{n}^{k-1}</tex>. Отсюда получаем <tex>\widetilde{A}_n^k=n \cdot n \ldots = n^k </tex>
Строка 83: Строка 84:
 
|proof=
 
|proof=
  
Рассмотрим все размещения из <tex>n</tex> элементов по <tex>k</tex>. Их <tex>A_n^k  = \frac{n!}{(n - k)!}</tex>. В каждом размещении выбраны какие-то <tex>k</tex> элементов из данного множества. Если игнорировать порядок этих выбранных <tex>k</tex> элементов, мы получим некоторые сочетания из данного множества по <tex>k</tex>. Другими словами, размещение с одним и тем же набором выбранных <tex>k</tex> элементов задают одно и то же сочетание по <tex>k</tex> элементов.
+
Всего размещений из <tex>n</tex> элементов по <tex>k</tex> равно <tex>A_n^k  = \frac{n!}{(n - k)!}</tex>. В каждом размещении выбраны какие-то <tex>k</tex> элементов из данного множества. Если игнорировать порядок этих выбранных <tex>k</tex> элементов, мы получим некоторые сочетания из данного множества по <tex>k</tex>. Другими словами, размещение с одним и тем же набором выбранных <tex>k</tex> элементов задают одно и то же сочетание по <tex>k</tex> элементов.
  
Так как размещения с одним и тем же набором выбранных <tex>k</tex> элементов различаются только порядком элементов и число различных перестановок из <tex>k</tex> элементов равно <tex>k!</tex>, то итоговая формула будет равна <tex> C_n^k = \frac{A_n^k}{k!} = \frac{n!}{k!(n - k)!}</tex>
+
Так как размещения с одним и тем же набором выбранных <tex>k</tex> элементов различаются только порядком элементов и число различных перестановок из <tex>k</tex> элементов равно <tex>k!</tex>, то итоговая формула будет равна <tex>C_n^k = \frac{A_n^k}{k!} = \frac{n!}{k!(n - k)!}</tex>
 
}}
 
}}
  
Строка 95: Строка 96:
 
|proof=
 
|proof=
  
Рассмотрим вектор из <tex>(n+k-1)</tex> координат, состоящий из нулей и единиц, в котором <tex>(n-1)</tex> нулей и <tex>k</tex> единиц.  
+
Рассмотрим двоичный вектор из <tex>(n+k-1)</tex> координат, в котором <tex>(n-1)</tex> нулей и <tex>k</tex> единиц.  
  
 
Будем считать нули разделителями, которые делят этот вектор на <tex>n</tex> частей.
 
Будем считать нули разделителями, которые делят этот вектор на <tex>n</tex> частей.
Строка 103: Строка 104:
 
Получаем, что каждому сочетанию с повторениями из <tex>n</tex> по <tex>k</tex> соответствует некоторый вектор из нулей и единиц с <tex>(n+k-1)</tex> координатами, в котором <tex>(n-1)</tex> нулей. Также наоборот, по каждому такому вектору однозначно восстанавливается сочетание с повторением, ему соответствующее. Значит число сочетаний с повторениями из <tex>n</tex> по <tex>k</tex> совпадает с числом таких векторов.  
 
Получаем, что каждому сочетанию с повторениями из <tex>n</tex> по <tex>k</tex> соответствует некоторый вектор из нулей и единиц с <tex>(n+k-1)</tex> координатами, в котором <tex>(n-1)</tex> нулей. Также наоборот, по каждому такому вектору однозначно восстанавливается сочетание с повторением, ему соответствующее. Значит число сочетаний с повторениями из <tex>n</tex> по <tex>k</tex> совпадает с числом таких векторов.  
  
Таких векторов столько, сколько вариантов выбрать <tex>k</tex> координат, на которых должны стоять единицы из <tex>(n+k-1)</tex>. Таким образом ответ будет число сочетаний из <tex>(n+k-1)</tex> по <tex>k</tex>.
+
Таких векторов столько, сколько вариантов выбрать <tex>k</tex> координат, на которых должны стоять единицы из <tex>(n+k-1)</tex>. Таким образом, ответ будет число сочетаний из <tex>(n+k-1)</tex> по <tex>k</tex>. Тогда количество равно <tex> \widetilde{C}_n^k = C_{n+k-1}^{k}</tex>
 
 
Ответ: <tex> \widetilde{C}_n^k = C_{n+k-1}^{k}</tex>
 
 
}}
 
}}

Версия 16:32, 5 января 2021

Число комбинаторных объектов

Тип объекта Число различных объектов
Битовые вектора [math]2^{n}[/math]
Перестановки [math]P_n = n![/math]
Перестановки с повторениями [math]\widetilde{P}_k (k_1, k_2, \ldots, k_n) = \frac{(k_1 + k_2 + \ldots + k_n)!}{k_1!k_2!\ldots k_n!}[/math]
Размещения [math]A^{k}_n = \frac{n!}{(n - k)!}[/math]
Размещения с повторениями [math]\widetilde{A}_n^k = n^k[/math]
Сочетания [math]C^{k}_n = \frac{n!}{k!(n - k)!}[/math]
Сочетания с повторениями [math]\widetilde{C}^k_n = \frac{(n + k - 1)!}{k!(n - 1)!} = C^k_{n + k - 1}[/math]
Разбиение на неупорядоченные слагаемые Нахождение количества разбиений числа на слагаемые
Разбиение на подмножества Числа Стирлинга второго порядка

Доказательства числа комбинаторных объектов.

Теорема:
Число различных битовых векторов равно [math]2^{n}[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Число битовых векторов — это частный случай размещения с повторениями [math]2[/math] элементов по [math]n[/math]. Таким образом, количество различных битовых векторов будет равно [math]2^n[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Число различных перестановок из [math]n[/math] элементов равно [math]P_n = n![/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Перестановка — это частный случай размещения [math]n[/math] элементов по [math]k[/math] при [math]k = n[/math]. Таким образом, количество различных перестановок будет равно [math]n![/math]
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Число различных перестановок с повторениями из [math]k[/math] элементов с различными [math]n[/math] группами одинаковых элементов равно [math]\widetilde{P}_k (k_1, k_2, \ldots, k_n) = \frac{(k_1 + k_2 + \ldots + k_n)!}{k_1!k_2!\ldots k_n!}[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть нужно найти количество перестановок с повторениями на множестве [math]A[/math] из [math]k[/math] элементов. Будем учитывать, что в этом множестве [math]n[/math] групп одинаковых элементов. Количество перестановок из [math]k[/math] элементов, не учитывая того факта, что элементы могут быть одинаковые, будет равна [math]k![/math], однако мы также должны учитывать то, что у нас [math]n[/math] групп с одинаковыми элементами.

В каждой итоговой перестановке у нас будет несколько раз учитываться ситуации с одинаковыми элементами ровно столько раз, сколько можно получить перестановок из [math]k_i[/math]. Таким образом количество перестановок с одинаковым первым элементом будет равно [math]k_1![/math], для второго элемента — [math]k_2![/math]. Общее количество идентичных перестановок будет равно произведению данных факториалов. Итого одинаковых перестановок [math]k_1! \cdot k_2! \cdot \ldots \cdot m_n![/math]. Ответом будем являться частное количества всех перестановок и количества одинаковых.

Получаем, что итоговое количество равно [math]\frac{k!}{k_1! \cdot k_2! \cdot \ldots \cdot k_n!} = \frac{(k_1 + k_2 + \ldots + k_n)!}{k_1! \cdot k_2! \cdot \ldots \cdot k_n!} [/math]
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Число различных размещений из [math]n[/math] элементов по [math]k[/math] равно [math]A^{k}_n = \frac{n!}{(n - k)!}[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Доказательство по индукции. Пусть [math]k = 1[/math]. Тогда количество размещений из [math]n[/math] по [math]1[/math] равно [math]n[/math].

При [math]k \geq 2[/math] воспользуемся правилом произведения. Выбрать первый элемент можно [math]n[/math] различными способами. При каждом первом элементе, все что осталось образует размещение из оставшегося множества, то есть [math](n-1)[/math] элементов, по [math](k - 1)[/math]. Следовательно получаем рекуррентную формулу [math]A_{n}^{k}=n \cdot A_{n-1}^{k-1}[/math]. Отсюда получаем [math]A_{n}^{k} = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n - k)!}[/math]
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Число различных размещений с повторениями из [math]n[/math] элементов по [math]k[/math] равно [math]\widetilde{A}_n^k = n^k[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Докажем по индукции. База: [math]k = 1[/math]. Тогда [math] \widetilde{A}_n^1 = n[/math].

При [math]k \geq 2[/math] воспользуемся правилом произведения. Выбрать первый элемент можно [math]n[/math] различными способами. При каждом первом элементе, все что осталось образует размещение с повторениями из того же самого множества, то есть из n элементов, по [math](k - 1)[/math]. Следовательно получаем рекуррентную формулу [math]\widetilde{A}_n^k = n \cdot \widetilde{A}_{n}^{k-1}[/math]. Отсюда получаем [math]\widetilde{A}_n^k=n \cdot n \ldots = n^k [/math]
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Число различных сочетаний из [math]n[/math] элементов по [math]k[/math] равно [math]C^{k}_n = \frac{n!}{k!(n - k)!}[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Всего размещений из [math]n[/math] элементов по [math]k[/math] равно [math]A_n^k = \frac{n!}{(n - k)!}[/math]. В каждом размещении выбраны какие-то [math]k[/math] элементов из данного множества. Если игнорировать порядок этих выбранных [math]k[/math] элементов, мы получим некоторые сочетания из данного множества по [math]k[/math]. Другими словами, размещение с одним и тем же набором выбранных [math]k[/math] элементов задают одно и то же сочетание по [math]k[/math] элементов.

Так как размещения с одним и тем же набором выбранных [math]k[/math] элементов различаются только порядком элементов и число различных перестановок из [math]k[/math] элементов равно [math]k![/math], то итоговая формула будет равна [math]C_n^k = \frac{A_n^k}{k!} = \frac{n!}{k!(n - k)!}[/math]
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Число различных сочетаний с повторениями из [math]n[/math] элементов по [math]k[/math] равно [math]\widetilde{C}^k_n = \frac{(n + k - 1)!}{k!(n - 1)!} = C^k_{n + k - 1}[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим двоичный вектор из [math](n+k-1)[/math] координат, в котором [math](n-1)[/math] нулей и [math]k[/math] единиц.

Будем считать нули разделителями, которые делят этот вектор на [math]n[/math] частей.

Будем полагать, что число единиц в [math]i[/math]-м куске — это число элементов [math]a_i[/math] в сочетании с повторением, которое соответствует этому вектору.

Получаем, что каждому сочетанию с повторениями из [math]n[/math] по [math]k[/math] соответствует некоторый вектор из нулей и единиц с [math](n+k-1)[/math] координатами, в котором [math](n-1)[/math] нулей. Также наоборот, по каждому такому вектору однозначно восстанавливается сочетание с повторением, ему соответствующее. Значит число сочетаний с повторениями из [math]n[/math] по [math]k[/math] совпадает с числом таких векторов.

Таких векторов столько, сколько вариантов выбрать [math]k[/math] координат, на которых должны стоять единицы из [math](n+k-1)[/math]. Таким образом, ответ будет число сочетаний из [math](n+k-1)[/math] по [math]k[/math]. Тогда количество равно [math] \widetilde{C}_n^k = C_{n+k-1}^{k}[/math]
[math]\triangleleft[/math]